2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 00:19 


04/06/13
203
Есть вопрос по задаче, потому как не получается решить полученную систему уравнений, после матричных преобразований:

Решить уравнение: $A^2=A$, где $A=\begin{pmatrix}
 a&b \\
 c&d \\
 \end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix}
 a^2+bc&ab+bd \\
 ac+cd&cb+d^2 \\
 \end{pmatrix}$$

$\begin{pmatrix}
 a^2+bc&ab+bd \\
 ac+cd&cb+d^2 \\
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 a&b \\
 c&d \\
 \end{pmatrix}$

$\left\{
\begin{array}{rcl}
  a^2+bc&=&a \\
 ab+bd&=& b\\
 ac+dc&=& c\\
cb+d^2&=& d\\
\end{array}
\right.$

Тут явно вырисовывается четыре ситуации $b=0, c\ne 0$, $b\ne 0, c=0$, $b=c=0$, $b\ne 0, c\ne 0$.

1) $b=0, c\ne 0$, тогда $c$ -- любое $d=0$ или $d=1$, $a=0$ или $a=1$

2) $b\ne 0, c=0$, тогда $b$ -- любое $d=0$ или $d=1$, $a=0$ или $a=1$

3) $b=c=0$, $d=0$ или $d=1$, $a=0$ или $a=1$

4) $b\ne 0, c\ne 0$, тогда

$\left\{
\begin{array}{rcl}
  a^2+bc&=&a \\
 a+d&=& 1\\
cb+d^2&=& d\\
\end{array}
\right.$

Были такие мысли, что $bc=a-a^2=d-d^2$

Но и это уравнение вырождается в $a+d=1$. Видно тут можно взять $d$ за параметр? Но как $b,c$ выразить через него?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9590
Кентакска волост
Представьте, что это не матричное, а обычное уравнение с неизвестным $x$.
Как бы вы решали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
karandash_oleg в сообщении #1057507 писал(а):
Были такие мысли, что $bc=a-a^2=d-d^2$

Но и это уравнение вырождается в $a+d=1$.

Это не все варианты. Может быть еще $a = d$
И вообще у вас перебор неаккуратный. Например, в 1) может ли быть одновременно $a=d=0$?

Все-таки лучше разбить все решения на два случая: $a+d=1$ и $a+d\ne 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408

(Оффтоп)

Пытаюсь представить себе геометрический образ множества решений. С заменой координат
$\begin{cases}x=\tfrac{1}{2}(b+c)\\y=\tfrac{1}{2}(b-c)\\z=a-\tfrac{1}{2}\\\end{cases}$
получается миленький такой гиперболоид
$$x^2-y^2+z^2=\tfrac{1}{4}.$$ Ну разумеется, это не всё решение, а самая интересная его часть...

Цитата:
Где гиперболоид? Там 4 переменных... В четырехмерном пространстве?

Ну да, в четырёхмерном, но можно рассмотреть его 3-мерное подпространство, а вне него решений немного...

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 01:08 


17/01/12
445
Наложите дополнительное условие: т.к. матрица $A$ -- квадратная, то предположите, что её определитель равен нулю (в случаях, когда не равен, ответ весьма прост, как можете сами убедиться). Тем самым, получите ещё одно соотношение между элементами матрицы. Если подставите его в вашу первую систему, а все члены перенесете в левую сторону (так что справа каждого уравнения системы будет $...=0$), и вынесете за скобки множители, то получите очень удобную для решения форму системы, что решите её за раз, даже перебирать ничего не придется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10422
Hogtown
Известный анекдот про студентов и приматов писал(а):
А что тут думать?!! Прыгать надо!!!


Оператор удовлетворяющий указанному уравнению имеет вполне простой смысл и называется проектором (хотя, возможно, неортогональным).

* Каким может быть ранг проектора в 2-мерном пространстве?
* Какой есть единственный нетривиальный случай?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408

(Оффтоп)

А я думал, идемпотентом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 05:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10422
Hogtown

(Оффтоп)

В некотором смысле идемпотент более общее понятие. Зато и менее наглядное. Кстати $A^2=A \iff B^2=I$ с $B=I-2A$, $B$ отражение, опять-таки необязательно ортогональное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 08:47 


25/08/11

1074
В большой науке это называется матричное уравнение Риккати, есть целые книги про него (матричное квадратное уравнение). Для студента можно попробовать сначала спектр найти, а потом выписать матрицы с таким спектром и сделать проверку. Как бы теорема Гамильтона-Кэли, но в обратную сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Вы меня заинтересовали,  сволочи 
Пойду смотреть, что там в матрице $3\times 3$ творится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Классифицировать все проекторы в размерности 3 не сложно. 4 варианта: $0$, $I$, $\frac{u\otimes v}{u\cdot v}$, $I-\frac{u\otimes v}{u\cdot v}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10422
Hogtown
g______d в сообщении #1057637 писал(а):
Классифицировать все проекторы в размерности 3 не сложно


Некие сложности начинаются с 4, потому как там есть воистину 2-мерные проекторы

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 18:18 


04/06/13
203
Dan B-Yallay в сообщении #1057509 писал(а):
Представьте, что это не матричное, а обычное уравнение с неизвестным $x$.
Как бы вы решали?

Я понимаю, что можно так $A^2=A\;\Leftrightarrow\;(A-E)A=0$, но разве это упростит дело?

-- 29.09.2015, 18:20 --

Нельзя же здесь сказать, что или $A=0$ или $A-E=0$

Под $0$ я понимал матрицу из нулей

-- 29.09.2015, 18:24 --

provincialka в сообщении #1057510 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1057507 писал(а):
Но и это уравнение вырождается в $a+d=1$.

Это не все варианты. Может быть еще $a = d$
И вообще у вас перебор неаккуратный. Например, в 1) может ли быть одновременно $a=d=0$?

Все-таки лучше разбить все решения на два случая: $a+d=1$ и $a+d\ne 1$


Хорошо. Действительно, так будет аккуратнее.

1) $a+d=1$. Тут все равно не знаю -- что дальше делать

2) $a+d\ne 1$. Тут ясно, что $b=c=0$, при этом $a=1$ или $a=0$ и $d=1$ или $d=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):
Нельзя же здесь сказать, что или $A=0$ или $A-E=0$

Под $0$ я понимал матрицу из нулей

Нет, здесь сложнее. Поскольку в матрицах бывают делители нуля, то приходится говорить, что $A$ и $A-E$ - пара таких делителей. Если рассматривать матрицы как линейные преобразования, то $\operatorname{im}A\subseteq\ker(A-E).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное уравнение
Сообщение29.09.2015, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Вспомнил, наконец, что проекторы бывают неортогональные. Теперь всё состыковалось вместе.

1. Red_Herring
Проектор задаётся однозначно двумя подпространствами: подпространством, на котором он действует тождественно (образ), и подпространством, которое он обнуляет (ядро). Они дополнительны, их сумма равна полному пространству.

В 2 измерениях проектор ранга 1 задаётся двумя прямыми. Отсюда, пространство решений 2-мерно - гиперболоид. Симметрии гиперболоида приобретают наглядный смысл: круговая симметрия отвечает вращению обеих прямых вокруг начала координат, а гиперболическая симметрия - различным наклонам "нулевой" прямой относительно единичной.

Можно сразу "на пальцах" сказать, что любой проектор ранга 1 в пространстве размерности $n$ будет квадратичной поверхностью, устроенной как гиперболоид сигнатуры $(\tfrac{n(n-1)}{2},\tfrac{n(n-1)}{2}).$ Я бы сказал нечто аналогичное и для ранга $m,$ но испугался замечания Red_Herring о 4-мерном пространстве.

2. sergei1961
Как я понял, задача состоит в том, чтобы разыскать множество матриц, характеристический многочлен которых будет совпадать с тем матричным многочленом, который рассматривается изначально. Так что, может быть, задачу можно поставить не только для квадратных уравнений, но и для высших степеней.

И наконец, благодаря вашему указанию я не поленился и нашёл собственные числа и векторы 2-мерной матрицы. Это помогло всё понять.

3. g______d
Ваша подсказка помогла понять общий вид проектора. Теперь будет попроще разбираться со случаями размерности 3 и 4.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group