Система отсчета и математический формализм

[epros]

schekn в сообщении #1057111 писал(а):

У Иваненко также написано, что можно задать локальную систему отсчета именно тетрадой (стр. 66), то есть 4-кой векторов в данной точке, как базис касательного пространства.

Вот именно, что "локально"! Давайте повторим, чтобы раз и навсегда запомнить: Таким образом "систему отсчёта" можно определить только локально. А окружность карусели -- отнюдь не локальна, ибо имеет ненулевую длину. И даже не пренебрежимо малую, вообще говоря. Поэтому для определения длины окружности (а тем паче -- для определения отношения длины окружности к её диаметру, а также и других характерных для трёхмерной геометрии вещей) нужно уметь определять системы отсчёта не только локально, но и интегрально.

SergeyGubanov в сообщении #1057360 писал(а):

Вот это вот 'как нибудь "одновременно"' на математическом языке формализуется следующими словами: вдоль пространственно подобной линии трансверсальной мировым линиям.

К сожалению, это определение неоднозначно. Впрочем, давайте пройдёмся по Вашему более раннему и более содержательному посту.

SergeyGubanov в сообщении #1056995 писал(а):

Этот вопрос не имеет ничего дискуссионного.

Дискуссионный не вопрос, а Ваш вариант ответа. То, что Вы этого не замечаете, весьма печально. Предприму ещё одну попытку указать Вам на проблемы.

SergeyGubanov в сообщении #1056995 писал(а):

Трансверсальные этим мировым линиям пространственно подобные линии $x^{\mu}(\ell)$ вдоль периметра вращающейся карусели:

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad e^{(1)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad e^{(2)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 1, \quad e^{(3)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0. \eqno(4) $$

Вы заметили, что одна из пространственных координат у Вас выделена по отношению к другим? А если Вас попросят сравнить эту длину окружности с её диаметром, то Вы будете сравнивать длину ужа с высотой ежа? Для нахождения диаметра-то эти формулы не подойдут.

SergeyGubanov в сообщении #1056995 писал(а):

Интеграл от $e^{(2)}$ вдоль какой-либо зелёной линии между точками её пересечения с соседними красными линиями и есть искомое расстояние вдоль периметра между соседними лошадками.

Повторю то, что я раньше уже спрашивал: Вы понимаете, что "красные линии" -- это не мировые линии разных лошадок, а копии одной мировой линии одной лошадки?

Соответственно, продолжение вопросов:
Если Вы засекаете "момент измерения" по часам на этой лошадке, то в какую сторону от нанесённой на красную линию соответствующей точки Вы будете проводить "зелёную трансверсальную линию" -- вправо или влево?
Вы понимаете, что это -- две разные зелёные линии и что у них будут разные длины?

Наконец, если Вы всё же определитесь с тем, что зелёную линию нужно проводить от отмеченного на красной линии "момента измерения", например, в правую сторону, то я спрошу Вас: А каким образом Вы выбираете лошадку? Я вот знаю, что окружность карусели остаётся всё той же окружностью, независимо от того, от какой из точек мы начинаем её отсчёт. Вы так не считаете?

P.S. Хорошо хоть, что в этот раз Вы пока не говорите о каких-то "неголономных гиперповерхностях", которые не состоят из точек пространства-времени.

[manul91]

dvb в сообщении #1057426 писал(а):

Другое. Чуть выше Вы заявили, что радиус диска не может измениться, а вот периметр будет меняться в процессе ускорения.

"радиус диска не может измениться, а вот периметр будет меняться в процессе ускорения" - это просто идеализованное кинематическое условие r=const сохраняющееся при раскрутки диска (скорее радиальной координаты "обода" - есть ли диск внутри или нет, нас не интересует) в ИСО.
Для упрощения дискусии, чтоб мы могли говорить про какой-то конкретной ситуации.
Разумеется при так заданном кинематическом движении в ИСО - ни длина радиуса, ни длина контура обода не изменится (измеренная неподвижными линейками спрямо ИСО!) - разговор ведь про собственную длину диска в данный момент ИСО - т.е. "сколько веревки потребуется" приложить неподвижно к элементам периферии (а не неподвижно в ИСО!).

В любом реальном материальном диске при раскручивании до данной скорости, возникнут натяжения - сжатие в радиальном и растяжение в тангенциальном направлении. Так что в ИСО, контур реального диска несколько сожмется по r после разгона (насколько именно, зависит от радиальной твердости на сжатие и тангенциальной на растяжение) и его "окружность" уменьшится.
У нас кинематическая ситуация при которой "окружность в ИСО" не уменьшаеся - отвечает идеализацией "колеса" с "железными спицами" и "резиновой периферии" - но это совершенно не важно, само "опредмечивание" диска/обода ненужно (можно взять вращающихся кораблей по заданному закону в пустоте вокруг центра - только не начинайте опять про навигацию).

Все эти детали на методу измерения и соответного физического смысла "длины" не отражается (можно тупо мерять рулетками по периферии как я предложил ранее - как бы не деформировался диск).

dvb в сообщении #1057426 писал(а):

Надо полагать, это может происходить оттого, что каждая лошадка производит измерение в собственной системе отсчета, а системы у всех лошадок разные. Мы же, по предложенному методу тупо суммируем эти измерения.

Именно это и есть единственно разумное определение "длины" в данном случае, насколько это возможно.
Подобна ситуация например, в расширяющейся вселенной - там опять "каждая галактика в своей окрестности - в своей собственной системе отсчета" - тем не менее, можно ввести разумное определение для конечных расстояний в глобальном смысле "одновременности" (напр. "сейчас", x млрд лет после БВ - по собственных времен всех галактик).

[Munin]

epros в сообщении #1057435 писал(а):

Поэтому для определения длины окружности (а тем паче -- для определения отношения длины окружности к её диаметру, а также и других характерных для трёхмерной геометрии вещей) нужно уметь определять системы отсчёта не только локально, но и интегрально.

Или... не системы отсчёта. Внезапно.

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1057424 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1057360 писал(а):

Вот это вот 'как нибудь "одновременно"' на математическом языке формализуется следующими словами: вдоль пространственно подобной линии трансверсальной мировым линиям.

Продолжаете юродствовать? ; )
Как Мунин ранее сказал:

Munin в сообщении #1056282 писал(а):

У периметра диска простой смысл: сколько верёвки потребуется.

а ваш метод для него неверен.

В пространстве событий верёвка трансверсальна мировым линиям своих фрагментов.

-- 29.09.2015, 12:14 --

epros в сообщении #1057435 писал(а):

Вы заметили, что одна из пространственных координат у Вас выделена по отношению к другим? А если Вас попросят сравнить эту длину окружности с её диаметром, то Вы будете сравнивать длину ужа с высотой ежа? Для нахождения диаметра-то эти формулы не подойдут.

Произвольная пространственно подобная кривая $x^{\mu}(\ell)$ трансверсальная $e^{(0)}_{\mu}$:

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad d\ell^2 = \left( e^{(1)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(2)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(3)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2. $$

epros в сообщении #1057435 писал(а):

Повторю то, что я раньше уже спрашивал: Вы понимаете, что "красные линии" -- это не мировые линии разных лошадок, а копии одной мировой линии одной лошадки?

Конечно понимаю:

SergeyGubanov в сообщении #1057287 писал(а):

Красные линии - мировая линия одной и той же лошадки ($\varphi=0$, $\varphi=2 \pi$).

epros в сообщении #1057435 писал(а):

Если Вы засекаете "момент измерения" по часам на этой лошадке

Про "момент измерения" разговор был (как мне кажется) полностью закончен тогда когда я объяснил (и Вы вроде согласились), что в случае неградиентного поля $e^{(0)}_{\mu} \ne \partial_{\mu} \tau$ говорить слова про моменты времени не имеет смысла.

Можно говорить в терминах мировых линий и трансверсальных им пространственно подобных линий, а в терминах "момент измерения" говорить бессмысленно.

epros в сообщении #1057435 писал(а):

P.S. Хорошо хоть, что в этот раз Вы пока не говорите о каких-то "неголономных гиперповерхностях", которые не состоят из точек пространства-времени.

Я так не говорил, я говорил следующее: не любое трёхмерное римановое пространство может быть гладко вложено в четырёхмерное, а так как в произвольной системе отсчёта пространственное распределение тоже "произвольно", то в общем случае оно не является вложением.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1057585 писал(а):

В пространстве событий верёвка трансверсальна мировым линиям своих фрагментов.

Правильно.

Итак если вам задана следующая задача, в которой процедура измерения длины конкретно определена:
- "Сколько эталонных линеек (к-во веревки) нужно приложить к периферии ускоренной карусели одновременно (под одновременно понимается в момент t=const по часам ИСО в которой центр карусели неподвижен) со всех сторон, чтобы ее плотно покрыть (примыкая взаимнонеподвижно к ней - т.е. с той же мгновенной тангенциальной скорости в ИСО, с которой вращаются все элементы периферии в момент t в ИСО)?"
Это кстати означает, что длина веревки вычисляется также и для одинаковых собственных времен часов всех элементов ("фрагментов") периферии (если прежде раскрутки их собственные часы были взаимно синхронны с часов ИСО где покоились, и раскрутка началась одновременно и продолжалась одинаковым образом для всех элементов периферии - что обычно подразумевается).

Тогда, как вы будете считать?
Или, опять будете говорить про бессмысленности "момента измерения", неголономностях, невозможности вложений метрических пространств друг в друга и пр?

[SergeyGubanov]

manul91, короче говоря, Вы предлагаете взять две соосно вращающиеся карусели одинакового радиуса. Одна карусель пусть вращается с постоянной скоростью $v_0$, а другая карусель вращается с переменной скоростью $v(t)$, где $t$ - время неподвижной системы отсчёта. В некоторый момент $t=t_{0}$ случается замечательнейшая вещь: $v(t_{0}) = v_0$. На этом основании, Вы делаете утверждение, что в момент времени $t=t_0$ длины обоих каруселей равны?

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1057642 писал(а):

manul91, короче говоря, Вы предлагаете взять две соосно вращающиеся карусели одинакового радиуса. Одна карусель пусть вращается с постоянной скоростью $v_0$, а другая карусель вращается с переменной скоростью $v(t)$, где $t$ - время неподвижной системы отсчёта. В некоторый момент $t=t_{0}$ случается замечательнейшая вещь: $v(t_{0}) = v_0$. На этом основании, Вы делаете утверждение, что в момент времени $t=t_0$ длины обоих каруселей равны?

SergeyGubanov:
1) Впервых, в данном сообщении я не делал никаких утверждений - а спрашивал вас как вы вычислите требуемую длину веревки, необходимой для этой четко заданной практической процедуре ("взаимно-мгновенно-неподвижного по времени t ИСО" накрытия периферии карусели).
Эта физическая процедура/способ измерения, определена совершенно конкретно (так чтобы могла быть проведена инженерно с достаточной точностью) - значит, даст какой-то определенный результат - для которого должен существовать однозначный рассчет. Озвучите пожалуйста, методику этого рассчета необходимой длины веревки для данного случая - в вашем видении.

2) Во вторых - да, я согласен, что измерение в вашей формулировке выше - даст ту же самую величину. При этом конечно необходимо добавить в вашей формулировке (для застраховки), кинематическая необходимость чтобы соответные "фрагменты" периферии первой и второй карусели попарно совпадали в момент t по ИСО как события в четырехмерии (попарно одноместны и одновременны, и двигались с одинаковой мгновенной скорости в ИСО- т.е. 4-скорости их мировых в данных событий касания их мировых в 4d, также попарно совпадали в момент t). Вы этого не оговорили эксплицитно в подробностях (хотя и наверное подразумевали).

3) В третьих, я уже давал разжеванно подробнейшим образом, аналогичное описание метода измерения той же самой величины для длины необходимой веревки - через рулетками - в прежнем сообщении в этой же теме - здесь.

4) Что касается того что я "предлагаю"/"утверждаю" называть, как, и "почему" - этого также легко найти, в моих прежних сообщений в теме.
Пока не буду повторяться, а подожду чтобы вы привели методику рассчета данной физической величины необходимой длины веревки, для данной конкретной процедурой измерения.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #1057585 писал(а):

Произвольная пространственно подобная кривая $x^{\mu}(\ell)$ трансверсальная $e^{(0)}_{\mu}$:

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad d\ell^2 = \left( e^{(1)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(2)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(3)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2. $$

Неоднозначно определение. Если мы захотим провести такие линии от одного наблюдателя до другого наблюдателя, то, выйдя из одной точки на мировой линии первого наблюдателя, мы наверняка НЕ попадём в одну точку на мировой линии второго наблюдателя. Это значит, что непонятно, в какой момент второй наблюдатель должен выполнять измерение (не важно чего). Какая же это система отсчёта?

SergeyGubanov в сообщении #1057585 писал(а):

Про "момент измерения" разговор был (как мне кажется) полностью закончен тогда когда я объяснил (и Вы вроде согласились), что в случае неградиентного поля $e^{(0)}_{\mu} \ne \partial_{\mu} \tau$ говорить слова про моменты времени не имеет смысла.

Дело в том, что измерения чего-нибудь обычно выполняются именно в какой-то момент времени, поэтому хотите - не хотите, а говорить про моменты времени придётся. Например, врач измеряет температуру больного. Когда? Утром -- одно значение, вечером -- другое. А когда речь о пространственно-распределённых измерениях (пример -- измерение длины окружности карусели), то нужно каким-то образом сопоставлять моменты измерения в местах нахождения разных "лошадок". Вы предложили вариант сопоставления -- построение "трансверсальной линии". Я Вам говорю, что этот вариант неоднозначен. На какой-то "лошадке" ваша "трансверсальная линия" не сойдётся, а это значит, что неизвестно в какой момент времени сидящий на этой лошадке наблюдатель должен выполнять измерение.

SergeyGubanov в сообщении #1057585 писал(а):

не любое трёхмерное римановое пространство может быть гладко вложено в четырёхмерное

Повторю другими словами ранее говоренное: Вопрос о возможности "невкладываемости" трёхмерия в четырёхмерие просто не стоИт, потому что интересующее нас трёхмерие -- это совокупность событий измерений, выполняемых разными наблюдателями, так что эти события изначально находятся в нашем четырёхмерном пространстве-времени. Вопрос только в том, как именно должно определяться это трёхмерие.

[dvb]

manul91 в сообщении #1057437 писал(а):

Именно это и есть единственно разумное определение "длины" в данном случае, насколько это возможно.

Я затрудняюсь понять Ваши критерии "разумности". Разумным в любой теории я считаю результат, который можно проверить экспериментально и посмотреть, что получилось. Все остальное - это математический формализм, к которому понятие "разумный" неприменимо - он результат логики, используемой при построении выводов теории. В данном случае, я считаю разумным предложение Мунина использовать веревку. Итак, Вы имеете нерастяжимую веревку с делениями абсолютно жесткий диск. В каком смысле? В смысле того, что какие бы силы локально не действовали на эти предметы, они не вызовут локальных деформаций. Все, теперь все эффекты при раскрутке будут тем, что Вы называете "кинематические". Есть два относительно "разумных" способа измерения. Первый: уложить веревку по периметру диска с перехлестом, пусть она раскручивается вместе с диском, надо следить за тем, двигается ли конец веревки относительно делений на другом конце (лично я не вижу причин, почему это должно происходить). Этот способ соответствует измерению в собственной системе отсчета диска, вращающейся с ускорением. Другой способ: уложить веревку на неподвижный упругий обод, плотно прилегающий к периметру, и опять следить за движением конца веревки по мере раскручивания. Этот способ соответствует измерению в ИСО. Синхронность слежения за концами веревок соответствующими наблюдателями обеспечивается вспышкой лампочки на оси диска. Тут, конечно, есть ньюансы, но Вы ведь настаиваете на синхронности измерений в ИСО.
Вы можете теоретически предсказать, что мы измерим?
Я напомню, что тема у нас про смысл понятия "система отсчета". Я придерживаюсь мнения, что результаты измерений, полученные в разных системах отсчета можно теоретически пересчитывать друг в друга, но нельзя их банально складывать делить или умножать.

[schekn]

epros в сообщении #1057435 писал(а):

Давайте повторим, чтобы раз и навсегда запомнить: Таким образом "систему отсчёта" можно определить только локально.

И тем не менее, вот что пишут Ландау-Лифшиц в пар 82:

В общем случае произвольного переменного гравитационного
поля метрика пространства не только неевклидова, но еще и
меняется со временем. Это значит, что меняются со временем соотношения
между различными геометрическими расстояниями.
В результате взаимное расположение внесенных в поле
«пробных частиц» ни в какой системе координат не может оставаться
неизменным $^1$). Так, если частицы расположены вдоль какой-либо
окружности и вдоль ее диаметра, то поскольку отношение
длины окружности к длине диаметра не равно $\pi$ и меняется
со временем, ясно, что если расстояния частиц вдоль диаметра
остаются неизменными, то должны изменяться расстояния вдоль
окружности, и наоборот. Таким образом, в общей теории относи-
тельности, вообще говоря, невозможна взаимная неподвижность
системы тел.
Это обстоятельство существенно меняет само понятие системы
отсчета в общей теории относительности по сравнению с
тем смыслом, который оно имело в специальной теории. В последней
под системой отсчета понималась совокупность покоящихся друг
относительно друга, неизменным образом взаимно
расположенных тел. При наличии переменного гравитационного
поля таких систем тел не существует и для точного определения
положения частицы в пространстве необходимо, строго говоря,
иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих все
пространство, наподобие некоторой «среды». Такая система тел
вместе со связанными с каждым из них произвольным образом
идущими часами и является системой отсчета в общей теории
относительности.

И далее:

В связи с произвольностью выбора системы отсчета законы
природы должны записываться в общей теории относительности
в виде, формально пригодном в любой четырехмерной системе
координат (или, как говорят, в ковариантном виде). Это обстоятельство,
однако, разумеется не означает физической эквивалентности всех
этих систем отсчета (подобной физической эквивалентности всех
инерциальных систем отсчета в специальной теории).
Напротив, конкретный вид физических явлений,
в том числе свойства движения тел, во всех системах отсчета
становится различным.

Тут достаточно разумно описано понятие СО через "среду", хотя и
без формул. Но далее ЛЛ отклонились и в пар 89 уже фактически говорят о
преобразованиях координат.
А У Родичева получилось, что такая "среда" в неинерциальной СО дает
кривизну пространства-времени, что противоречит общепринятым представлениям.

[Someone]

schekn в сообщении #1057802 писал(а):

Но далее ЛЛ отклонились и в пар 89 уже фактически говорят о преобразованиях координат.

Если понимать систему отсчёта как набор из четырёх полей линейно независимых в каждой точке карты 4-векторов, то система координат вполне определяет такой набор. Поэтому преобразования таких систем отсчёта сводятся к преобразованиям координат.

[Munin]

dvb в сообщении #1057794 писал(а):

В данном случае, я считаю разумным предложение Мунина использовать веревку. Итак, Вы имеете нерастяжимую веревку с делениями абсолютно жесткий диск.

Верёвка разумна, а такая выдумка, как "абсолютно жёсткий диск", неразумна.

Вращающийся "абсолютно жёсткий диск" может быть сделан в СТО только в одном случае: если он изготовлен в процессе вращения, и никогда своего вращения не меняет.

[manul91]

dvb в сообщении #1057794 писал(а):

Итак, Вы имеете нерастяжимую веревку с делениями абсолютно жесткий диск. В каком смысле? В смысле того, что какие бы силы локально не действовали на эти предметы, они не вызовут локальных деформаций. Все, теперь все эффекты при раскрутке будут тем, что Вы называете "кинематические".

Такое ощущение что за вашим ником пишут разныe люди (ничего личного). Пусть дискуссию с вами продолжают другие участники, если хотят

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1057677 писал(а):

Озвучите пожалуйста, методику этого рассчета необходимой длины веревки для данного случая - в вашем видении.

В моём видении ситуация следующая. Вы, де-факто, ввели три системы отсчёта: $A$, $B$, $C$. Соответственно, три поля скоростей $u^{\mu}_{A}(x)$, $u^{\mu}_{B}(x)$, $u^{\mu}_{C}(x)$. Есть некоторая пространственно подобная линия $x^{\mu} = X^{\mu}(\ell)$, на которой выполняется равенство скоростей системы отсчёта $A$ и системы отсчёта $B$:

$$ u^{\mu}_{A}(X(\ell)) = u^{\mu}_{B}(X(\ell)).$$

Эта пространственно подобная линия $X^{\mu}(\ell)$ трансверсальная полю скоростей системы отсчёта $C$:

$$ g_{\mu \nu}{\frac{dX}{d\ell}}^{\mu} u^{\nu}_{C} = 0,$$

и не трансверсальна полям скоростей систем $A$ и $B$:

$$ g_{\mu \nu}{\frac{dX}{d\ell}}^{\mu} u^{\nu}_{A} \ne 0, \quad g_{\mu \nu}{\frac{dX}{d\ell}}^{\mu} u^{\nu}_{B} \ne 0. $$

То есть пространственно подобная линия $X^{\mu}(\ell)$ принадлежит некоторому мгновению (слою, листу) пространственного распределения системы отсчёта $C$, в то время как для систем отсчёта $A$ и $B$ линия $X^{\mu}(\ell)$ ни чем подобным не замечательна. И тут, значит, при описанном выше условии, Вы ждёте от меня методики расчёта длины в системе отсчёта $A$. Уважаемый, manul91, для вычисления длины в системе отсчёта $A$ (ускоренно вращающаяся) не нужна ни система $B$ (вращающаяся с постоянной скоростью) ни система $C$ (покоящаяся).

Красные пунктирные линии - мировые линии карусели вращающейся с постоянной скоростью $v_0$.
Красные сплошние линии - мировые линии ускоренно вращающейся карусели $v(t)$.
Синяя сплошная линия - пространственно подобная линия на которой $v(t_0) = v_0$.
Зелёная пунктирная линия - пространственно подобная линия трансверсальная мировым линиям карусели вращающейся с постоянной скоростью (её длина равна длине этой линии).
Зелёная сплошная линия - пространственно подобная линия трансверсальная мировым линиям ускоренно вращающейся карусели (её длина равна длине этой линии).

epros в сообщении #1057710 писал(а):

Если мы захотим провести такие линии от одного наблюдателя до другого наблюдателя, то, выйдя из одной точки на мировой линии первого наблюдателя, мы наверняка НЕ попадём в одну точку на мировой линии второго наблюдателя.

Почему? Если Вы про попадание не в одну, а в две точки, то область действия системы отсчёта заканчивается чуть раньше повторного пересечения.

epros в сообщении #1057710 писал(а):

На какой-то "лошадке" ваша "трансверсальная линия" не сойдётся, а это значит, что неизвестно в какой момент времени сидящий на этой лошадке наблюдатель должен выполнять измерение.

Не не сойдётся, а пересечёт её во второй раз. Однако, вторая точка пересечения не включается в область определения системы отсчёта.

epros в сообщении #1057710 писал(а):

Повторю другими словами ранее говоренное: Вопрос о возможности "невкладываемости" трёхмерия в четырёхмерие просто не стоИт, потому что интересующее нас трёхмерие -- это совокупность событий измерений, выполняемых разными наблюдателями, так что эти события изначально находятся в нашем четырёхмерном пространстве-времени. Вопрос только в том, как именно должно определяться это трёхмерие.

Разумеется пространственное распределение произвольной системы отсчёта определено на том же самом пространстве событий (даже тогда, когда соответствующее трёхмерное пространство не может быть вложено в четырёхмерное).

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1057876 писал(а):

В моём видении ситуация следующая....

SergeyGubanov в сообщении #1057876 писал(а):

...То есть пространственно подобная линия $X^{\mu}(\ell)$ принадлежит некоторому мгновению (слою, листу) пространственного распределения системы отсчёта $C$, в то время как для систем отсчёта $A$ и $B$ линия $X^{\mu}(\ell)$ ни чем подобным не замечательна. И тут, значит, при описанном выше условии, Вы ждёте от меня методики расчёта длины в системе отсчёта $A$.

SergeyGubanov, я жду от вас демонстрировать (огласить) методику вычисления длины некоей веревки - изпользуемой при наперед заданной, совершенно четко определенной процедурой измерения..

Меня (пока) не интересуют ваши видения про то что есть и "длина периферии" и что нет, и является ли длина этой веревки длиною периферии диска или нет; об этом стоит поговорить потом - после того, как убедите меня что это вычисление вам по силам (рисунок на картинке с объяснением что нужно интегрировать и как, будет достаточным).

Если вы несмотря на всю вашу тетрадную плетень, не умеете ответить на простой инженерный вопрос - вычислить длину веревки необходимой при данном конкретном, четко определенном в инженерном и физическом смысле способом измерения - так и скажите.