Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?

[Otta]

Вы не поверите - обыкновенное. ))

[Divergence]

Возвращаясь к вашему нелинейному уравнению

$$y(y')^2=e^{3x}$$

Его решение

$$y(x)=2^{-2/3}(C+2e^{3x/2})^{2/3}$$

не представляется в виде степенного ряда с бесконечным радиусом.

или я неправ?

Хотя среди его решений есть такие ряды.

[Otta]

Divergence
Перечитайте внимательно свой вопрос, я отвечала только на него, а не на какой-то другой.

Divergence в сообщении #1056217 писал(а):

Может ли быть вещественно-значная аналитическая функция, представимая в виде степенного ряда

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$

с бесконечным (!) радиусом сходимости, быть решением нелинейного (!) обыкновенного дифференциального уравнения?

Ответ: да, может. Например, функция $y=e^x$ является решением уравнения, Вами только что процитированного, что проверяется обычной подстановкой.

[Divergence]

Понятно, что при $C=0$ представляется в виде такого ряда.
Но решение содержит $C$, которое в общем случае не ноль.
Разве при $C\ne0$ можно представить решение в виде степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости?

[Otta]

Divergence в сообщении #1056243 писал(а):

Разве при $C\ne0$ можно представить решение в виде степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости?

Нельзя. Однако это не отменяет предыдущего моего ответа.
Я же говорю, Вы что-то другое хотите спросить.

[Divergence]

Мне хочется найти такой пример уравнения движения вида

$$y'=f(x,y) \quad \text{или} \quad y''=f(x,y,y')$$

где $x$ - время, когда движение (решение уравнения) описывается степенным рядом с бесконечным радиусом сходимости для любых начальных условий.
Ваш пример мне интересен (спасибо за него), но он позволяет написать такое движение только при выделенном начальном условии.

[Otta]

Почитайте, например, Кудряшов, Аналитическая теория нелинейных дифф. уравнений. Пригодится.

[Divergence]

Спасибо за ссылку. Но к сожалению там ничего не нашел из того, про что исходно спрашивал. Может вы имели ввиду что-то конкретное там, а я это пропустил?

[INGELRII]

Тык например $y‘=y$ или $y''=-y$. Любое решение удовлетворит вашему требованию.

[Divergence]

Вы написали линейные ОДУ. Тема "Нелинейные ОДУ" (см название темы). Меня интересуют нелинейные дифуры, которые удовлетворяют этим требованиям.
Вопрос именно в том, есть ли нелинейные ОДУ, аналогичные этим линейным, или это свойство присуще только линыйным уравнениям движения.

[Otta]

Divergence в сообщении #1056277 писал(а):

Но к сожалению там ничего не нашел из того, про что исходно спрашивал. Может вы имели ввиду что-то конкретное там, а я это пропустил?

Наверняка, уж очень быстро прочитали. ))

Вторая глава. Там даже приведен пример. Надо только суметь найти.

[Divergence]

Прошелся по Главе 2 два раза.
По моему почти все решения приведенные в примерах не имеют бесконечного радиуса.

Неужто вы имели ввиду дифур (2.11) с решением (2.12), где $n=1/m$ и $(m \in \mathbb{N})$ (стр.75) ?
Спасибо, примерчик тоже можно рассмотреть. Только конечный ряд, полиномчик не то о чем мечталось.
Понятно на безрыбье и рак рыба.

Или рыбку я проглядел опять?

[Otta]

Divergence в сообщении #1056352 писал(а):

Неужто вы имели ввиду дифур (2.11) с решением (2.12), где $n=1/m$ и $(m \in \mathbb{N})$ (стр.75) ?
Спасибо, примерчик тоже можно рассмотреть. Только конечный ряд, полиномчик не то о чем мечталось.

Не понял. Это функция с алгебраической точкой ветвления - конечный ряд и полиномчик?
Рыбку - проглядел. Не понял еще, как она выглядит. Читайте.

[Divergence]

Не ловится рыбка.
Может рыбное местечко подскажите в этой главе?

[Divergence]

Возможно вы намекали на следующие рассуждения:
Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция не является аналитической, называются особыми.
На странице 81 приведены нелинейные ОДУ первого порядка с решениями (2.36-2.41), не имеющими критических подвижных особых точек.
Отсюда разве можно сделать заключение об аналитичности решения?

Возражения:

(1) Здесь (и в результатах Пенлеве) говорится только о критических точках, а некритических особых не говорится.
Не говорится и о неподвижных особых точках.
По моему это не позволяет нельзя сделать заключение об аналитичности решения и о представимости решения в виде степенного ряда
$y(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $

(2) Возьмем пример - решение 2.37, которое имеет вид

$$\frac{1}{y(z)-a}=A \, \ch^{-2} [B(z-z_0)]+C$$

Не уверен, что для $z=x \in \mathbb{R}$ это решение можно представимо в виде

$$y(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$

(3) Стр 79. Теорема 2.4. Среди всех уравнений первого порядки вида (2.26), только уравнение Риккати

$$w_z = a_0 (z) w^2 + a_1 (z) w + a_2 (z) \quad (2.29) $$

не имеет решений с подвижными критическими точками. Вроде это решение (для $z=x \in \mathbb{R}, \quad w=y \in \mathbb{R}$) нельзя представить в виде

$$y(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$

по крайней мере в общем случае. Поскольку общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной.