2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:43 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вы не поверите - обыкновенное. ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:46 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Возвращаясь к вашему нелинейному уравнению
$$y(y')^2=e^{3x}$$
Его решение
$$y(x)=2^{-2/3}(C+2e^{3x/2})^{2/3}$$
не представляется в виде степенного ряда с бесконечным радиусом.

или я неправ?

Хотя среди его решений есть такие ряды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Divergence
Перечитайте внимательно свой вопрос, я отвечала только на него, а не на какой-то другой.
Divergence в сообщении #1056217 писал(а):
Может ли быть вещественно-значная аналитическая функция, представимая в виде степенного ряда
$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$
с бесконечным (!) радиусом сходимости, быть решением нелинейного (!) обыкновенного дифференциального уравнения?

Ответ: да, может. Например, функция $y=e^x$ является решением уравнения, Вами только что процитированного, что проверяется обычной подстановкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:56 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Понятно, что при $C=0$ представляется в виде такого ряда.
Но решение содержит $C$, которое в общем случае не ноль.
Разве при $C\ne0$ можно представить решение в виде степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 16:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Divergence в сообщении #1056243 писал(а):
Разве при $C\ne0$ можно представить решение в виде степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости?

Нельзя. Однако это не отменяет предыдущего моего ответа.
Я же говорю, Вы что-то другое хотите спросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 16:29 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Мне хочется найти такой пример уравнения движения вида
$$y'=f(x,y) \quad \text{или} \quad y''=f(x,y,y')$$
где $x$ - время, когда движение (решение уравнения) описывается степенным рядом с бесконечным радиусом сходимости для любых начальных условий.
Ваш пример мне интересен (спасибо за него), но он позволяет написать такое движение только при выделенном начальном условии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 16:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Почитайте, например, Кудряшов, Аналитическая теория нелинейных дифф. уравнений. Пригодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 17:43 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Спасибо за ссылку. Но к сожалению там ничего не нашел из того, про что исходно спрашивал. Может вы имели ввиду что-то конкретное там, а я это пропустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 18:24 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Тык например $y‘=y$ или $y''=-y$. Любое решение удовлетворит вашему требованию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 18:36 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Вы написали линейные ОДУ. Тема "Нелинейные ОДУ" (см название темы). Меня интересуют нелинейные дифуры, которые удовлетворяют этим требованиям.
Вопрос именно в том, есть ли нелинейные ОДУ, аналогичные этим линейным, или это свойство присуще только линыйным уравнениям движения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 20:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Divergence в сообщении #1056277 писал(а):
Но к сожалению там ничего не нашел из того, про что исходно спрашивал. Может вы имели ввиду что-то конкретное там, а я это пропустил?

Наверняка, уж очень быстро прочитали. ))

Вторая глава. Там даже приведен пример. Надо только суметь найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 20:48 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Прошелся по Главе 2 два раза.
По моему почти все решения приведенные в примерах не имеют бесконечного радиуса.

Неужто вы имели ввиду дифур (2.11) с решением (2.12), где $n=1/m$ и $(m \in \mathbb{N})$ (стр.75) ?
Спасибо, примерчик тоже можно рассмотреть. Только конечный ряд, полиномчик не то о чем мечталось.
Понятно на безрыбье и рак рыба.

Или рыбку я проглядел опять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 20:57 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Divergence в сообщении #1056352 писал(а):
Неужто вы имели ввиду дифур (2.11) с решением (2.12), где $n=1/m$ и $(m \in \mathbb{N})$ (стр.75) ?
Спасибо, примерчик тоже можно рассмотреть. Только конечный ряд, полиномчик не то о чем мечталось.

Не понял. Это функция с алгебраической точкой ветвления - конечный ряд и полиномчик?
Рыбку - проглядел. Не понял еще, как она выглядит. Читайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 21:17 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Не ловится рыбка.
Может рыбное местечко подскажите в этой главе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение25.09.2015, 01:25 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Возможно вы намекали на следующие рассуждения:
Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция не является аналитической, называются особыми.
На странице 81 приведены нелинейные ОДУ первого порядка с решениями (2.36-2.41), не имеющими критических подвижных особых точек.
Отсюда разве можно сделать заключение об аналитичности решения?

Возражения:

(1) Здесь (и в результатах Пенлеве) говорится только о критических точках, а некритических особых не говорится.
Не говорится и о неподвижных особых точках.
По моему это не позволяет нельзя сделать заключение об аналитичности решения и о представимости решения в виде степенного ряда
$y(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $

(2) Возьмем пример - решение 2.37, которое имеет вид
$$\frac{1}{y(z)-a}=A \, \ch^{-2} [B(z-z_0)]+C$$
Не уверен, что для $z=x \in \mathbb{R}$ это решение можно представимо в виде
$$y(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$

(3) Стр 79. Теорема 2.4. Среди всех уравнений первого порядки вида (2.26), только уравнение Риккати
$$w_z = a_0 (z) w^2 + a_1 (z) w + a_2 (z)  \quad (2.29) $$
не имеет решений с подвижными критическими точками. Вроде это решение (для $z=x  \in \mathbb{R}, \quad w=y  \in \mathbb{R}$) нельзя представить в виде
$$y(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$
по крайней мере в общем случае. Поскольку общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group