Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?

[Divergence]

Пусть $f(x)$ степенной ряд с бесконечным числом ненулевых членов бесконечным радиусом сходимости

$$f(x):=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$

Otta, Тогда используя ваше ЛОДУ $z'(x)=f'(x)$, можно "генеририровать облако" НОДУ, используя замену $z(x)=y^{1/n}(x)$:

Нелинейные уравнения вида

$$ y'(x)- f'(x) \, y^{(n-1)/n}=0 \quad (n \in \mathbb{N})$$

образуют "облако" нелинейных уравнений первого порядка, решения которых

$$ y(x)= (f(x)/n+C)^n $$

представляются в виде степенного ряда с бесконечным числом ненулевых членов для любых начальных условий.

Например, уравнение

$$y'(x) - e^x \, y^{2/3}(x)=0 $$

имеет решение

$$ y(x)=(e^x/3+C)^3$$

имеющее вид степенного ряда с бесконечным числом ненулевых членов для любых начальных условий.

N.B. Замена $z(x)=\ln y(x)$ тоже позволяет "генеририровать облако" НОДУ.
N.B. Использую ЛОДУ $z^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)$, можно "генеририровать облако" НОДУ любого порядка $k \in \mathbb{N}$.

Так, что НОДУ первого порядка, порожденных ЛОДУ $z'(x)=f'(x)$, несчетное множество, мощность которого не меньше мощности множества степенных рядов с бесконечными радиусами сходимости.

Вопрос остается:
Неужели не существует НОДУ (с указанным свойством), которое не сводимо к ЛОДУ какой-либо заменой переменной?
(Свойство: решение имеет вид степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости для любых начальных условий.)