Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?

[Otta]

Ну хоть начали читать. )) Правда, как-то выборочно. Вас должны были заинтересовать в первую очередь страницы 77-78, но почему-то не заинтересовали.

[v_n]

Возьмите любое подходящее однопараметрическое семейство функций, продифференцируйте один раз. Исключите параметр и получите НОДУ, которому это семейство функций удовлетворяет. Например, $y=a^2 +ax, y'=a, y=y'^2+y'x$.

[Otta]

v_n
Хороший пример, мне очень нравится.
Да не хочет ТС простого. Ему, вишь ли, ряд с бесконечным числом слагаемых нужен.

Ну это он пусть сам переделывает под свои запросы.

[Otta]

Еще пару слов добавлю. Пример из книжки мне лично интересен тем, что уравнение автономно. Я пыталась сообразить, как можно сочинить автономный дифур под все запросы, которые были выше, из естественных соображений типа уже приведенных выше, - пока как-то не очень получается. Не дифур сочинить, сочинить принцип сочинения )

[DLL]

Divergence: не соглашайтесь на уравнения, неразрешенные относительно производной

[Padawan]

$y'=y\ln y$ подойдет ?

[Otta]

Padawan
Он еще и не сводящееся к линейному хочет.

[Padawan]

А что значит не сводящееся к линейному? Как мое, например, к линейному свести?

[Otta]

Ваше - заменой $\ln y = z$.
Вообще, ТС желает странного, хорошо бы он уточнил происхождение всех своих многочисленных требований.

[Divergence]

Otta - Спасибо за точные координаты. Но все равно не увидел рыбки: На страницах 77-78 ничего не нашел, что мне помогло бы. Только Теоремки не подходящие мне.
стр.78. "Теорема 2.1. Если правая часть уравнения $y_z=F(y,z) \quad (2.21) $ является аналитической функцией в окрестности точек $y_0$ и $z_0$, то решение дифференциального уравнения (2.21), удовлетворяющее начальному условию $y(z = z_0) = у_0$, является так же аналитической функцией в окрестности точки $z_0$."

Но тут аналитичность в окрестности - как тут бесконечный радиус появится.

стр.77. "Теорема 2.3. Уравнения первого порядка, алгебраические относительно неизвестной функции и ее производной, не имеют трансцендентных и существенно особых точек в решениях."

Не очень понятно как эта теорема относится к поставленной задаче.

Padawan - Спасибо за примерчик $y'=y\ln y$.
Неплохой пример. Можно посмотреть. Но заменой $z=\ln(y)$ легко становится линейным.

-- 25.09.2015, 21:15 --

Постараюсь прояснить мотивацию своих многочисленных требований.

Много линейных уравнений (например, $y' +\lambda \, y=0$ или $y''+\omega^2 y=0$ и др.) имеют решения в виде
степенного ряда с бесконечным числом ненулевых членов при любых начальных условиях.
Мне хочется найти такой пример нелинейного уравнения движения вида

$$y'=f(x,y) \quad \text{или} \quad y''=f(x,y,y')$$

где $x$ - время, когда движение (решение уравнения) описывается степенным рядом с бесконечным радиусом сходимости для любых начальных условий.

"Не сводимость к линейному" мне сложновато формализовать.
Понимаю так: если мы взяли линейное уравнение (например, $y' +\lambda \, y=0$) и сделали в нем замену ($y=\ln z$),
которая не портит "тип" решение ("бесконечный степенной ряд с бесконечным радиусом сходимости для любых начальных условий"),
то не получаем ничего нового - только "облако уравнений около линейного уравнения".
Однако не уверен вообще существуют ли нелинейные уравнения (с указанным свойством), которые нельзя получить из линейных (с таким свойством). И в этом вопрос.

[Otta]

Divergence
Было бы удобно, если бы Вы все свои пожелания собрали в один пост и как-то объяснили их разумность.

А то, что между теоремками, Вы не читаете, нет?

[INGELRII]

$y'=\exp{(x \log{(y^2+x)})}$, warum nicht?

[Divergence]

Между теоремами - пример уравнения третьего порядка, который не понял.

Otta - Свои пожелания "фактически осознавал" в процессе дискуссии, поскольку считал некоторые вещи (почему-то) очевидными - просто в начале не видел этих возможных лазеек. Уж извините.

-- 25.09.2015, 21:27 --

INGELRII - А как насчет решения уравнения $y'=\exp{(x \log{(y^2+x)})}$? как оно выглядит?

[Otta]

Divergence в сообщении #1056662 писал(а):

Между теоремами - пример уравнения третьего порядка, который не понял.

Там довольно аккуратно написано, чего именно Вы не поняли? Но уравнение будет неразрешенным относительно производной, а у меня такое ощущение, что как раз это Вы себе запретили.

[Divergence]

Да неразрешимое уравнение не смахивает на традиционный вид уравнения движения типа

$$y'=f(x,y) \quad \text{или} \quad y''=f(x,y,y')$$