2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 13:43 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Может ли быть вещественно-значная аналитическая функция, представимая в виде степенного ряда
$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$
с бесконечным (!) радиусом сходимости, быть решением нелинейного (!) обыкновенного дифференциального уравнения?
Встречал ли кто-либо такое НОДУ? Подскажите пожалуйста пример и если можно ссылку.
Может есть теорема запрещающая НОДУ иметь такие решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 13:49 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну а почему нет? В порядке баловства, $yy'=x$, решение $y=x$.

Может, Вы что-то другое хотели спросить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 13:53 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Не успел поправить свой вопрос: Бесконечный ряд. НОДУ не сводимо к ЛОДУ заменой переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 13:57 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Divergence в сообщении #1056221 писал(а):
НОДУ не сводимо к ЛОДУ.

Я боюсь, это условие будет трудно формализовать. ))

Напишите любую нелинейную дифференциальную гадость. Подставьте туда, например, экспоненту. И загладьте неприятности неоднородным членом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 14:00 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Но вроде ваш трюк
"Напишите любую нелинейную дифференциальную гадость. Подставьте туда, например, экспоненту. И загладьте неприятности неоднородным членом."
означает, что данное НДГ (НОДУ) сводится к ЛОДУ ($y'=y$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 14:13 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
$y(y')^2=e^{3x}$. Сводится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 14:22 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Любое ОДУ первого порядка вида $y' = f(x,y)$ сводится к линейному подходящей заменой переменных. Процедура естественно неконструктивна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 14:27 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Неконструктивность означает отсутствие замены переменной в общем случае или что-то другое?
а Как насчет ОДУ второго порядка?

А где можно посмотреть теорему "Любое ОДУ первого порядка вида $y' = f(x,y)$ сводится к линейному подходящей заменой переменных"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 14:35 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
_

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 14:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
DLL в сообщении #1056226 писал(а):
Любое ОДУ первого порядка вида $y' = f(x,y)$

Разрешенное относительно производной. Нормальных форм Чибрарио вроде никто не отменял.
Или я чего не вижу?

Это правда, не тот случай несколько, к Чибрарио не приведется, но и выделить линейную часть пока не вижу как. Может, и можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 14:58 
Аватара пользователя


12/11/13
337
Тут по ходу еще вопросик возник. Верно ли Утверждение-Гипотеза:
"Для любой вещественно-значной аналитической функции, представимой в виде степенного ряда
$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$
с бесконечным радиусом сходимости существует ЛОДУ (или система ЛОДУ), решение которого она является."
(Не совсем ясно можно ли в этом утверждении потребовать конечное число уравнений в системе ОДУ,
если степенной ряд содержит бесконечное число ненулевых коэффициентов $a_n$.)

Это Утверждение-Гипотеза далека ли от истины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
$y'=f'(x)$. Нравится? :mrgreen:

Если уж нелинейное находится, то тут чего бы не найтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Otta в сообщении #1056232 писал(а):
$y'=f'(x)$. Нравится? :mrgreen:

Если уж нелинейное находится, то тут чего бы не найтись.

Так оно же отродясь не однородное! :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:28 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Однородных не заказывали ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?
Сообщение24.09.2015, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Otta в сообщении #1056235 писал(а):
Однородных не заказывали ))

Как это "не заказывали"? :shock:
Divergence в сообщении #1056231 писал(а):
"Для любой вещественно-значной аналитической функции, представимой в виде степенного ряда
$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$
с бесконечным радиусом сходимости существует ЛОДУ (или система ЛОДУ), решение которого она является."

Тогда что такое "ЛОДУ"? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group