Диаметр последовательности простых чисел

[Dmitriy40]

По моему нету. Она обязана начинаться с a(8)=1107819732821 из A111950, а это число входит лишь в три последовательности, причём не на первой позиции, да и вообще они о другом.
Аналогично и про более длинные последовательности близнецов.

[Begemot82]

Dmitriy40
Могут быть только такие последовательности

$ 2, 4, 2 $ - квадруплеты и
$ 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2$
$ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2$
$ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2$

Действительно сначала будет очень редко.

[Begemot82]

Максимальные разности на вершине из ряда $ 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28, ... $ ( тоже последовательность )

[Dmitriy40]

Begemot82
Забавно, что длина последовательности (количество чисел в ней) равна максимальной разности. Удобно.
А ещё забавно, что все они будут подмножеством КПППЧ - попарные суммы совпадают. Вот только квадратов 4х4 из них кажется не собирается. Во всяком случае из длины 16 точно.

[Begemot82]

Поискал $ 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28, ... $ в OEIS, нашлись 4 последовательности. У всех дальше продолжение $ 32, 38 $. Продолжил новую последовательность $ 32, 34 $, т.е она действительно новая. Если еще в начале добавить 2, то вот она
$2, 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28, 32, 34$

[Begemot82]

grizzly в сообщении #1055468 писал(а):

Пусть $D(x)=\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)$. Эрдош говорит о следующем выражении при $x\to \infty $:

$$ \max\limits_{p_k<x} \dfrac{(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)^2}. $$

Наверно так

$$ \dfrac{\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)^2} $$

[Dmitriy40]

При вычислении этого максимума предполагается что $D(x)=\operatorname{const}$, так что без разницы где стоит константа.

-- 24.09.2015, 18:59 --

Можно даже так переписать, для большей понятности:

$$f(x) = \max\limits_{p_a < x}\frac{(p_{a+1}-p_a)(p_a-p_{a-1})}{(\max\limits_{p_b < x}(p_{b+1}-p_b))^2} = \frac{\max\limits_{p_a < x}((p_{a+1}-p_a)(p_a-p_{a-1}))}{(\max\limits_{p_b < x}(p_{b+1}-p_b))^2}$$

Обратите внимание, индексы в числителе и знаменателе разные! А $x$ одинаковые.

[grizzly]

Совершенно не понимаю, из каких соображений Эрдош был настолько уверен в своей гипотезе. Никакая обозримая эмпирика на это не намекает. И эта эмпирика у него уже была 30 лет тому (я видел старые работы, в которых изучали выборочную статистику для очень больших по тем временам интервалов, до которых мы и сейчас не дойдём в полном объёме). С другой стороны, вероятностную модель Крамера после выдвижения той гипотезы сколько-то правил Грэнвилль. Но эта правка никак не тянет на такие изменения.

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1056301 писал(а):

Можно даже так переписать, для большей понятности:

Вот так намного понятней. В прежней записи каждый раз воспринимал по другому.

-- 24.09.2015, 19:31 --

grizzly
Если рассматривать только числа, на которых достигается рекорд $D(x)$, то отношение стремится к нулю. Или на каких-то особых простых числах.
Не помните порядок интервалов?

[Dmitriy40]

А я вот никак не пойму откуда же берётся 0.25 в пределе. Это походу чисто эмпирический факт, не подкреплённый даже вероятностными методиками (правда я в них и не разбираюсь). Попробую аргументировать своё возражение.
Выберем такой $x=p_c+1$, чтобы выполнилось $D(x)>D(x-1)$ (сами $c$ и $p_c$ не знаем, но это и не нужно, главное что они есть), это очевидно возможно. Фактически это означает что интервал от $p_c$ до следующего простого больше чем интервал до предыдущего простого. Для такого $x$ ни одно из чисел $(p_{i+1}-p_i)$ и $(p_i-p_{i-1})$ при $p_i<x$ не может превышать $D(x)$. Соответствено, произведение таких чисел не может превысить $D(x)^2$ (теорема о максимуме площади прямоугольника со сторонами не больше заданной, что достигается лишь для квадрата).
А вот что может помешать произведению стать равным $D(x)(D(x)-2)$ я не понимаю. Ведь вполне может встретиться такая ситуация, когда следующий интервал от простого числа всего на 2 больше предыдущего интервала до того же простого числа. И с увеличением величины интервала $t=D(x)$ отношение $\frac{t(t-2)}{t^2}$ будет неограниченно приближаться к 1, а вовсе не к 0.25.
Не вижу я прямого запрета нахождению такой пары интервалов. Да, пока такого не встретилось, но это эмпирика ... Получается что пока что рядом с каждым рекордом интервала стоят исключительно весьма короткие интервалы, менее четверти рекорда. Но в чём причины этого?!
Или я в чём-то всё же ошибся?

-- 24.09.2015, 19:39 --

Begemot82
Да, я и сам постоянно недопонимал что это за дробь, только после Вашего вопроса попытался проанализировать подробно и кажется дошло. За что Вам спасибо. Воистину при объяснении другому и сам понимаешь лучше.

[Begemot82]

Если вместо $D_2$ взять $D_3$, то $ \dfrac{2r_1\cdot 2r_2}{D_3^2} $ может быть равно 1 или сколь угодно быть близким к 1. А эмпирика в $ \dfrac{D_3}{D_2} \to 1$

[Dmitriy40]

Не поленился проверил все известные рекорды для чисел $>10^{12}$, максимум что нашёл: (-92,55350776431903243,+1198). 92/1198, слёзы.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1056330 писал(а):

Или я в чём-то всё же ошибся?

Я уверен, что Вы ошибаетесь. Я не смогу расписать здесь выкладки вероятностной модели, приводящей к 1/4 -- я их не знаю и не владею этой техникой. Но я смотрел в статьях различный инструментарий этой модели и имею какое-то минимальное представление о её возможностях. И вероятность встретить предложенную Вами пару подряд идущих интервалов наверняка будет 0 (даже если это событие не является невозможным). Так что меня совсем не удивляет утверждение Ruzsa в его обзорной статье. К тому же его авторитет в области теории чисел не следует сбрасывать со счетов.

Мы могли бы посмотреть такую выборочную эмпирику на тех интервалах, до которых мы не дотягиваемся. Взять интервал ~10 млрд. чисел, начиная с $10^{19}$, например, найти на нём максимум произведения подряд идущих Gap'ов и максимальный Gap. Поделить одно на квадрат другого. Это, конечно, не в точности то же, что нам нужно, но разница здесь чисто косметическая. Зато таких экспериментов можно провести много и как раз в духе вероятностных методов убедиться, что в результате с завидным постоянством будет ~0.25.

[Begemot82]

А что, идея! Привык видишь ли все от $0$ шагать. Вспоминаю, что иногда в серьезных статьях попадались таблицы небольших интервалов, но удаленных от основной области исследования. А меня кто может остановить? Ну ошибусь пару раз, кто-нибудь поправит. Итак день на раздумья и на выходные запускаю серию тестов в далеких тайных глубинах.

[Dmitriy40]

Да, интересный эксперимент. Лучше даже брать числа из диапазона $(1425172824437699412,2^{64})$ (почти 13 раз) - для них точно известно (из вики) $D(x)=1476$. Правда я не помню где видел утверждение что проверены все числа до $2^{64}$, тогда можно взять предыдущий диапазон $(804212830686677670,1425172824437699410)$ с $D(x)=1442$. Primesieve работает в обоих диапазонах.