Степеной ряд с R=infinity как решение нелинейного ОДУ?

[Divergence]

Может ли быть вещественно-значная аналитическая функция, представимая в виде степенного ряда

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$

с бесконечным (!) радиусом сходимости, быть решением нелинейного (!) обыкновенного дифференциального уравнения?
Встречал ли кто-либо такое НОДУ? Подскажите пожалуйста пример и если можно ссылку.
Может есть теорема запрещающая НОДУ иметь такие решения?

[Otta]

Ну а почему нет? В порядке баловства, $yy'=x$, решение $y=x$.

Может, Вы что-то другое хотели спросить?

[Divergence]

Не успел поправить свой вопрос: Бесконечный ряд. НОДУ не сводимо к ЛОДУ заменой переменной.

[Otta]

Divergence в сообщении #1056221 писал(а):

НОДУ не сводимо к ЛОДУ.

Я боюсь, это условие будет трудно формализовать. ))

Напишите любую нелинейную дифференциальную гадость. Подставьте туда, например, экспоненту. И загладьте неприятности неоднородным членом.

[Divergence]

Но вроде ваш трюк
"Напишите любую нелинейную дифференциальную гадость. Подставьте туда, например, экспоненту. И загладьте неприятности неоднородным членом."
означает, что данное НДГ (НОДУ) сводится к ЛОДУ ($y'=y$).

[Otta]

$y(y')^2=e^{3x}$. Сводится?

[DLL]

Любое ОДУ первого порядка вида $y' = f(x,y)$ сводится к линейному подходящей заменой переменных. Процедура естественно неконструктивна.

[Divergence]

Неконструктивность означает отсутствие замены переменной в общем случае или что-то другое?
а Как насчет ОДУ второго порядка?

А где можно посмотреть теорему "Любое ОДУ первого порядка вида $y' = f(x,y)$ сводится к линейному подходящей заменой переменных"?

[dsge]

_

[Otta]

DLL в сообщении #1056226 писал(а):

Любое ОДУ первого порядка вида $y' = f(x,y)$

Разрешенное относительно производной. Нормальных форм Чибрарио вроде никто не отменял.
Или я чего не вижу?

Это правда, не тот случай несколько, к Чибрарио не приведется, но и выделить линейную часть пока не вижу как. Может, и можно.

[Divergence]

Тут по ходу еще вопросик возник. Верно ли Утверждение-Гипотеза:
"Для любой вещественно-значной аналитической функции, представимой в виде степенного ряда

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$

с бесконечным радиусом сходимости существует ЛОДУ (или система ЛОДУ), решение которого она является."
(Не совсем ясно можно ли в этом утверждении потребовать конечное число уравнений в системе ОДУ,
если степенной ряд содержит бесконечное число ненулевых коэффициентов $a_n$.)

Это Утверждение-Гипотеза далека ли от истины?

[Otta]

$y'=f'(x)$. Нравится?

Если уж нелинейное находится, то тут чего бы не найтись.

[Brukvalub]

Otta в сообщении #1056232 писал(а):

$y'=f'(x)$. Нравится?

Если уж нелинейное находится, то тут чего бы не найтись.

Так оно же отродясь не однородное!

[Otta]

Однородных не заказывали ))

[Brukvalub]

Otta в сообщении #1056235 писал(а):

Однородных не заказывали ))

Как это "не заказывали"?

Divergence в сообщении #1056231 писал(а):

"Для любой вещественно-значной аналитической функции, представимой в виде степенного ряда

$$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} a_n \, x^n \quad (|x|<\infty) $$

с бесконечным радиусом сходимости существует ЛОДУ (или система ЛОДУ), решение которого она является."

Тогда что такое "ЛОДУ"?