Вектора H и B в теории электричества

[Munin]

То есть, $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$ как канонические импульсы? Красиво, не подумал об этом (или "знал, но забыл").

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1052787 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1052760 писал(а):

И тут в некоторых книгах утверждается, что $\mathbf{H}$ вообще не является магнитным полем в том смысле, что это поле не соленоидально, его линии могут начинаться и заканчиваться на границах сред.

Довольно странно, не приведёте ли цитату? Потому что такие вещи в определение магнитного поля ну никак не могут включаться.

Цитату не приведу, но в Зильбермане (пар.17) говорится об источниках поля $\mathbf{H}$.

-- Вт сен 15, 2015 20:15:57 --

rustot в сообщении #1053087 писал(а):

Если я разбиваю биздивергентное поле $\vec{B}$ на два условных слагаемых и при этом одно из них дивергентно то второе будет тоже заведомо дивергентным. А полю намагниченности $\vec{M}$ ничего не мешает быть дивергентным

Что такое дивергентное поле?

-- Вт сен 15, 2015 20:18:35 --

SergeyGubanov в сообщении #1053274 писал(а):

Можно плясать от Лагранжиана $L$, который выражается через поля $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$, далее вводить поля $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$ по формулам:

$$ \mathbf{D} = 4 \pi \frac{\partial L}{\partial \mathbf{E}}, \quad \mathbf{H} = - 4 \pi \frac{\partial L}{\partial \mathbf{B}}. $$

Какому физическому процессу соответствует рассматриваемый лагранжиан?

-- Вт сен 15, 2015 20:24:34 --

Иродов. Пар. 7.3.

Цитата:

Поэтому вектор $\mathbf{H}$ - это действительно вспомогательный вектор, не имеющий сколько нибудь глубокого физического смысла

.

[SergeyGubanov]

мат-ламер в сообщении #1053634 писал(а):

Какому физическому процессу соответствует рассматриваемый лагранжиан?

Берёте любой интересующий физический процесс, пишите соответствующий ему Лагранжиан, дифференцируете по $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$, получаете $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1053634 писал(а):

Цитату не приведу, но в Зильбермане (пар.17) говорится об источниках поля $\mathbf{H}$.

Угу. Но ни Зильберман, ни Иродов не говорят, что $\mathbf{H}$ - не магнитное поле.

мат-ламер в сообщении #1053634 писал(а):

Какому физическому процессу соответствует рассматриваемый лагранжиан?

Лагранжиан соответствует не процессам, а законам физики. В данном случае - электродинамике, очевидно.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1053644 писал(а):

Лагранжиан соответствует не процессам, а законам физики. В данном случае - электродинамике, очевидно.

Я имел в виду, например, лагранжиан движения заряженной частицы в электромагнитном поле.

-- Вт сен 15, 2015 21:05:47 --

Munin в сообщении #1053644 писал(а):

Угу. Но ни Зильберман, ни Иродов не говорят, что $\mathbf{H}$ - не магнитное поле.

Можно считать это магнитным полем с источниками (или магнитными зарядами) (т.е. с отличной от нуля дивергенцией).

-- Вт сен 15, 2015 21:10:27 --

Munin в сообщении #1053644 писал(а):

Лагранжиан соответствует не процессам, а законам физики. В данном случае - электродинамике, очевидно.

Я понимал лагранжиан так, что некоторый физический процесс будет происходить так, чтобы минизировался (локально) некий интеграл от лагранжиана. А как понимать лагранжиан, соответстующий некоторому закону физики?

[rustot]

мат-ламер в сообщении #1053634 писал(а):

Что такое дивергентное поле?

C ненулевой дивергенцией хотя бы в одной точке

Возьмем однородно намагниченный постоянный магнит. Его намагниченность $\vec{M}$ одинакова во всем его теле и нулевая за его пределами. Естественно на границе магнита $\vec{M}$ обрывается и там где оно обрывается перпендикулярно поверхности у $\vec{M}$ ненулевая дивергенция, там находятся "источники намагниченности", а там где обрывается параллельно поверхности там ненулевой ротор. Естественно если вы теперь это "поле намагниченности" вычтете из $\vec{B}$ с целью получить $\vec{H}$, то у результирующей разности на тех же поверхностях тоже изменятся и ротор и дивергенция по сравнению с $\vec{B}$. И у $\vec{H}$ обнаружатся "источники" точно там же где они были у намагниченности. Заодно у $\vec{H}$ может еще и ротор исчезнуть там где он был у $\vec{B}$, оно станет потенциальным.

[мат-ламер]

rustot
Спасибо. Значит поле намагничености - это не просто поле, создаваемое токами Ампера, но ещё плюсуется поле от некоторых вспогомогательных магнитных зарядов.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1053647 писал(а):

Можно считать это магнитным полем с источниками (или магнитными зарядами) (т.е. с отличной от нуля дивергенцией).

Можно. И даже нужно (в случае наличия магнетиков).

мат-ламер в сообщении #1053647 писал(а):

Я понимал лагранжиан так, что некоторый физический процесс будет происходить так, чтобы минизировался (локально) некий интеграл от лагранжиана. А как понимать лагранжиан, соответстующий некоторому закону физики?

Точно так же. Только лагранжиан одинаковый для разных процессов. Отличаются только граничные условия вариационной задачи.

-- 15.09.2015 20:50:17 --

мат-ламер в сообщении #1053660 писал(а):

Значит поле намагничености - это не просто поле, создаваемое токами Ампера, но ещё плюсуется поле от некоторых вспогомогательных магнитных зарядов.

А вот теперь у вас каша в голове.

Намагниченность можно представлять себе либо токами Ампера, либо вспомогательными магнитными зарядами. Не стоит делать и то и другое одновременно. Иначе вы посчитаете одну и ту же величину два раза.

(Оффтоп)

От меня до Пети 10 метров, а от Пети до меня - ещё 10 метров. Значит, вместе 20 метров!
У меня 100 рублей, а в моём кармане тоже 100 рублей. Значит, вместе 200 рублей!
Надеюсь, понятно, что это ошибки одного и того же типа.

[rustot]

мат-ламер в сообщении #1053660 писал(а):

rustot
Спасибо. Значит поле намагничености - это не просто поле, создаваемое токами Ампера, но ещё плюсуется поле от некоторых вспогомогательных магнитных зарядов.

Да. $\nabla\times\vec{M}$ описывает те токи, которые бы пришлось создать, чтобы убрав намагниченность сохранить ее вклад в поле $\vec{B}$ в точности таким же. Но при этом $\nabla\vec{M}$ нулевой быть вовсе не обязана, то есть $\vec{M}$ в отличии от $\vec{B}$ может взять и оборваться. Но на величину эквивалентных токов $\nabla\vec{M}$ не влияет, она просто ограничивает $\vec{M}$ в пространстве объемом магнетика.

Вы в принципе можете убрать у $\vec{M}$ дивергенцию сохранив при этом $\nabla\times\vec{M}$ неизменным и посмотрев каким тогда получится $\vec{M}$ соорудите большущий магнит с такой же точно намагниченностью и поле $\vec{B}$ от этой замены не изменится. Если других источников магнитного поля нет, то $\vec{H}$ при этом станет нулевым

[Viktor92]

Munin в сообщении #1052931 писал(а):

Вывод...
1. Начните с двух точечных зарядов, и сближайте их, удерживая $\mathbf{p}.$ Получится (если аккуратно всё делать) выражение с дельта-функцией, "диполь электрического типа".

Сейчас попытался вывести данное соотношение, вот к чему пришёл:
1. Нашёл потенциал в произвольной точке

$$\varphi=\frac{p\cos{\theta}}{r^2}=\frac {py}{(x^2+y^2)^\frac 3 2} $$

, причём начало координат совмещал с одним из зарядов диполя (с "левым"- отрицательным).
2. Поле нахожу как $\mathbf{E}=-\nabla\varphi$
3. После долгих преобразований получил

$$\mathbf{E}=\frac {3pyx}{r^5}\mathbf{i} +(\frac{3y^2}{r^5}-\frac{p}{r^3})\mathbf{j}$$

, где $r=\sqrt{x^2+y^2}$
Дальше незнаю, как "причесать" данное выражение

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1053661 писал(а):

А вот теперь у вас каша в голове.

Намагниченность можно представлять себе либо токами Ампера, либо вспомогательными магнитными зарядами. Не стоит делать и то и другое одновременно. Иначе вы посчитаете одну и ту же величину два раза.

Не согласен. Если намагниченность представлять себе исключительно токами Ампера, то вектор намагниченности будет соленоидальным полем.

-- Ср сен 16, 2015 21:18:18 --

SergeyGubanov в сообщении #1053640 писал(а):

Берёте любой интересующий физический процесс, пишите соответствующий ему Лагранжиан, дифференцируете по $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$, получаете $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$.

Не подскажете, где можно посмотреть про лагранжиан ЭМ поля в веществе (среде)?

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1053897 писал(а):

Сейчас попытался вывести данное соотношение, вот к чему пришёл:
1. Нашёл потенциал в произвольной точке

Вы недостаточно аккуратно отнеслись к предельному переходу, и потеряли дельта-функцию.

Viktor92 в сообщении #1053897 писал(а):

3. После долгих преобразований получил

$$\mathbf{E}=\frac {3pyx}{r^5}\mathbf{i} +(\frac{3y^2}{r^5}-\frac{p}{r^3})\mathbf{j}$$

, где $r=\sqrt{x^2+y^2}$
Дальше незнаю, как "причесать" данное выражение :-)

Начать с того, что оно неверно, так как должно быть трёхмерным.

мат-ламер в сообщении #1053917 писал(а):

Не согласен. Если намагниченность представлять себе исключительно токами Ампера, то вектор намагниченности будет соленоидальным полем.

А попробуйте на практике.

мат-ламер в сообщении #1053917 писал(а):

Не подскажете, где можно посмотреть про лагранжиан ЭМ поля в веществе (среде)?

ЛЛ-8.

[Viktor92]

Munin в сообщении #1053952 писал(а):

Вы недостаточно аккуратно отнеслись к предельному переходу, и потеряли дельта-функцию.

Эх, долго разбирался с правилами работы с $\delta$ функцией, спасибо книге Зельдовича Правильно ли получилось?
1. Запишем плотность зарядов расположенных на оси $x$
$\rho=-q\delta(x)+q\delta(x-l)$
$r^+ \approx r^- - l\cos \theta =r-\frac{(\mathbf{r}\mathbf{l})}{r}$, где положили $r=r^-$
2. Теперь по закону суперпозиции сложим потенциалы от каждого заряда, все выкладки приводить не буду, вот после некоторых преобразований получил

$$\frac{-q\delta(x)r^2+q\delta(x-l)r^2+q \delta(x) (\mathbf{r}\mathbf{l})}{r^3-r(\mathbf{r}\mathbf{l})}$$

Далее пытаемся образовать нечто похожее на определение производной, только с дельта-функцией.

$$\frac{pr^2\frac{(\delta(x-l)-\delta(x))}{-l}+q\delta(x)(\mathbf{r}\mathbf{l})}{r^3-r(\mathbf{r}\mathbf{l})}$$

Ну и сейчас осуществляем предельный переход удерживая $p$, получается

$$\phi=\frac{pr^2\delta'(x)+\delta (x) (\mathbf{r}\mathbf{p})}{r^3}$$

Теперь пытаюсь вот понять физ. смысл этих двух членов в числителе, первый вроде как плотность "диполя", а второй к каждому заряду в отдельности относится? Далее буду пытаться получить напряжённость поля..., а пока перерыв

[amon]

Munin в сообщении #1053952 писал(а):

писал(а):

мат-ламер в сообщении #1053917 писал(а):

Не подскажете, где можно посмотреть про лагранжиан ЭМ поля в веществе (среде)?

ЛЛ-8.

По-моему, нет там такого, зато есть фраза типа: "Для произвольной дисперсии дать разумное определение энергии электромагнитного поля невозможно". (За дословность не ручаюсь, но смысл такой).

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1054011 писал(а):

2. Теперь по закону суперпозиции сложим потенциалы от каждого заряда, все выкладки приводить не буду, вот после некоторых преобразований получил

$$\frac{-q\delta(x)r^2+q\delta(x-l)r^2+q \delta(x) (\mathbf{r}\mathbf{l})}{r^3-r(\mathbf{r}\mathbf{l})}$$

Проблема в том, что вы складываете не потенциалы, а заряды. А если бы складывали потенциалы, то получилось бы выражение, содержащее в числителе не только члены с дельтами, но и члены без дельт.