Вектора H и B в теории электричества

[Viktor92]

Не очень уверен правильности "выкладок" ниже, но смог додуматься только до этого, начал было переходить к сферическим координатам, но понял что это плохая идея

$$\int \limits_{-\infty}^{\infty} dz'\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (y') \delta(z')dy' \int\limits_{-\infty}^{\infty}\lim\limits_{l\to0 (x'\to0 y'\to 0 z'\to 0)}\frac{-l q\frac{\delta (x'-l)-\delta(x')}{-l}}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'=$$

$$=-\int \limits_{-\infty}^{\infty} dz'\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac {p \delta (x')\delta (y')\delta(z')}{\sqrt {x^2+y^2+z^2}}dy'= -\frac {p\delta(x')}{r}$$

[Munin]

Первая строчка правильная. Вторая - не умеете вы с дельта-функциями обращаться.

[Viktor92]

Я так понимаю моя ошибка в том, что

$$\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta'(x)dx\ne\delta(x)$$

а равно чему-то другому?

[Munin]

Отчего ж вы всё в уме стараетесь сделать? Распишите выкладки. А то найти ошибку невозможно.

[Viktor92]

Munin в сообщении #1055675 писал(а):

Отчего ж вы всё в уме стараетесь сделать?

Дурная привычка, результат того, что при чтении литературы лень лишний раз черкать бумагу, делаю всё в уме

$$\int \limits_{-\infty}^{\infty} dz'\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (y') \delta(z')dy' \int\limits_{-\infty}^{\infty}\lim\limits_{l\to0 (x'\to0 y'\to 0 z'\to 0)}\frac{-l q\frac{\delta (x'-l)-\delta(x')}{-l}}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'=$$ $$=-p\int \limits_{-\infty}^{\infty} dz'\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (y') \delta(z')dy' \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\delta'(x')}{\sqrt {x^2+y^2+z^2}}dx'=-p\int \limits_{-\infty}^{\infty} dz'\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac {\delta(x')\delta (y') \delta(z')}{r}dy'=$$ $$=-p\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac {\delta(x') \delta(z')}{r} dz'=-p\frac{\delta(x')}{r}$$

Для уточнения: дельта-функция с штрихом - это производная дельта функции, при вычислении двукратного интеграла по $dy'$, $dz'$, использовал свойство дельта-функции по определению $\int \limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx=1$

[Munin]

А. Я только щас заметил. Вот это что за ерунда: $(x'\to0 y'\to 0 z'\to 0)$?

[Viktor92]

Munin в сообщении #1055706 писал(а):

Вот это что за ерунда: $(x'\to0 y'\to 0 z'\to 0)$?

Я так и думал, что ерунда , но мои рассуждения были следующими : ведь $\mathbf{r'}=(x',y',z')$ радиус-вектор области, где задана плотность $\rho(r')=-q\delta(x')+q\delta(x'-l)$, для неё заведомо $y'=0, z'=0$, а когда мы устремляем $l \to 0 (p=\operatorname{const})$, то $x' \to 0$, для меня всё логично, подскажите где ошибаюсь?

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1056099 писал(а):

где задана плотность $\rho(r')=-q\delta(x')+q\delta(x'-l)$, для неё заведомо $y'=0, z'=0$,

Конечно, плотность надо писать иначе, и она и была записана иначе:

Viktor92 в сообщении #1054780 писал(а):

$\rho(\mathbf{r'})=-q\delta(x)\delta(y)\delta(z)+q\delta(x-l)\delta(y)\delta(z)$

вами же.

И заметьте, плотность - это функция от трёх переменных. Что значит выражение "для фукнции заведомо $y'=0, z'=0$" - никому не известно, и смысла не имеет.

[Viktor92]

Munin в сообщении #1056118 писал(а):

Что значит выражение "для функции заведомо $y'=0, z'=0$" - никому не известно, и смысла не имеет.

Да, сморозил глупость, эта меня образное представление с толку сбило, я так понимаю мне теперь надо просто взять интеграл, только смущает дельта-функция в числителе, такой интеграл надо брать по частям?

$$\phi(\mathbf{r})=-p\int \limits_{-\infty}^{\infty} dz'\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (y') \delta(z')dy' \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\delta'(x')}{\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'$$

[Munin]

Угу, видимо, по частям.

[Viktor92]

Проинтегрировал, получил тот же ответ что и ранее...

$$\varphi(\mathbf{r})=-p\int \limits_{-\infty}^{\infty} dz'\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (y') \delta(z')dy' \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\delta'(x')}{\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'=$$

$$=-p\int \delta(z')dz' \int \left ( \frac{\delta(x')}{\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}-\int \frac {(x-x')\delta(x')}{ ((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^ \frac 3 2}\right)\delta(y')dy'= $$

$$=-p\int \delta(z')dz' \int \left(\frac {\delta(x')}{\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}-\frac {x}{(x^2+y^2+z^2)^\frac 3 2} \right)\delta(y')dy'$$

$$=-p\int \delta(z')\left(\frac {\delta(x')}{r}-\frac {x} {r^3} \right)dz' =-\frac {p\delta(x')}{r}+\frac {px}{r^3}$$

[Munin]

Каким образом у вас, после взятия по частям, получилось выражение с переменной интегрирования ($x'$), стоящей не под знаком интеграла?

[Viktor92]

Вот так:

$$u=\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} ; dv=\delta'(x')dx'$$

отсюда

$$du=\frac{x-x'}{((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^\frac 3 2}dx' ; v=\delta(x')$$

получаем

$$-p\int \delta(z')dz' \int \left ( \frac{\delta(x')}{\sqrt {(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}-\int \frac {(x-x')\delta(x')}{ ((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^ \frac 3 2}\right)\delta(y')dy'$$

[Munin]

$\int_a^b u\,dv=?$

[Viktor92]

$\int_a^b u\,dv=uv\right\rvert^b _a-\int_a^bvdu$
Да, я понял ошибку, забыл подставить пределы интегрирования у произведения $uv$
Но после всех вычислений, получил выражение вообще без дельта-функций $\varphi=\frac{px}{r^3}=\frac {(\mathbf{p}\mathbf{r})}{r^3}$