Беспроводная передча энергии... по проводам

[peregoudov]

Беспроводная передача энергии... по проводам в цепях постоянного тока

Беспроводная передача энергии --- довольно популярный в лженаучной среде фетиш. Обычно она противопоставляется гадкой, "неэффективной" и отсталой передаче энергии "по проводам". Между тем "беспроводная передача" --- масло масляное, ибо даже в цепях постоянного тока энергия передается отнюдь не по проводам. Вот это я и предлагаю здесь обсудить.

Непосредственным побудительным мотивом начать тему стало осуществление моей давней мечты: построение простой точно решаемой модели цепи постоянного тока, в которой присутствуют все атрибуты, необходимые для исследования вопроса о передаче энергии: источник ЭДС, нагрузка и соединяющий их провод с ненулевым сопротивлением. Но свой рассказ я начну с более простых моделей.

Как известно, поток энергии в электромагнитном поле описывается вектором Пойнтинга

$$ {\bf S}=\varepsilon_0 c^2{\bf E}\times{\bf B}. $$

Таким образом, зная электрическое и магнитное поля, можно вычислить и поток энергии. Один из простейших случаев описан в "Фейнмановских лекциях по физике" (том 6, глава 27, параграф 5 "Примеры потоков энергии"). Фейнман рассматривает бесконечно длинный цилиндрический провод радиуса $R$ с удельным сопротивлением $\rho$, по которому течет (равномерно распределенный по сечению) ток $I$. Для поддержания такого тока в проводе должно существовать направленное вдоль провода (однородное) поле $\bf E$, связанное с плотностью тока $j=I/\pi R^2$ равенством

$$ {\bf E}=\rho{\bf j}. $$

В силу непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля на боковой границе провода, это поле распространяется на все пространство. Магнитное поле нетрудно найти по теореме о циркуляции, вне провода $B=\mu_0 I/2\pi r$, а внутри $B=\mu_0 jr/2$ ($r$ --- расстояние от оси провода). Вектор Пойнтинга всюду оказывается направлен к оси провода, вне провода он равен $S=\rho I^2\!/2\pi^2 r R^2$, а внутри $S=\rho I^2 r/2\pi^2 R^4$.

Далее Фейнман показывает, что поток энергии через боковую поверхность цилиндра радиуса $r$ и длины $l$ в точности равен выделяющемуся внутри джоулеву теплу: всюду вне провода поток постоянен и равен $(\rho l/\pi R^2)I^2$, а внутри $(\rho l/\pi r^2)(Ir^2\!/R^2)^2$. Таким образом, никакой энергии вдоль провода не передается. Провод лишь поглощает энергию, приходящую из окружающего электромагнитного поля, преобразуя ее в тепло.

Недостатки рассмотренной модели очевидны: в ней нет источника ЭДС и энергия мистическим образом сходится к проводу из бесконечности. На самом деле в рамках этой же модели можно сделать следующий шаг и рассмотреть тот же цилиндр, являющийся уже источником ЭДС. Выписанное выше соотношение между электрическим полем и плотностью тока в источнике ЭДС не выполняется, поскольку на заряды в нем действует не только электрическое поле, но и сторонние силы. В результате ток течет против поля, что можно формально описать отрицательным удельным сопротивлением. Разница с проводником состоит в том, что теперь поток энергии расходится от оси, постепенно набирая силу внутри источника и оставаясь постоянным вне него.

Комбинируя две описанные модели, можно качественно понять пути энергии в цепи, содержащей источник ЭДС и нагрузку: энергия передается вовсе не по проводам, она, скорее, растекается от источника перпендикулярно им, и, поблуждав по пространству, заходит в нагрузку также перпендикулярно проводам.

Как я уже сказал, свою модель я опишу чуть позже, а пока, для разминки, первая простая задача.

Показать, что поток энергии в бесконечно длинной сверхпроводящей коаксиальной линии в точности равен мощности, вычисляемой по электротехнической формуле, то есть равен $IU$, где $I$ --- ток в линии, $U$ --- напряжение на ней.

[AlexDem]

Быть может, для понимания будет полезен один эксперимент, который я придумал давно.

(Описание)

AlexDem в сообщении #38148 писал(а):

Рассмотрим космический корабль (так интуитивно проще, чтобы трение нам не мешало).

AlexDem в сообщении #38684 писал(а):

Предлагаю все-таки отказаться от полупроводников в угоду простоте. Итак, имеем:
1) Два конденсатора, одна пластина у каждого из них сделана из вещества, другая - из антивещества. Диэлектриком в конденсаторах служит вакуум.
2) Два провода - один из вещества, другой из антивещества.
3) Рубильник, способный разрывать/подключать оба провода одновременно.

Эта система вполне может быть реализована физически (при наличии антивещества), поскольку вещество и антивещество нигде не соприкасаются. Один из конденсаторов поместим в хвост, другой - в голову нашего корабля. Рассмотрим два случая.

А) Зарядим хвостовой конденсатор так, чтобы его вещественная клемма имела положительный заряд, а антивещественная - отрицательный. Включим рубильник. Электроны и позитроны побегут от головного к хвостовому конденсатору, а энергия и масса - в обратном направлении - к голове! Атомы кристаллической решетки неподвижны, а масса идет в сторону, обратную реальным частицам! :)

Б) Если мы зарядим хвостовой конденсатор наоборот - вещественную клемму отрицательным зарядом, а антивещественную - положительным, то тогда при включении рубильника частицы побегут в голову вместе с энергией, как и подсказывает интуиция...


На самом деле энергия путешествует не по проводам. По проводам путешествует заряд. К сожалению, не нашел картинку, попробую как-нибудь объяснить "на пальцах". Насколько помню, эта картинка касалась теоремы Остроградского-Гаусса (http://ru.wikipedia.org/wiki/ Формула_Остроградского). Так вот, энергия в конденсатор поступает не по проводам, а из окружающего пространство при движении зарядов к/от конденсатора. Энергию переносит поле, находящееся снаружи проводника. Тогда все встает на свои места. До сих пор я не понимал смысла этого, теперь понял :)

[Cos(x-pi/2)]

А чего ж, неплохо, если получится учебно-воспитательный рассказ для учащихся :-)

Не уверен, что я как надо уразумел задачку

peregoudov в сообщении #1053171 писал(а):

Показать, что поток энергии в бесконечно длинной сверхпроводящей коаксиальной линии в точности равен мощности, вычисляемой по электротехнической формуле, то есть равен $IU$, где $I$ --- ток в линии, $U$ --- напряжение на ней

но попробую поддержать хотя бы начало этого разговора:

Допустим, в линии внутренний провод (радиусом $r_1$) и окружающая его проводящая оболочка (радиусом $r_2$) однородно заряжены зарядами противоположного знака и одинаковой величины. Тогда между ними имеется чисто радиальное электрическое поле $E$, оно всё заключено внутри линии, а снаружи равно нулю; из ур-я Максвелла для дивергенции электрического поля находим по теореме Гаусса:

$E=\dfrac{a}{r}$ , где $a$ - постоянная, определяемая линейной плотностью заряда.

Допустим, по проводу течёт ток $I$, а по оболочке течёт такой же ток в обратном направлении. Тогда между ними имеется магнитное поле $H;$ снаружи оно равно нулю. Из ур-я Максвелла для ротора магнитного поля $\operatorname{rot} \vec{H}=(4 \pi /c) \vec{j}$ находим по теореме Стокса:

$H=\dfrac {2I}{c} \dfrac{1}{r}$ (в системе единиц Гаусса).

Тогда вектор Пойнтинга $\vec{\Pi}=(c/4 \pi)[\vec{E} \times \vec{H}]$ направлен вдоль линии, отличен от нуля только в пространстве между проводом и оболочкой, а его величина равна

$\Pi=\dfrac{c}{4 \pi}EH=\dfrac{aI}{2 \pi r^2}$ .

Поток энергии $P$ находим, интегрируя $\Pi$ по площади поперечного сечения линии c элементом площади $dS=2\pi r \, dr$ в форме кольца:

$P=\int \Pi \, dS=\int_{r_1}^{r_2}\dfrac{aI}{r} \, dr = aI \ln(r_2/r_1)$ .

Напряжение же $U$ между проводом и оболочкой:

$U=\int_{r_1}^{r_2}E \, dr=a \ln(r_2/r_1)$ .

Таким образом, видно, что $P=IU.$

upd:
Видно также, что поток энергии направлен в ту же сторону, куда и ток в проводе, если на проводе заряд "плюс" (на оболочке "минус"); а иначе - наоборот. Т.е., поскольку на концах линии между проводом и оболочкой подключено что-то с ненулевым сопротивлением, то поток энергии в обоих случаях идёт как раз в сторону "нагрузки": к концу с положительным сопротивлением, где направления тока и $\vec{E}$ совпадают; т.е. поток идёт от "генератора", где направления тока и $\vec{E}$ оказываются взаимно противоположными.

[amon]

peregoudov в сообщении #1053171 писал(а):

$U$ --- напряжение на ней.

Терзают сомнения насчет напряжения на сверхпроводящей линии...

[Munin]

peregoudov в сообщении #1053171 писал(а):

Показать, что поток энергии в бесконечно длинной сверхпроводящей коаксиальной линии в точности равен мощности, вычисляемой по электротехнической формуле, то есть равен $IU$, где $I$ --- ток в линии, $U$ --- напряжение на ней.

Рассмотрим более общий случай: линию произвольного постоянного сечения. Запишем в поперечной плоскости поток

$$4\pi\,P=\int[\mathbf{EB}]\,d\mathbf{s}=\int[(\nabla\varphi)\,[\nabla\mathbf{A}]]\,d\mathbf{s}.$$

Заметим, что $\mathbf{E}\ne 0$ только вне сечения проводов, и ограничим интегрирование этой областью. Возьмём по частям:

$$4\pi\,P=\int[(\nabla\varphi)\,\mathbf{B}]\,d\mathbf{s}=\sum\biggl(\varphi\int\mathbf{B}\,d\mathbf{l}\biggr)-\int\varphi\,[\nabla\mathbf{B}]\,d\mathbf{s},$$

где первое слагаемое берётся по контурам сечений всех проводов. По теореме о циркуляции, в первом слагаемом $\int\mathbf{B}\,d\mathbf{l}=4\pi I,$ а второе слагаемое обращается в нуль. Qed.

Можно было бы брать по частям и с другой стороны. Тогда бы получилось выражение через поверхностное значение $|\mathbf{A}|$ и поверхностную плотность заряда. Численно то же самое.

[levtsn]

проблема в том что на постоянном токе беспроводной передачи не будет. а в проводной и так все ясно.

[dvb]

amon в сообщении #1053227 писал(а):

Терзают сомнения насчет напряжения на сверхпроводящей линии...

Если в -бесконечности ЭДС, а в +бесконечности нагрузка, напряжение будет, и все как написано, а если нагрузки нет, ток будет бесконечным и теория бессильна. Если же нет ни нагрузки ни ЭДС, а ток есть, то энергия в линии не циркулирует.

[SergeyGubanov]

А слабо описать поток энергии в защищённой витой паре (на частоте 10 ГГц)? Это когда два провода обвиты вокруг друг друга и ещё обёрнуты фольгой.

[Munin]

amon в сообщении #1053227 писал(а):

Терзают сомнения насчет напряжения на сверхпроводящей линии...

Между проводами двухпроводной линии, очевидно же. (Или $n$-проводной, как легко обобщается.)

-- 14.09.2015 18:27:10 --

SergeyGubanov
Теория СВЧ-волноводов вам в руки. Вот только по такой фигне гигагерцев пускать не принято...

[peregoudov]

Ого! Я уже отвык, что на форумах вообще кто-то что-то решает. А тут не только задачку мгновенно решили, но и вперед паровоза успели забежать.

То, что написал Munin, идет у меня третьим номером, но, раз уж так получилось, расскажу еще об одном обобщении. Пусть линия состоит из произвольного количества $n$ сверхпроводников произвольного сечения, которые имеют потенциалы $\phi_k$ и по которым текут токи $I_k$ ($\sum_k I_k=0$). Тогда техника, изложенная Munin'ым, позволяет показать, что поток вектора Пойнтинга опять-таки равен электротехнической формуле для $n$-полюсника $P=\sum_k\phi_k I_k$.

Модель сверхпроводящей линии в каком-то смысле дополняет модель провода/источника ЭДС, рассмотренную Фейнманом. В частности, появляется еще один персонаж пьесы: плотность заряда на поверхности проводника --- положительная для прямого и отрицательная для обратного. Недостаток же ее очевиден: по-прежнему нет ни источника ЭДС, ни нагрузки. Попытки присобачить их к "концам", равно как ввести конечное сопротивление линии, сразу портят всю простую красоту модели.

Но я хотел (в пику лжеученым фетишистам) поподробнее рассмотреть конкретную модель линии: двухпроводную линию типа телефонной лапши. Итак, пусть сверхпроводящая линия представляет собой два параллельных цилиндрических провода радиуса $a$, расстояние между центрами проводов $b$. Найти электрическое и магнитное поля, вектор Пойнтинга, оценить размер области, в которой сосредоточен поток энергии. Картинки приветствуются!

[Munin]

(Оффтоп)

peregoudov в сообщении #1053415 писал(а):

Тогда техника, изложенная Munin'ым

Munin'ом.
Мы ж с вами не первый день знакомы.

[amon]

Munin в сообщении #1053346 писал(а):

(Напряжение) Между проводами двухпроводной линии, очевидно же.

Электротехническое "напряжение" это скалярный потенциал в очень специфической калибровке (Кулоновской). Я зуб не дам, но, IMHO, эта калибровка несовместима с уравнениями Лондонов:

$$ \begin{align} \mathbf{E}&=\Lambda\frac{\partial \mathbf{J}_s}{\partial t}\\ \mathbf{H}&=c\Lambda\operatorname{rot}\mathbf{J}_s \end{align} $$

Наверно поэтому в книжках по электродинамике сверхпроводников избегают "напряжений" и пользуются, как правило, калибровкой $\varphi=0$.

[Munin]

Чё-то мне кажется, что никакая калибровка не может быть несовместима с чем-то физическим.

[amon]

Munin в сообщении #1053485 писал(а):

Чё-то мне кажется, что никакая калибровка не может быть несовместима с чем-то физическим.

Так ведь сверхпроводимость это вроде как спонтанное нарушение калибровочной симметрии.

[Munin]

Ну не этой же. Другой.