Беспроводная передча энергии... по проводам

[peregoudov]

Решение задачи для потенциала строится так. Нетрудно убедиться, что выражение $\dfrac{K_0(|p|r)}{K_0(|p|a)}e^{ipz}$ ($K_0$ --- функция Макдональда, $a$ --- радиус провода) является решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах, убывающим при $r\to\infty$. Поскольку на поверхности провода это выражение равно просто $e^{ipz}$,

$$ \phi(r,z)=\int_{-\infty}^{+\infty}G(r,z-z')\phi(a,z')\,dz' $$

где

$$ G(r,z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dp}{2\pi}\frac{K_0(|p|r)}{K_0(|p|a)}e^{ipz}= \int_0^\infty\frac{dp}\pi\frac{K_0(pr)}{K_0(pa)}\cos(pz). $$

Другой вариант записи

$$ \phi(r,z)=\int_0^\infty\frac{dp}\pi\frac{K_0(pr)}{K_0(pa)}\mathop{\rm Re}(e^{ipz}\Phi(p)), $$

где $\Phi(p)$ --- фурье-образ граничного значения потенциала. Для кусочно-линейного потенциала он легко вычисляется: отрезок $[z_1,z_2]$ с полем $E$ дает вклад

$$ \mathop{\rm Re}(e^{ipz}\Phi(p))=-\frac{2E}{p^2}\sin p\frac{z_2-z_1}2\sin p\!\left(z-\frac{z_1+z_2}2\right). $$

Однако из-за наличия спецфункций, да еще в знаменателе, анализ этих выражений затруднен. Поэтому ниже мы рассмотрим двумерный вариант задачи, где все считается в элементарных функциях.