Беспроводная передча энергии... по проводам

[Munin]

Вот только эта модель уже ничего общего с проводом не имеет.

[amon]

Пока собирался, Cos(x-pi/2) задачку уже решил. Однако, из любви к ТФКП представлю "макет" решения через конформные преобразования.

Вложение:

RingMap.gif [ 3.88 Кб | Просмотров: 4574 ]

Как учат Лаврентьев с Шабатом, преобразование $w=\frac{z-a}{z-b}$ отображает внешность двух непересекающихся окружностей на кольцо ($a$ и $b$ - точки пересечения окружности, построенной на общей касательной из середины оной, с прямой, соединяющей центры окружностей). Обратное отображение делает из поля цилиндрического конденсатора решение нашей задачи. Ответ, естественно, совпадает с решением Cos(x-pi/2).

[Munin]

Жалко, что peregoudov больше не заглядывает.

[dvb]

chislo_avogadro в сообщении #1053993 писал(а):

Можно предложить несколько изменённую модель $-$ электронная пушка. Нагрузкой служит мишень. Энергия (электромагнитная часть) идёт к мишени в пространстве вдоль "провода" теперь уже прозаическим образом.

И где тут аналогия? Никакой другой энергии, кроме кинетической энергии электронов на мишень не попадет. Или у Вас есть разность потенциалов между мишенью и пушкой? Но тогда электроны в пучке будут ускоряться, чего в проводнике не происходит.

[chislo_avogadro]

dvb в сообщении #1054485 писал(а):

Никакой другой энергии, кроме кинетической энергии электронов на мишень не попадет.

А что есть кинетическая энергия электрона? Его масса ведь (отчасти) электромагнитного происхождения.

dvb в сообщении #1054485 писал(а):

Или у Вас есть разность потенциалов между мишенью и пушкой?

Нет разности, поскольку ТС предложил идеализированный вариант $-$ сопротивление проводника отсутствует.

dvb в сообщении #1054485 писал(а):

И где тут аналогия?

Да, проводника как такового в этой модели нет. Но поскольку цель ТС пока что загадка, некоторое разнообразие идей не очень навредит.

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #1054550 писал(а):

А что есть кинетическая энергия электрона? Его масса ведь (отчасти) электромагнитного происхождения.

Советую поинтересоваться, в какой именно части.

chislo_avogadro в сообщении #1054550 писал(а):

Да, проводника как такового в этой модели нет.

И отсюда вытекает очень существенный нюанс: плотность тока не пространственноподобна, а времениподобна.

[chislo_avogadro]

Munin в сообщении #1054575 писал(а):

в какой именно части

Если электромагнитную массу понимать в смысле (28.3) ФЛФ-6, то 2/3.

Munin в сообщении #1054575 писал(а):

И отсюда вытекает очень существенный нюанс: плотность тока не пространственноподобна, а времениподобна.

Тут мне неясно, что вы имеете ввиду. Если посмотреть на 4-вектор плотности тока, то $j_{x,y,z}$ там, как я понимаю, именно пространственноподобны.

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #1054593 писал(а):

Если электромагнитную массу понимать в смысле (28.3) ФЛФ-6, то 2/3.

Увы. 1/137, примерно.

chislo_avogadro в сообщении #1054593 писал(а):

Тут мне неясно, что вы имеете ввиду. Если посмотреть на 4-вектор плотности тока, то $j_{x,y,z}$ там, как я понимаю, именно пространственноподобны.

Именно если посмотреть на 4-вектор. Смотреть на отдельные координаты не имеет смысла, и тем более, говорить, что они пространственноподобны или времениподобны.

[chislo_avogadro]

Munin в сообщении #1054597 писал(а):

1/137, примерно.

Ну дайте уж источник.

-- 18.09.2015, 18:09 --

Munin в сообщении #1054575 писал(а):

очень существенный нюанс: плотность тока не пространственноподобна, а времениподобна.

Что даёт времениподобность плотности тока, в чём сущность нюанса?

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #1054600 писал(а):

Ну дайте уж источник.

Не помню точно. То ли Иваненко, Соколов. Классическая теория поля, то ли Иваненко, Соколов. Квантовая теория поля.

chislo_avogadro в сообщении #1054600 писал(а):

Что даёт времениподобность плотности тока, в чём сущность нюанса?

Пока не посчитал.

[peregoudov]

(Оффтоп)

Как хочу, так и склоняю. В Правилах это не регламентировано

Munin в сообщении #1054032 писал(а):

Жалко, что peregoudov больше не заглядывает.

Отчего же? Просто нет возможности каждый день сидеть в Интернете.

Я вижу, и вторую задачку разодрали. Да, она решается точно, причем двумя способами: методом изображений для цилиндра (это когда поле вне сверхпроводников представляется как поле двух нитей) и дробно-линейным конформным преобразованием от предыдущей задачи (это чтобы ненавязчиво ввести в тему комплексный анализ, а заодно показать, что коаксиал --- не такой уж сферический конь в вакууме).

Сомнения по поводу сверхпроводников мне лично непонятны. Если линия достаточно длинная, то очевидно, что в середине картинка будет, как для бесконечной линии, что бы там ни присобачить на концах. Со сверхпроводником есть другая неприятность: отсутствие гладкого переходя из проводника малого, но конечного сопротивления к сверхпроводнику. Скин-слои хороши, но требуют переменного тока (впрочем, потоки энергии в квазистационарном приближении можно будет потом пообсуждать). На постоянном же токе выходит так, что в проводнике любого конечного сопротивления ток равномерно распределен по сечению, а в сверхпроводнике --- сразу весь вытесняется на поверхность.

Ну ладно, это все лирика. Мы теперь имеем все ингредиенты, чтобы рассмотреть обещанную в заглавном сообщении модель. Итак, пусть по бесконечно длинному цилиндрическому проводу течет ток. Пусть сам провод состоит из пяти частей: двух полубесконечных сверхпроводников, между которым вставлены нагрузка (цилиндр конечной длины с большим сопротивлением), собственно питающий провод (цилиндр конечной, хотя и большой, длины с малым сопротивлением, либо даже и сверхпроводник) и источник ЭДС (цилиндр конечной длины, в котором нарушается связь тока с электрическим полем). Рассчитать поля, поверхностные заряды, вектор Пойнтинга. Приветствуются картинки с интегральными кривыми векторного поля Пойнтинга (путями распространения энергии) и распределением поверхностных зарядов вдоль провода.

Поскольку трехмерная осесимметричная задача требует некоторого знакомства со специальными функциями, предлагаю в качестве предварительного шага решить соответствующую плоскую задачу.

[Munin]

(Оффтоп)

peregoudov в сообщении #1055345 писал(а):

Как хочу, так и склоняю.

А если я так в ответ?

peregoudov в сообщении #1055345 писал(а):

Скин-слои хороши, но требуют переменного тока (впрочем, потоки энергии в квазистационарном приближении можно будет потом пообсуждать).

Тут вот какая штука, как я понимаю. Чем меньше сопротивление проводника, тем более постоянный ток достаточен, чтобы возникал скин-слой. А в предельном переходе, он будет и при строго постоянном токе :-)

[peregoudov]

Да, забыл упомянуть: полубесконечные сверхпроводники имеют одинаковые потенциалы. Фактически это один и тот же проводник, замкнутый на бесконечности.

[peregoudov]

Мдя, видно, рано я обрадовался, что на dxdy кто-то что-то решает. Чуть посложней задачка --- и тишина. Ладно, начну потихоньку писать решение.

На первом этапе нужно решить задачу для постоянных токов. Уравнения довольно очевидные

$$ \nabla {\bf j}=0,\quad \nabla\times{\bf E}=0, $$

причем, в силу связи тока с полем, второе преобразуется в

$$ \nabla\times(\rho{\bf j})=0. $$

Граничные условия тоже понятные: $j_{n1}=j_{n2}$ (на границе проводник---вакуум $j_n=0$) и $\rho_1j_{\tau1}=\rho_2j_{\tau2}$ (на границе проводник---сверхпроводник $j_\tau=0$).

Решение просто угадывается: это однородно распределенный по сечению проводника ток. Что касается сверхпроводников, ток равномерно распределен по боковой поверхности, кроме того, по торцу сверхпроводника, граничащему с проводником конечного сопротивления, текут соответствующие радиальные токи.

Эти самые радиальные токи попортили мне немало крови, поскольку я сперва засомневался, что же будет с магнитным полем. Однако простое рассуждение, основанное на симметрии, показывает, что беспокоится не о чем. Действительно, пусть ось $z$ направлена вдоль оси провода, оси $x$ и $y$ ей перпендикулярны. Задача симметрична относительно отражения в плоскости $xz$, откуда сразу следует, что единственной отличной от нуля компонентой вектора $\bf B$ в плоскости $xz$ является $B_y$ (не забываем, что магнитное поле --- вектор аксиальный, а не полярный!). Используя теперь симметрию вращения вокруг оси $z$ видим, что магнитное поле имеет одну только азимутальную компоненту, причем не зависящую от угла. Она легко находится по теореме о циркуляции. Вне провода и внутри проводников магнитное поле ровно такое же, как в примере Фейнмана, с которого началась тема, в сверхпроводниках, понятно, равно нулю.

Электрическое поле внутри провода восстанавливается по уже найденной плотности тока. Настоящая задача, конечно же в том, чтобы определить электрическое поле также и вне провода.

Сделаем небольшое отступление. Поскольку электрическое поле в задачах постоянного тока потенциально и поскольку эквипотенциальные поверхности перпендикулярны электрическому полю, вектор Пойнтинга лежит на эквипотенциальных поверхностях. В задачах с цилиндрической симметрией это означает, что, найдя эквипотенциальные поверхности, мы тем самым находим и интегральные кривые поля вектора Пойнтинга, то есть пути распространения энергии.

Задача определения потенциала вне провода ставится так. Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

$$ \Delta\phi=0, $$

а на проводе равен заданной кусойно-линейной функции, которая получается интегрированием кусочно-постоянного электрического поля внутри провода. Удобно положить потенциалы сверхпроводников равными нулю, тогда на бесконечности потенциал должен стремиться к нулю.

[Munin]

peregoudov в сообщении #1057702 писал(а):

Мдя, видно, рано я обрадовался, что на dxdy кто-то что-то решает. Чуть посложней задачка --- и тишина.

Скорее, энтузиазм сгорел :-)

Лично мне, например, приятней вертеть абстрактные уравнения, чем возиться с конкретной тфкпой.