Проблема с преобразованием Фурье

[Red_Herring]

Hasek в сообщении #1052085 писал(а):

Дельта-функция сопоставляет функционалу его значение в нуле

Где такую травку забористую берёте?

[Hasek]

(Оффтоп)

arseniiv, спасибо! Поправил, буду знать.

[Goshik]

oniksofers в сообщении #1052086 писал(а):

вам стоит ознакомиться с аппаратом обобщенных функций

В таком случае, какую литературу по этой теме вы могли бы посоветовать?

[Hasek]

Red_Herring, извините, в чём я не прав? Сейчас перепроверил себя -- в определении обобщённой функции говорится, что она действует на пространстве основных функций (не функционалов, да, тут я быстро написал не подумав, сознаюсь). Но потом подумал и не могу вот сказать, почему нельзя назвать основную функцию функционалом. Или не говорят про значение функционала в точке? Опять же, не понимаю почему, мне кажется, что это осмысленные слова. Чтобы не засорять тему, можете ответить в ЛС (можете и здесь). Я тоже студент и поэтому не совсем уверен в своих знаниях, объясните, если есть ошибка.

[oniksofers]

Goshik в сообщении #1052093 писал(а):

oniksofers в сообщении #1052086 писал(а):

вам стоит ознакомиться с аппаратом обобщенных функций

В таком случае, какую литературу по этой теме вы могли бы посоветовать?

Я бы посоветовал Гельфанда, однако думаю это не совсем то, что вам нужно. Попробуйте посмотреть в Колмогоров Фомин Элементы теории функции и функционального анализа. Быть может, люди по-опытней посоветуют более легкую литературу по данной теме

[Red_Herring]

Hasek в сообщении #1052099 писал(а):

Я тоже студент и поэтому не совсем уверен в своих знаниях, объясните, если есть ошибка.

Разумеется, основные функции можно называть функционалами (но это будут нелинейные функционалы на пространстве, которое необязательно линейное, и их никто так не называет). С другой стороны, функционалы это ведь тоже функции, областью определения которых служит пространство основных функций (но их опять-таки никто так не называет). Поэтому если Вам не хочется запутать ТС (и не только-потому желательно избегать нестандартных терминов) окончательно и бесповоротно, следовало бы написать:

$\delta$–функция—это линейный функционал на пространстве основных функций, ставящий в соответствие каждой основной функции её значение в $0$.

[Oleg Zubelevich]

мне нравится значек $\delta_{x_0}$. Тут уже ни чего лишнего. Основные функции определены на множестве $M$, которое, как уже было сказано, не обязано быть линейным пространством -- и это важно: $M$ может быть гладким многообразием, например. Ну и $(\delta_{x_0},\varphi)=\varphi(x_0)$

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #1052112 писал(а):

мне нравится значек

А мне нравится, когда слово значОк пишут правильно!

[Goshik]

oniksofers в сообщении #1052100 писал(а):

Я бы посоветовал Гельфанда, однако думаю это не совсем то, что вам нужно. Попробуйте посмотреть в Колмогоров Фомин Элементы теории функции и функционального анализа.

Благодарю.

[ewert]

Goshik в сообщении #1052093 писал(а):

, какую литературу по этой теме вы могли бы посоветовать?

Ну, скажем, есть такая достаточно классическая книжка Владимирова, которая примерно так и называется: "Обобщённые функции в математической физике".

Hasek в сообщении #1052099 писал(а):

Или не говорят про значение функционала в точке? Опять же, не понимаю почему, мне кажется, что это осмысленные слова.

Нет, они бессмысленны вполне. Функционал -- он ни разу не "в точке", он всегда "на" чём-то. Вот, скажем, на основной функции (раз уж речь именно о них). А вот в точке -- это бессмысленно.

[unistudent]

Goshik в сообщении #1052004 писал(а):

Известно, что преобразование Фурье от функции $\cos(t)$ представляет из себя следующее выражение:

$\frac{\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)}{2}. \quad (1)$

Это смотря как определить классическое преобразование Фурье. В частности, если его определить так:

Goshik в сообщении #1052004 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(t)\cdot e^{-i\omega t}dt $

то (1) не верно.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1052144 писал(а):

Функционал -- он ни разу не "в точке", он всегда "на" чём-то.

Он считает, что основная функция это функционал, ну тогда значение в точке вполне осмысленно. И это как раз то, о чем я предупреждал: не использовать (сильно) нестандартной терминологии.

[Oleg Zubelevich]

unistudent в сообщении #1052259 писал(а):

Это смотря как определить классическое преобразование Фурье. В частности, если его определить так:
Goshik в сообщении #1052004

писал(а):
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(t)\cdot e^{-i\omega t}dt $

то (1) не верно.

классического преобразования Фурье от косинуса не существует. Это даже вы должны знать. Уж тем более интеграла Фурье

[Vince Diesel]

Если в какой-то области обобщенная функция совпадает с непрерывной, почему бы и не говорить о значении функции в точке?

[arseniiv]

unistudent
Давайте не развивать оффтоп в этой теме. Тут уже дали ответ, притом полный, до вашего поста post1052259.html#p1052259.