Размышление……… от 28.11.2015 г.
1. Пусть натуральные попарно взаимно простые числа
![$x,y,z$ $x,y,z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244be3c7db382d3e1400c7c4caa1023a82.png)
удовлетворяют уравнению
2. Из бесконечного множества простых чисел, выберем такое простое число
![$p =6n +1$ $p =6n +1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/c/fbc5d82d1d1ff464073a56e14bcd20f482.png)
, которое удовлетворяло бы, следующим условиям:
![$(xyz, p) = 1$ $(xyz, p) = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/d/bad501dd1c0a05fac3c4df25bbd4a54c82.png)
и
![$(n, 3) = 1\engo (2)$ $(n, 3) = 1\engo (2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/3/b73702ecf107cddf085bb770187944e082.png)
.
[Простых чисел
![$6n +1$ $6n +1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/6/97668c2d7d7e7e51c49222c2b4f6882182.png)
, где
![$(n,3) = 1$ $(n,3) = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/1/f6138ff609b96fcf136ee4dcf4092b5982.png)
, бесконечно много. Достаточно положить
![$n = 3x +2$ $n = 3x +2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/1/a9132deb38ec45e9ceafddcab2edc16482.png)
,
где x пробегает натуральный ряд чисел,
и получить
![$6(3x + 2) +1 = 18x + 13$ $6(3x + 2) +1 = 18x + 13$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/2/6a2612ad17420033444297129d450f1b82.png)
-
арифметическую прогрессию. Так как (18,13) = 1, то такая арифметическая прогрессия,
согласно теореме Дирихле, содержит бесконечно много простых чисел]
3 Для поиска противоречия в равенстве (1) будем использовать метод сравнения Гаусса,
где в качестве модуля возьмем выбранное нами простое число
![$p =6n +1$ $p =6n +1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/c/fbc5d82d1d1ff464073a56e14bcd20f482.png)
.
4. В совокупности
![$R = (1,2,3,….,(p-1))$ $R = (1,2,3,….,(p-1))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/6/fc6692daf46833b06942764ca7c7ed3582.png)
наименьших натуральных вычетов по модулю p,
найдутся такие вычеты
![$f_1,f_2,f_3$ $f_1,f_2,f_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/3/833ba6b7cdfe9e95117d004d511feb9482.png)
и
![$r_1,r_2,r_3$ $r_1,r_2,r_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/a/a1aef3f4fb1d8a65a65166905dda755d82.png)
, что будут справедливы сравнения:
![$z^2-f_1xy\equiv 0\mod p\engo(3)$ $z^2-f_1xy\equiv 0\mod p\engo(3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/f/0ef133c34dff5c574098874e7649e86f82.png)
,
![$x^2 +f_2zy\equiv 0\mod p\engo(4)$ $x^2 +f_2zy\equiv 0\mod p\engo(4)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/f/d3f7d6d404c153fd0eb2219dcdda78b982.png)
,
![$y^2 + f_3zx\equiv 0\mod p\engo(5)$ $y^2 + f_3zx\equiv 0\mod p\engo(5)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/5/fa53b33eee51f409bebd4835edfb8c4582.png)
,
![$r_1z\equiv x\mod p\engo(6)$ $r_1z\equiv x\mod p\engo(6)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/9/e6993afe8f4e41496846d431602d98cd82.png)
,
![$z\equiv r_2y\mod p\engo(7)$ $z\equiv r_2y\mod p\engo(7)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/b/9ab97ffd7fdc57beb9f921b9bb456ec782.png)
,
![$r_3x\equiv -y\mod p\(8)$ $r_3x\equiv -y\mod p\(8)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/e/a5ecd2562e8460b818e319eb4f4a4bac82.png)
.
5. Отметим некоторые свойства совокупности трех чисел
![$(f_1,f_2,f_3)$ $(f_1,f_2,f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/4177fde873750bbbdad724a57d47401d82.png)
5.1.Умножим сравнение (3) на z , сравнение (4) на x, а сравнение (5) на y, получим
![$z^3-f_1zxy\equiv 0\mod p\engo(9)$ $z^3-f_1zxy\equiv 0\mod p\engo(9)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/a/1aa950c8176f1c865afa0b307ca63ff282.png)
,
![$x^3 +f_2zxy\equiv 0\mod p\engo(10)$ $x^3 +f_2zxy\equiv 0\mod p\engo(10)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/2/422bb07bca038bd2580444651471477482.png)
,
![$y^3 + f_3zxy\equiv 0\mod p\engo(11)$ $y^3 + f_3zxy\equiv 0\mod p\engo(11)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/7/e277162aa7004eacf83353ed1fa65e5b82.png)
.
Из суммы двух сравнений (10) и (11) вычтем сравнение (9) получим
![$x^3 + y^3 -z^3 + z x y (f_1 + f_2 +f_3)\equiv 0\mod p$ $x^3 + y^3 -z^3 + z x y (f_1 + f_2 +f_3)\equiv 0\mod p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/2/a02061a911b746ac84515082e7f4aed382.png)
, отсюда с учетом (1) имеем
![$f_1 + f_2 + f_3\equiv 0\mod p\engo(12)$ $f_1 + f_2 + f_3\equiv 0\mod p\engo(12)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/9/a8908594d261a578183c639602f2eee882.png)
5.2, Преобразуем сравнения (3), (4) и (5) , перенося вторые слагаемые из левой части в
правую часть и, перемножая все три, полученных сравнения имеем
![$z^2x^2y^2\equiv f_1f_2f_3z^2x^2y^2\mod p$ $z^2x^2y^2\equiv f_1f_2f_3z^2x^2y^2\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/5/385cd30614466815764b52cff6f0f4e982.png)
, отсюда
![$f_1f_2f_3\equiv 1\mod p\engo(13)$ $f_1f_2f_3\equiv 1\mod p\engo(13)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/0/2a00b912350c01133d9060d65df6d2eb82.png)
.
Таким образом, совокупность вычетов
![$(f_1,f_2,f_3)$ $(f_1,f_2,f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/4177fde873750bbbdad724a57d47401d82.png)
обладает свойствами, отраженными
в сравнениях (12) и (13).
6. Вспомогательное Утверждение:
В совокупности {R} существует только одна тройка вычетов
![$(f_1,f_2,f_3)$ $(f_1,f_2,f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/4177fde873750bbbdad724a57d47401d82.png)
,
удовлетворяющих условиям, (12) и (13).
При этом 2(два) вычета, из трех указанных, принадлежат показателю 3 по модулю p, а
один вычет равен 1.
7.Пусть для определенности
![$f_1 = 1$ $f_1 = 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/1/56129efed3d283182b78069db16c75b382.png)
,
![$f_2^3\equiv 1\mod p\engo(14)$ $f_2^3\equiv 1\mod p\engo(14)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/9/d8977cc854935dd26a9bffa99dcd0cae82.png)
, а
![$f_3^3\equiv 1\mod p\engo(15)$ $f_3^3\equiv 1\mod p\engo(15)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/d/66d800c3c24c09a08497d4f16ebd883d82.png)
.
8. Пусть g– первообразный корень по модулю p , тогда
![$g^{p-1}\equiv g^{6n}\equiv 1\mod p$ $g^{p-1}\equiv g^{6n}\equiv 1\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/d/f3da42debbd2d2fbf3a93269e696b51f82.png)
,
Пусть
![$f_2\equiv g^w_1\mod p$ $f_2\equiv g^w_1\mod p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/d/20dca2897dd9373d9df4fb81652dbf1282.png)
,
![$f_3\equiv g^w_2\mod p$ $f_3\equiv g^w_2\mod p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/a/a0acba2ba02a16d1526e0cd62ceffaa682.png)
, тогда соответственно
![$f_2^3\equiv g^{3w_1}\equiv g^{6n}\mod p$ $f_2^3\equiv g^{3w_1}\equiv g^{6n}\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/9/949b6929e760a59148dd29129990afce82.png)
,
![$f_3^3\equiv g^{3w_2}\equiv g^{6n}\mod p$ $f_3^3\equiv g^{3w_2}\equiv g^{6n}\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/e/33ee7f4bd5a957e7d1fa7e035cce759a82.png)
, отсюда соответственно получим
![$3w_1\equiv 0\mod 6n$ $3w_1\equiv 0\mod 6n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/b/99b89c778e187965e43b5dedc447ac0f82.png)
и
![$3w_2\equiv 0\mod 6n$ $3w_2\equiv 0\mod 6n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/2/e924364c40e63ccba5c437e3bcfae0a382.png)
, далее имеем
![$w_1= (2n, 4n)$ $w_1= (2n, 4n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/7/a07d6b7ea941d31f9e4166c80c75ef1f82.png)
и
![$w_2 = (2n, 4n)$ $w_2 = (2n, 4n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/f/44fe02eabb5892884e68806281fcd04c82.png)
,
Пусть для определенности
![$ind f_2 = 2n$ $ind f_2 = 2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/e/48efa2876a3618dd5af1bfb0e7a4a71182.png)
, а
![$ind f_3 = 4n$ $ind f_3 = 4n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/e/18efb2c3a6de9ab3abb9c0e750525d7182.png)
, тогда
![$f_2\equiv g^{2n}\mod p\engo(16)$ $f_2\equiv g^{2n}\mod p\engo(16)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/4/d942052fc7a48665c15e98cd645f31de82.png)
,
![$f_3\equiv g^{4n}\mod p\engo(17)$ $f_3\equiv g^{4n}\mod p\engo(17)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/6/7660dd67cdebe565cfce3c270b7409d382.png)
,
8.Покажем, что вычеты
![$(1,f_2.f_3)$ $(1,f_2.f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/7/0871e1a49e491177e92ef06bee2f368d82.png)
удовлетворяют условиям (12) и(13)
![$f_2^3 -1 = (f_2-1) (f_2^2 + f_2 +1) \equiv 0\mod p$ $f_2^3 -1 = (f_2-1) (f_2^2 + f_2 +1) \equiv 0\mod p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/9/c6971c0d5e64520699d192b0813c146882.png)
, отсюда
![$f_2^2 + f_2 +1 \equiv 0\mod p\engo(18)$ $f_2^2 + f_2 +1 \equiv 0\mod p\engo(18)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/c/fec57e0a6db4fa05be57a90532d47da082.png)
,
![$f_3^3 -1 = (f_3-1)(f_3^2 + f_3 +1) \equiv 0\mod p$ $f_3^3 -1 = (f_3-1)(f_3^2 + f_3 +1) \equiv 0\mod p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/f/c4fe358849ac679c8769f712cb8bc5e082.png)
, отсюда
![$f_3^2 + f_3 +1\equiv 0\mod p\engo(19)$ $f_3^2 + f_3 +1\equiv 0\mod p\engo(19)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/0/c5081f4484bcb0a2b2be6c7421ea0e6e82.png)
.
9, Из сравнения (18) вычтем сравнение (19) имеем
![$(f_2 -f_3)(f_2 +f_3) + (f_2 -f_3) = (f_2 -f_3) (f_2 +f_3 + 1)\equiv 0\mod p$ $(f_2 -f_3)(f_2 +f_3) + (f_2 -f_3) = (f_2 -f_3) (f_2 +f_3 + 1)\equiv 0\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/c/b7cecec08b751eab05d03a53168c785382.png)
, отсюда
![$f_2 +f_3 + 1\equiv 0\mod p$ $f_2 +f_3 + 1\equiv 0\mod p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/c/40c1de544ea90b86636838d96eacc1e382.png)
, значит тройка вычетов
![$(1,f_2.f_3)$ $(1,f_2.f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/7/0871e1a49e491177e92ef06bee2f368d82.png)
удовлетворяет (12)
10, Возьмем произведение вычетов
![$(1,f_2.f_3)$ $(1,f_2.f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/7/0871e1a49e491177e92ef06bee2f368d82.png)
с учетом (16) и (17)
![$1f_2f_3 \equiv g^{2n}g^{4n}\equiv 1\mod p$ $1f_2f_3 \equiv g^{2n}g^{4n}\equiv 1\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/8/12827de366c53fc990d82a070c64191482.png)
, значит тройка вычетов
удовлетворяет (13).
11.Составим таблицу возможных комбинаций из 3-х вычетов, принадлежащих {R} и
удовлетворяющих условию (12), приняв один из вычетов равный 1, а два других таких,
что бы они не повторялись в других комбинациях.
И так
![$1 + 2 + [(p_1)-2]\equiv 0\mod p$ $1 + 2 + [(p_1)-2]\equiv 0\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/e/7de6767107ffd9bc0025c43b57efef1a82.png)
,
![$1 + 3 + [(p-1) -3]\equiv 0\mod p$ $1 + 3 + [(p-1) -3]\equiv 0\mod p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/4/c840463b65630b1cd35305dd1b6a635582.png)
,
![$1 + 4 + [(p-1)- 4]\equiv 0\mod p$ $1 + 4 + [(p-1)- 4]\equiv 0\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/8/758d6bf1b28935656bac704e3a59cc6382.png)
,
…………………………………….,
![$1 + f_2 + f_3\equiv 0\mod p$ $1 + f_2 + f_3\equiv 0\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/f/fdfa7eaefdbf48a8deec77b7ac5d553582.png)
,
…………………………………..,
![$1 + f_i +[(p-1) -f_i]\equiv 0\mod p$ $1 + f_i +[(p-1) -f_i]\equiv 0\mod p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/a/8da98da15dfbf6a927d089c09e38cb5282.png)
,
……………………………………….,
………………………………………..,
![$1 + [\frac {p-1}{2} -1] + [(p-1)- \frac {p-1}{2}]\equiv 0\mod p$ $1 + [\frac {p-1}{2} -1] + [(p-1)- \frac {p-1}{2}]\equiv 0\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/b/18b92b246be16b777ba9f79400631fd582.png)
,
![$1 + [\frac {p-1}{2}] + [\frac {p-1}{2}]\equiv 0\mod p$ $1 + [\frac {p-1}{2}] + [\frac {p-1}{2}]\equiv 0\mod p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/0/c704ce566345380bd71d008415a4448f82.png)
,
.
где
![$f_i $ $f_i $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/a/1baff9876b9280bfbab79f4f4393888882.png)
пробегает от 2 до
![$\frac{p-1}{2}$ $\frac{p-1}{2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/6/566d399f776c273075579054e1cc7db782.png)
включительно.
Таким образом, мы получили
![$\frac{p-3}{2}$ $\frac{p-3}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/1/0f18e09aa698ba754cd2f245d071e9cd82.png)
комбинации (по 3-и вычета в каждой),
удовлетворяющих условию (12).
А есть ли среди этих комбинаций хоть одна тройка вычетов (кроме
![$(1,f_2.f_3)$ $(1,f_2.f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/7/0871e1a49e491177e92ef06bee2f368d82.png)
), удовлетворяющая условию(13)?
Чтобы ответить на этот вопрос перемножим три вычета
![$(1,f_i, [(p-1) -f_i)]$ $(1,f_i, [(p-1) -f_i)]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/d/bdda5e8c688478956fa4722853a9722182.png)
и сравним с 1 по модулю p
![$1f_i[(p-1)-f_i]\equiv 1\mod p$ $1f_i[(p-1)-f_i]\equiv 1\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/5/ba510e641891503cab589fd3ecd7305982.png)
, отсюда
![$(f_i)^2 + f_i + 1\equiv 0 \mod p$ $(f_i)^2 + f_i + 1\equiv 0 \mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/7/fc73ac403763976336a197a15a2a102382.png)
, а это значит
![$(f_i)^3\equiv 1\mod p$ $(f_i)^3\equiv 1\mod p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/e/6ae22d9d0b97bc517968ce681e74af0f82.png)
, но количество вычетов принадлежащих 3 по модулю P только
![$\varphi(3) = 2$ $\varphi(3) = 2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/e/10e9434eb2b4fdc9763f568491b7d1b582.png)
, а это найденные нами вычеты
![$f_2$ и $f_3$ $f_2$ и $f_3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/9/139b6781c773d6f502615df3468686ea82.png)
., удовлетворяющие
условию(13). Поэтому нет ни одной другой комбинации (по 3-и вычета в каждой), из
![$\frac{p-3}{2}$ $\frac{p-3}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/1/0f18e09aa698ba754cd2f245d071e9cd82.png)
, [кроме
![$(1,f_2.f_3)$ $(1,f_2.f_3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/7/0871e1a49e491177e92ef06bee2f368d82.png)
], удовлетворяющей условию (13).
12. Допустим теперь, что . существуют три вычета
![$f_j > 1$ $f_j > 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/9/b59ec06b2b5f2b98afea8ca7613e302482.png)
,
принадлежащие {R}, такие, что
![$f_j + f_r + f _s\equiv 0\mod p\engo(21)$ $f_j + f_r + f _s\equiv 0\mod p\engo(21)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/2/172e20fbe597018f48db7fa6c789653e82.png)
и
![$f_jf_rf_s\equiv 1\mod p\engo(22)$ $f_jf_rf_s\equiv 1\mod p\engo(22)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/a/e7a4972ef1f1fa4e176babd3f1f7b93482.png)
.
Из сравнения (21) следует, что
![$f_j \equiv-(f_r + f_s)\mod p\engo(23)$ $f_j \equiv-(f_r + f_s)\mod p\engo(23)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/2/3f2a752cc255c20429974b6e0ca570f182.png)
, тогда сравнение (22) с учетом (23) будет
![$-(f_r + f_s)f_rf_s -1\equiv 0\mod p$ $-(f_r + f_s)f_rf_s -1\equiv 0\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/d/59dca58a71a6102966427212d1e7d2b082.png)
, отсюда
![$ 1 + (f_r)^2f_s + f_r(f_s)^2\equiv 0\mod p$ $ 1 + (f_r)^2f_s + f_r(f_s)^2\equiv 0\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/2/b92a167a94577a7cff3c21f2ab55b37982.png)
.
Пусть
![$(f_r)^2f_s\equiv f_k\mod p\engo(24)$ $(f_r)^2f_s\equiv f_k\mod p\engo(24)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/e/acef5ef32bff497f9b2526c30d0b705f82.png)
, тогда
![$f_r(f_s)^2\equiv (p-1)-(f_r)^2f_s\equiv (p-1) -f_k\mod p$ $f_r(f_s)^2\equiv (p-1)-(f_r)^2f_s\equiv (p-1) -f_k\mod p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/b/a1b7a27ee2482bca7644d9647efbde7482.png)
, а с учетом этого и (24) получим
сравнение
![$1 + f_k + [(p-1) -f_k]\equiv 0\mod p$ $1 + f_k + [(p-1) -f_k]\equiv 0\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/b/b3b30391f64cbbc1b7be4a4b914b7c6982.png)
, (одно из сравнений п.11) которое имеет
единственное решение, что показано выше (п.11), а именно:
![$f_{k_1} = f_2$ $f_{k_1} = f_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/1/801e012ac8ea9e5664a99bd3a8d8205982.png)
и
![$f_{k_2} = f_3$ $f_{k_2} = f_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/d/05d7eabc93a33f65af09d6eafd2f34ad82.png)
,
13. Таким образом нами доказано Вспомогательное Утверждение.
14. Теперь запишем сравнения (3), (4) и (5) с учетом, того, что
![$f_1 = 1$ $f_1 = 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/1/56129efed3d283182b78069db16c75b382.png)
,
![$f_2\equiv g^{2n}\mod p$ $f_2\equiv g^{2n}\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/1/751053168c045e475b9fb952538abcfa82.png)
, а
![$f_3 \equiv g^{4n}\mod p$ $f_3 \equiv g^{4n}\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/4/9a47e2dcb5d21e4e5ef753469c791ec382.png)
.
![$z^2 -xy\equiv 0\mod p\engo(25)$ $z^2 -xy\equiv 0\mod p\engo(25)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/4/364c55796262ec6eb2ada3c498877bb882.png)
,
![$x^2 + g^{2n}zy\equiv 0\mod p\engo(26)$ $x^2 + g^{2n}zy\equiv 0\mod p\engo(26)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/c/03cc787dae1e154532740ec482eea30882.png)
,
![$y^2 +g^{4n}zx\equiv 0\mod p\engo(27)$ $y^2 +g^{4n}zx\equiv 0\mod p\engo(27)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/1/b91286a805b8be59d02bb5541bd0403f82.png)
.
15. Перемножая сравнения (6) и (7) получим
![$r_1z^2\equiv r_2xy$ $r_1z^2\equiv r_2xy$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/3/9d36efc78967888e9dad99e387f70faf82.png)
, отсюда с учетом (25) имеем
![$r_1 = r_2\engo(28)$ $r_1 = r_2\engo(28)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/2/1c2759bd5901efc63da319bd3396a33482.png)
.
16. Рассмотрим сравнение (26) с учетом (6)
![$(r_1z)^2 + g^{2n}zy\equiv 0\mod p$ $(r_1z)^2 + g^{2n}zy\equiv 0\mod p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/5/eb59f6bf107ea6c0d32dd321b0a2f3e782.png)
, после сокращения на z
![$(r_1)^2z + g^{2n}y\equiv 0\mod p$ $(r_1)^2z + g^{2n}y\equiv 0\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/b/5ab8661a677a72dfcf3b4bbd4aca935f82.png)
, отсюда с учетом (7)
![$(r_1)^2r_2y + g^{2n}y\equiv 0\mod p$ $(r_1)^2r_2y + g^{2n}y\equiv 0\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/0/1c0a3675ad91e64ee79c10bb7c00445b82.png)
, после сокращения на y и учитывая (28) имеем
![$ g^{2n}\equiv- r_1^2r_2\equiv- r_1^3\mod p\engo(29)$ $ g^{2n}\equiv- r_1^2r_2\equiv- r_1^3\mod p\engo(29)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/4/824d7766ff471dde9388cfb0e9bf04dc82.png)
.
17, Пусть
![$r_1\equiv g^w\mod p$ $r_1\equiv g^w\mod p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/f/2ff74926f8dbd922b9b036514c2bcfd282.png)
, тогда из (29) следует
![$(r_1)^3\equiv g^{3w}\equiv (-1) g^{2n}\mod p$ $(r_1)^3\equiv g^{3w}\equiv (-1) g^{2n}\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/d/58dfb442ef0a5aba490c8c343c11c3f582.png)
, так как
![$(-1)\equiv g^{3n}\mod p$ $(-1)\equiv g^{3n}\mod p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/8/f287c9ded7f9248f84041c1562401d4c82.png)
, то
![$g^{3w}\equiv g^{5n}\mod p$ $g^{3w}\equiv g^{5n}\mod p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/7/1f77a7f2ac4a875e6ae4fe642b750d4982.png)
, отсюда
![$3w\equiv 5n\mod 6n$ $3w\equiv 5n\mod 6n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/d/41d8b9da80969f023f3fe0b7388df11a82.png)
, что не возможно, так как
![$5n$ $5n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/9/5596f42702d37568d5674c5f8b4856c782.png)
не делиться на 3,
[
![$(n, 3) =1\engo(2)$ $(n, 3) =1\engo(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/f/96fda20eb50c4f625e6bafaf8b96e9f482.png)
], а правая часть сравнения и модуль делятся на 3.
Пришли к Противоречию.