Как найти радиус сходимости ряда Тейлора?

[Divergence]

Все члены зависит от $n$ и $m$, но коэффициенты не зависит от $k$ и $j$ по которым суммируем.
Ряд Тейлора

$$\sum^{\infty}_{j=0} a_{2j+1}(n,m) k^{2j+1}.$$

Потом умножаем на $(-1)^k/k$ и суммируем по $k$:

$$\sum^{\infty}_{j=0} \sum^{\infty}_{k=1} (-1)^k \, a_{2j+1}(n,m) \, k^{2j} =\sum^{\infty}_{j=0} \, a_{2j+1}(n,m) \sum^{\infty}_{k=1} (-1)^k \, k^{2j} =-(1/2)a_{1}(n,m).$$

[ИСН]

Так, со вторым вопросом прояснилось: просто что-то вынесено за скобки. ОК. Теперь всё-таки: как это обнулились остальные члены? Что, $1-4+9-16+\dots=0$?

[Divergence]

Так вроде уже писал.
Исп. Фихтенгольца (параграфы 417 и далее и 449) остальные суммы равны нулю по Чезаро (и суммирование по Пуассону-Абелю).

[Divergence]

Ну как законный мои действия по нахождению суммы?
несмотря на то, что ряд Тейлора можно использовать только когда

$$k\le \sqrt{m^2+n^2}$$

или нет?
Как придать этим вычислениям большую законность?

[ИСН]

Имейте совесть. Я помню, что такое суммирование по Чезаро, но не помню, что такое "417 параграф Фихтенгольца", под рукой его нет, а скачивать и искать неохота.
В общем, картина такая. Вы как будто считаете, что все ряды сходятся, только некоторые - сразу, а другие - после каких-то ухищрений (Чезаро и др.) Будто все они чему-то на самом деле равны, и их можно складывать, переставлять и всячески toss around. Так вот: нет, нельзя. Некоторые - расходятся, они равны ничему, они равны NaN, и все выражения с их участием тоже равны NaN.
А Ваш изначальный ряд, видимо, ни через что простое не выражается. Как постоянная Маделунга.

[Divergence]

А спрашивал не о той философии (картине в общем), о которой вы пишете, и не считаю " что все ряды сходятся, ..."
Спрашиваю про конкретный ряд и конкретную функцию.
Меня интересует сейчас мой ряд, радиус которого известен.

Мой вопрос: законно ли мое преобразование для моей функции, когда её бесконечный хвост исчезает?

Ваше утверждение "ряд, видимо, ни через что простое не выражается" ничего не содержит кроме вашего индивидуального мнения.
Если вы можете что-либо конкретное написать - напишите.
По возможности укажите ссылки (Не поленюсь посмотреть). Буду в этом случае благодарен.

[ИСН]

Нет, незаконно. Вы берёте сходящийся ряд, каждый из его членов сам по себе разворачиваете в ряд (который для большинства из них является расходящимся), меняете порядок суммирования, что порождает новые расходящиеся ряды, а затем суммируете их в обобщённом смысле. Так можно получить что угодно.

[ex-math]

Иногда, оперируя расходящимися рядами, можно получать осмысленные результаты. Конкретно Ваши манипуляции для меня выглядят дико. Но есть ведь очень простой способ проверить Ваш ответ: взять конкретные $m $ и $n $ и посчитать.

[Divergence]

"Можно получить что угодно", но получается то, что надо. Вопрос почему?

Можно ли этот ряд вычислить по другому (без Тейлора и обобщенной суммы) и как это сделать?

[ex-math]

Вы сравнивали сумму ряда с Вашим ответом? Откуда уверенность, что он правильный?

-- 23.08.2015, 22:16 --

Ваш ответ: $\frac n {\sqrt {n^2+m^2}} $. Теперь просуммируйте ряд численно и сравните.

[Divergence]

Ответ проверял - правильный.
Почему он правильный?
Можно ли этот ряд вычислить по другому (без Тейлора с его радиусом и обобщенной суммы), т.е. более правильно, и как это сделать?

[ex-math]

Просто мистика какая-то!
Единственное, что могу посоветовать -- опять использовать ТФКП. Надо домножить Вашу скобку, деленную на $k $, на $\pi/\sin\pi k $, где $k $ -- комплексная переменная, и взять интеграл по большому контуру. Полюса внутри него дадут частичную сумму ряда (полюс в нуле даст ответ), сам интеграл будет стремиться к нулю. Но будут еще интегралы по разрезам от точек ветвления. Возможно, они как-то сократятся? Это надо внимательно посмотреть.

[Divergence]

А есть ли у вас какая-нибудь ссылка на похожие вычисления?

[ex-math]

Навскидку, должно быть что-то у Лаврентьева и Шабата в "Методах ТФКП". Ищите заголовок вроде "Суммирование рядов" где-то в приложениях теории вычетов. Еще есть примеры в задачнике Волковыского и др.

-- 23.08.2015, 23:00 --

У Титчмарша в "Теории функций" тоже должно быть, кажется.

[Divergence]

Спасибо за ссылки.

Может надо умножать на $\sin(\pi k)/\pi$, а не на $\pi / \sin(\pi k)$ ?