Как найти радиус сходимости ряда Тейлора?

[Divergence]

Есть функция

$$f(x):= \sqrt{(x-n)^2+m^2} - \sqrt{(x+n)^2+m^2} \quad n,m \in \mathbb{Z}, \quad nm \ne 0.$$

Нужно найти радиус сходимости ряда Маклорена.

Получение общей формулы для производной n-го порядка не получается.
Вычисление ряда онлайн не дает разложение в общем виде - только первые члены $x^{2j+1}$ - все нечетные.

Подскажите как найти радиус сходимости или общую формулу для производной n-го порядка.

[ex-math]

Радиус равен $\sqrt {n^2+m^2} $.

Граница круга сходимости проходит через ближайшую к центру особую точку.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить/разобраться (М)»

[Divergence]

Спасибо за ответ.

Однако возникают у меня три вопроса:
1) Причем здесь особая точка, здесь вроде нет особых точек (нет даже знаменателей) ?
Видимо это точка $(n;m)=(0;0)$ у коэффициентов ряда, не смотря на то что $nm\ne0$.
2) почему граница должна проходить через особую точку?
3) А как вы получаете этот радиус?

Извините, если спрашиваю что-то тривиальное.

[Otta]

Вы комплексный анализ изучали или?

[Divergence]

А ТФКП здесь является методом получения радиуса?

[Otta]

Методы ТФКП - единственное разумное объяснение, почему радиус именно такой, а не эдакий. Например, почему у ряда Маклорена $\arctg x$ радиус сходимости единица? ведь вовсе не потому, что с коэффициентами что-то там происходит. Это искусственное объяснение. Странно, правда? определена функция на всей оси, почему где-то ряд к ней сходится, а где-то нет? А вот у экспоненты, например, все иначе.

[Divergence]

То есть есть в ТФКТ теорема:
"Граница круга сходимости проходит через ближайшую к центру особую точку."
Подскажите пожалуйста ссылку.

[Otta]

Это достаточно тривиальный факт, который следует из определения радиуса сходимости, круга сходимости, поведения степенных рядов внутри круга сходимости - на предмет голоморфности, в основном. Если собрать это все в кучу и помедитировать над этим не очень долго, то получится именно то, что Вы взяли в кавычки. Но мне ни разу не приходилось видеть, чтобы это кто-то излагал в виде теоремы. Сожалею, ссылки не могу дать поэтому.

[Divergence]

А ваше утверждение "определена функция на всей оси, почему где-то ряд к ней сходится, а где-то нет?"
можно ли откорректировать:
там где ряд не сходится к этой функции - он сходиться в некотором обобщенном смысле? (ведь функция определена)

Например, в смысле: "вырезал точку и гуляй дальше"?

[dsge]

Divergence в сообщении #1047144 писал(а):

Например, в смысле: "вырезал точку и гуляй дальше"?

Ряд Тайлора функции $\frac{1}{1-x}$ в т. $x=0$ расходится при $x>1$ в любом смысле, вырезай ,не вырезай $x=1$, хотя функция и определена при $x>1$. Однако, если вы разложите в ряд Тэйлора в другой точке, то он, возможно, будет сходится при некоторых $x>1$.

[Divergence]

Чесно говоря мне все равно не понятно почему радиус сходимости именно

$$R=\sqrt{n^2+m^2},$$

a не

$$R=2 \, \sqrt{n^2+m^2} \quad \text{или} \quad R=\sqrt[4]{n^2+m^2} \quad \text{или} \quad \cdots$$

и медитация мне не помогает.

[ИСН]

Про теорему Пифагора слышали, например?

[Divergence]

Слышал. Но катеты пока не заданы.
Сформулирую по другому: Как найти особую точку для функции

$$f(x):= \sqrt{(x-n)^2+m^2} - \sqrt{(x+n)^2+m^2} \quad n,m \in \mathbb{Z}, \quad nm \ne 0.$$

[ewert]

Divergence в сообщении #1047140 писал(а):

То есть есть в ТФКТ теорема:
"Граница круга сходимости проходит через ближайшую к центру особую точку."

Стандартна немного другая теорема: ряд Тейлора сходится в любом круге с данным центром, в котором функция аналитична. Это ровно и означает, что на границе круга сходимости (точнее, сколь угодно близко к ней) должны присутствовать особые точки.

Divergence в сообщении #1047153 писал(а):

Чесно говоря мне все равно не понятно почему радиус сходимости именно

$$R=\sqrt{n^2+m^2},$$

Потому, что для корня особой точкой является ноль и только ноль. Вот и приравняйте к нулю оба подкоренных выражения.