Как найти радиус сходимости ряда Тейлора?

[Divergence]

То есть особых точек четыре, и они равны

$$x_{1,2}= n \pm i \, m \quad x_{3,4}= - n \pm i \, m $$

Правильно?

[NSKuber]

Да, и у всех четырёх модуль равен $\sqrt{m^2+n^2}$.

[Divergence]

А ряд не сходится к этой функции в некотором обобщенном смысле?

[ИСН]

Обобщённых смыслов можно придумать сколько угодно. Это ничего не значит.

[ex-math]

Divergence
В более-менее теоремном виде этот факт можете найти у Привалова во "Введении в ТФКП", издание 1984, с.199.

[Divergence]

Спасибо. Да у Привалова нашел
"Итак, если точка а есть правильная точка функции , то эта функция разлагается в ряд, степенной относительно z—а в окрестности этой точки, причем окружность круга сходимости ряда имеет центр в точке а и проходит через ближайшую к точке а особую точку функции. "

А есть ли понятия сходимости расходящихся рядов в ТФКП, типа сходимости

$$\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n = 1/2$$

[ex-math]

Есть разные способы суммирования расходящихся рядов, есть понятие сверхсходимости, когда за границей круга сходимости сходится некоторая подпоследовательность частичных сумм. Только неясны Ваши цели. Если надо как-то представить функцию, то степенной ряд за границей круга сходимости -- неудачный выбор.

[Divergence]

А где можно почитать о сходимости степенного ряд функции за границей круга сходимости.
Для вещественного анализа - мне подсказали хорошую ссылку у Фихтенгольца (параграфы 417 и далее и 449).
А для данной функции ?

А как представить в другом виде не знаю? В виде интеграла, но какого и как ? ...

[ex-math]

Про сверхсходимость есть у Титчмарша в "Теории функций", но вряд ли это то, что Вам надо.
Что именно Вы с этой функцией делать собираетесь? Почему именно степенной ряд хотите?

[Divergence]

Хочу вычислить сумму

$$\sum^{\infty}_{k=1} \frac{(-1)^k}{k} \left(\sqrt{(k-n)^2+m^2} - \sqrt{(k+n)^2+m^2} \right) \quad \text{при} \quad n,m \in \mathbb{Z}, \quad nm \ne 0.$$

Но получается, что через ряд Тейлора это сделать можно только когда

$$k\le \sqrt{m^2+n^2}$$

[ИСН]

Через ряд Тейлора это сделать можно только вообще никогда. При чём тут ряд Тейлора, какое отношение он имеет к этой сумме?

[Divergence]

То что в скобочках - раскладывается в ряд Тейлора, а потом вычисляются суммы.
Все кроме первого члена дают ноль в смысле обобщенной суммы по Чезаро.
Первый член дает ответ.
Остается вопрос радиуса сходимости.

Если можете предложить другой способ - буду рад услышать.

[ИСН]

Откуда Вы знаете (без общей формулы для производной n-го порядка, судя по Вашему первому сообщению), что все члены, кроме первого, дают ноль?
Также непонятно, как это первый член (какой, кстати?) даёт ответ (какой, кстати?).

[Divergence]

Ряд Тейлора нечетен по $x=k$. При делении на $k$: Первый член $\sum^{\infty}_{k=1} (-1)^k=-1/2$. Остальные четные по $x=k$.
Исп. Фихтенгольца (параграфы 417 и далее и 449) остальные суммы равны нулю по Чезаро.

[ИСН]

Чуть помедленнее, пожалуйста. Ряд Тейлора, естественно, нечётен (ибо функция нечётна). Теперь кто такие "остальные", которые чётны? И откуда взялся такой первый член, совсем не зависящий от n и m?