Как найти радиус сходимости ряда Тейлора?

[ex-math]

Нет, синус должен быть в знаменателе. Его роль -- создать особые точки нужного типа в нужных местах.

[grizzly]

ex-math в сообщении #1047253 писал(а):

Ваш ответ: $\frac n {\sqrt {n^2+m^2}} $. Теперь просуммируйте ряд численно и сравните.

Divergence в сообщении #1047254 писал(а):

Ответ проверял - правильный.

А как Вы проверяли? Я посмотрел в Вольфраме на результат такой суммы

$$\sum^{10^{100}}_{k=1} \frac{(-1)^k}{k} \left(\sqrt{(k-1)^2+1} - \sqrt{(k+1)^2+1} \right) \approx 0.7213112875 \qquad (n=m=1).$$

Это не похоже на $1/\sqrt{2}$. Не думаю, что здесь Вольфрам так сильно обманул.

[ИСН]

Чёрт его знает, как он считает до $10^{100}$ - но уж явно не напрямую. Давайте так: тупо суммируем до $10^5$. Получается $0.721301$. Члены мигают знаком и убывают по модулю, так что ошибка должна быть меньше первого отброшенного.
Да уж, до $0.707107$ не дотягиваем никак.

[ex-math]

Комплексное интегрирование дало следующий ответ:

$$\frac n {\sqrt {n^2+m^2}}+(-1)^{n+1}2n\int_m^\infty\frac {\sqrt {t^2-m^2}\,dt}{(t^2+n^2)\,\mathrm {sh}\pi t}. $$

Проверьте, пожалуйста, численно, у кого есть возможность.

[NSKuber]

ex-math
Похоже на правду. Посчитал в Математике абсолютное значение разницы между вашим результатом и исходной суммой для $n,m$ от $1$ до $10$:

(Оффтоп)

{{2.34257*10^-14, 5.55112*10^-16, 3.0087*10^-14, 1.56541*10^-14, 
  2.47274*10^-13, 1.54127*10^-13, 1.83686*10^-13, 4.33668*10^-9, 
  3.85031*10^-12, 4.63278*10^-12}, {4.10783*10^-14, 4.66294*10^-15, 
  2.22045*10^-16, 3.01426*10^-13, 7.77156*10^-16, 1.28009*10^-13, 
  1.38439*10^-12, 4.98875*10^-9, 9.84213*10^-13, 
  1.45417*10^-12}, {6.4726*10^-14, 4.31877*10^-14, 1.36557*10^-14, 
  2.42849*10^-11, 5.29909*10^-13, 3.51941*10^-14, 2.2281*10^-11, 
  4.5629*10^-9, 2.01966*10^-12, 6.58251*10^-13}, {8.02691*10^-14, 
  6.95*10^-14, 7.45182*10^-13, 1.4988*10^-13, 5.83311*10^-13, 
  2.63289*10^-12, 8.7937*10^-9, 2.06934*10^-11, 1.10071*10^-10, 
  3.10973*10^-13}, {3.67484*10^-14, 3.88578*10^-14, 3.19149*10^-11, 
  7.41385*10^-12, 5.50338*10^-13, 1.14727*10^-10, 1.35939*10^-10, 
  6.48737*10^-12, 1.76248*10^-12, 1.61897*10^-11}, {2.52909*10^-13, 
  2.92832*10^-12, 7.15095*10^-13, 1.56697*10^-12, 3.45702*10^-11, 
  4.81499*10^-9, 1.37701*10^-12, 1.04824*10^-11, 4.48896*10^-12, 
  1.92463*10^-10}, {1.11577*10^-13, 7.31679*10^-11, 5.21139*10^-12, 
  1.22179*10^-11, 9.16634*10^-9, 6.34088*10^-11, 7.43059*10^-11, 
  3.44413*10^-12, 3.6298*10^-10, 9.51439*10^-12}, {8.16236*10^-13, 
  3.80174*10^-12, 1.85862*10^-12, 3.38648*10^-9, 7.52614*10^-10, 
  2.50575*10^-9, 5.15987*10^-12, 5.1954*10^-10, 2.63204*10^-11, 
  2.02494*10^-11}, {2.14495*10^-10, 8.79674*10^-12, 2.03673*10^-10, 
  5.72471*10^-8, 5.06656*10^-10, 1.51776*10^-11, 5.44196*10^-9, 
  2.6589*10^-11, 6.95096*10^-11, 1.70308*10^-11}, {1.69519*10^-11, 
  1.54478*10^-11, 9.18675*10^-8, 6.29594*10^-10, 5.31136*10^-11, 
  1.3021*10^-9, 4.23972*10^-12, 5.52745*10^-10, 2.44874*10^-11, 
  2.99649*10^-13}}

Выглядит как погрешности суммирования и интегрирования

[ex-math]

NSKuber
Спасибо. Остается понять, устроит ли ТС такой результат и можно ли что-то сделать с этим интегралом.

[Divergence]

Спасибо за интеграл.
Было бы интересно посмотреть как вы его получили. Это возможно ?

Надо подумать, что делать с этим интегралом.

[ex-math]

Рассмотрим интеграл

$$I_N=\frac1 {2\pi i}\int_{\Gamma_N}\left (\sqrt {(z-n)^2+m^2}-\sqrt {(z+n)^2+m^2}\right)\frac {\pi dz}{z\sin\pi z}, $$

где $\Gamma_N $ -- контур квадрата $|x|,|y|<N+1/2$ с вертикальными разрезами от точек $\pm n+im $ вверх и от точек $\pm n-im $ вниз, ветви корней выбираются так, чтобы корни были положительны при вещественных $z $. Вычисляя его через вычеты получим

$$I_N-\frac {2n}{\sqrt {n^2+m^2}}+2\sum_{k=1}^N\frac {(-1)^k}k\left (\sqrt {(k-n)^2+m^2}-\sqrt {(k+n)^2+m^2}\right). $$

С другой стороны, пользуясь нечетностью подынтегральной функции и тем, что в сопряженных точках она принимает сопряженные значения, получим

$$I_N=4\mathrm {Re}\,\frac1 {2\pi i}\int_{\Gamma_N'}\left (\sqrt {(z-n)^2+m^2}-\sqrt {(z+n)^2+m^2}\right)\frac {\pi dz}{z\sin\pi z}, $$

где $\Gamma_N'$ -- часть контура $\Gamma_N $, лежащая в первой четверти. Затем надо показать, что интегралы по горизонтальной и вертикальной сторонам $\Gamma_N'$ стремятся к нулю с ростом $N $. Для горизонтальной стороны это совсем просто, потому что там синус экспоненциально растет. Для вертикальной стороны достаточно того, что разность корней в скобках будет ограниченной, а в этом можно убедиться, повозившись с их аргументами, которые оказываются очень близкими при больших $N $. Таким образом, при устремлении $N\to\+\infty$ остается только интеграл по разрезу от точки $n+im $ вверх. Второй корень принимает одинаковые значения на обоих берегах разреза, поэтому не даст вклада в интеграл, так как эти берега проходятся в противоположных направлениях. Значения первого корня на берегах разреза отличаются знаком, поэтому он даст в интеграл двойной вклад. Остается подставить $z=n+it,t\in [m,+\infty) ,$ учесть, что на левом берегу разреза корень будет равен $-i\sqrt {t^2-m^2} ,$ воспользоваться формулой приведения для синуса и выделить вещественную часть.

Что касается того, что делать с интегралом. Если Вас интересует случай больших $m $ или $n $, то он не помешает. С ростом $n $ он убывает примерно как $1/n, $ а с ростом $m $ вообще экспоненциально убывает. Кроме того, известен его знак.

[Divergence]

Большое спасибо за информацию.