Интерпретация на фоне Петрова

[epros]

schekn в сообщении #1046971 писал(а):

И это не должно зависеть от того, в какой СО вы считаете эту энергию.

Ха, ха и ха. Этот результат получен для конкретной СО, а стало быть ко всем прочим СО никак не применим.

schekn в сообщении #1046971 писал(а):

Это значит вещество не уйдет полностью за $r_g$ и никаких ловушечных поверхностей не появится.

Самое удивительное, что Ваши неправильные рассуждения приводят к правильным выводам. В СО, связанной со статическими координатами Шварцшильда, вещество "никогда" не уйдёт под $r_g$, потому что момент прохождения через $r_g$ оказывается в бесконечном будущем по координатному времени. Но не по собственным часам падающего вещества. Сей результат широко известен.

schekn в сообщении #1046971 писал(а):

в Вашем объяснении я ничего не понял. Я то как раз получил решение для статической сферы и им доверяю

Не знаю, чего Вы там не поняли. В Вашем решении, насколько я помню, координаты вне и внутри сферического слоя не сшиты и из этого дефекта выбора координат Вы делали какие-то фантастические выводы

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #1046811 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1046792 писал(а):

...Как бы то ни было, величина

$$ E_{\tau, M_3} = \int\limits_{M_3} \mathcal{E}_{\tau}, \qquad \mathcal{E}_{\tau} = \tau^{\mu} \, T_{\mu \nu} \left( \star \, dx^{\nu} \right) $$

имеет смысл энергии (механической) системы сосредоточенной в области $M_3$ в системе отсчёта в которой $e^{(0)}_{\mu} = \tau_{\mu}$, и следующее равенство остаётся верным даже если $\tau_{\mu}$ не является вектором Киллинга:

$$ \frac{1}{2} \int\limits_{M_4} T^{\mu \nu} \left( \nabla_{\mu} \tau_{\nu} + \nabla_{\nu} \tau_{\mu} \right) \sqrt{-g} \, d_4 x = \int\limits_{M_4} \nabla_{\mu} \left( T^{\mu \nu} \tau_{\nu}\right) \sqrt{-g} \, d_4 x = \oint\limits_{\partial M_4} \mathcal{E}_{\tau}. $$

Сергей, пусть у нас есть пространство-время с плоской метрикой FLRW

$$ ds^2=c^2 dt^2-a^2(t) (dx^2+dy^2+dz^2) $$

с монотонно возрастающим масштабным фактором $a(t)$ (расширяющаяся Вселенная Фридмана). В этой Вселенной свободно движется точечная частица массы $m$, имеющая в момент времени $t=0$ скорость $v_0$. Какова энергия такой физической системы с Вашей точки зрения?

Энергию этой частицы можно вычислить используя Релятивистскую Механику или Теорию Поля, в обоих случаях она такова:

$$ E = m c^2 \sqrt{1 + \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{m^2 c^2 \, a^2(t)} }, \eqno(1) $$

здесь $p_x = \operatorname{const}$, $p_y = \operatorname{const}$, $p_z = \operatorname{const}$. Покажу как это сосчитать через тензор энергии импульса

$$T_{\mu \nu} = \rho c^2 U_{\mu} U_{\nu} \eqno(2)$$

Дивергенция этого тензора энергии импульса

$$ \nabla_{\mu} T^{\mu \nu} = 0 \eqno(3) $$

равна нулю в силу геодезичности четырёхскорости

$$ U^{\mu} \nabla_{\mu} U^{\nu} = 0 \eqno(4) $$

и условия непрерывности вещества из которого состоит частица

$$ \nabla_{\mu} \left( \rho \, U^{\mu} \right) = 0. \eqno(5) $$

Решение уравнений (4), (5) для внутренней области частицы (там где $\rho \ne 0$):

$$ U^{\mu} = \left\{ \sqrt{1 + \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{m^2 c^2 \, a^2(t)} }, \frac{p_x}{m c \, a^2(t)}, \frac{p_y}{m c \, a^2(t)}, \frac{p_z}{m c \, a^2(t)} \right\}, \eqno(6) $$

$$ \rho = \frac{\tilde{\rho}}{\sqrt{-g} U^0}, \quad \tilde{\rho} = \operatorname{const} \eqno(7) $$

Далее используем определение

$$ E = \int\limits_{M_3} \mathcal{E}_{\tau}, \qquad \mathcal{E}_{\tau} = \tau^{\mu} \, T_{\mu \nu} \left( \star \, dx^{\nu} \right). \eqno(8) $$

В неподвижной системе отсчёта $\tau^{\mu} = \{1, 0, 0, 0\}$. Если согласовать $\tilde{\rho}$ с массой и объёмом частицы, то получим ответ (1).

[epros]

KVV в сообщении #1046977 писал(а):

Вы принимаете тот факт, что существуют проблемы, описанные Петровым в 5.4.1?

Там слишком много разных слов, чтобы все их разом комментировать. Давайте конкретнее, в чём именно вопрос? Можно ли определять массу тяготеющей материи неким интегралом по объему? Да, можно. Но "дефект масс" будет иметь место, ибо при таком подходе не учитывается энергия гравитационного поля. Можно ли определять массу внутри шара потоком ускорения свободного падения через его поверхность? Да, можно. Но нужно понимать, что только на бесконечности этот интеграл даст классическое значение массы системы, ибо только в таком случае учитывается энергия всего гравитационного поля. Во всех остальных случаях энергия того гравитационного поля, которое вне шара, не учитывается. Что ещё?

KVV в сообщении #1046977 писал(а):

Выберите любое.

Так не пойдёт. Вариантов много и не все для всех случаев хороши.

[schekn]

epros в сообщении #1046978 писал(а):

Самое удивительное, что Ваши неправильные рассуждения приводят к правильным выводам. В СО, связанной со статическими координатами Шварцшильда, вещество "никогда" не уйдёт под $r_g$, потому что момент прохождения через $r_g$ оказывается в бесконечном будущем по координатному времени. Но не по собственным часам падающего вещества. Сей результат широко известен.

Оно не уходит и сопутствующей системе отсчета. Ваши рассуждения неправильны и основываются на базе неправильной теории. И проверить этот факт вы не сможете. Поэтому это не факт, а ваши фантазии. Поэтому не уйдет вещество за горизонт по другим причина, нежели , Вы описали.

epros в сообщении #1046978 писал(а):

Не знаю, чего Вы там не поняли. В Вашем решении, насколько я помню, координаты вне и внутри сферического слоя не сшиты и из этого дефекта выбора координат Вы делали какие-то фантастические выводы

У меня как раз все замечательно сшивается , я даже сверял это с расчетами других источников. Не сшивается, насколько я помню, в вашем решении.

[epros]

schekn в сообщении #1046988 писал(а):

Поэтому не уйдет вещество за горизонт по другим причина, нежели , Вы описали.

Можете упорствовать в своей точке зрения сколько угодно, а я пока не вижу причин считать ОТО неправильной.

schekn в сообщении #1046988 писал(а):

Не сшивается, насколько я помню, в вашем решении.

Вы помните плохо. В моём варианте Вам не нравилась вовсе не сшивка, а ненулевое значение координаты $r$ в центре. А вот у Вас, помнится, был разрыв метрики на сферическом слое.

[schekn]

epros в сообщении #1046998 писал(а):

Можете упорствовать в своей точке зрения сколько угодно, а я пока не вижу причин считать ОТО неправильной.

То, что ОТО неплохо описывает ситуацию в слабых полях и движение вещества в области $ r>r_g$ вокруг сферически симметричного тела еще не дает основания для экстраполяции теории на области недоступные наблюдению. И соответственно образование ЧД это пока лишь гипотеза.
Если вернуться к теме: введение фоновой метрики предлагается уже давно и в работе Иваненко " Гравитация" говорится, что это видимо перспективное направление.
Статья Петрова датируется 2000 годами. То есть через 80-90 лет пытаются к основным положениям, введенным Эйнштейном, добавить очередную заплатку.

[epros]

schekn в сообщении #1047133 писал(а):

еще не дает основания для экстраполяции теории на области недоступные наблюдению.

Это не "экстраполяция" теории. Теория изначально такая. И более разумных подходов пока никто не придумал.

schekn в сообщении #1047133 писал(а):

И соответственно образование ЧД это пока лишь гипотеза.

Более разумно предположить, что Ваше собственное существование -- гипотеза. По крайней мере, его пока никто убедительно не доказал. А ЧД как раз достаточно подробно наблюдаются.

schekn в сообщении #1047133 писал(а):

Если вернуться к теме: введение фоновой метрики предлагается уже давно и в работе Иваненко " Гравитация" говорится, что это видимо перспективное направление.

Это такая же альтернативная наука, как творения Логунова. Фоновая метрика -- это ни что иное, как современный вариант попыток поиска трёх китов, на которых стоит Земля.

schekn в сообщении #1047133 писал(а):

добавить очередную заплатку

Это не заплатка, а просто понимание не у всех ещё созрело. Дельта-функцию Дирака математики тоже долго не понимали и не принимали. А потом таки придумали способ её математически корректного определения. И с интегральными законами сохранения в искривлённом пространстве в конечном итоге разберутся. Хотя да, то, что написано в ЛЛ2, не вполне корректно в математическом смысле.

[schekn]

epros в сообщении #1046998 писал(а):

В моём варианте Вам не нравилась вовсе не сшивка, а ненулевое значение координаты $r$ в центре. А вот у Вас, помнится, был разрыв метрики на сферическом слое.

Да в общем все равно какая координата будет в центре, но Вы рассматривали сингулярную сферу, а я тонкую и у меня все компоненты сшились непрерывно как внутри так и снаружи.

-- 23.08.2015, 12:03 --

epros в сообщении #1047141 писал(а):

Это такая же альтернативная наука, как творения Логунова. Фоновая метрика -- это ни что иное, как современный вариант попыток поиска трёх китов, на которых стоит Земля.

Ну можно сказать , что и альтернативная, но математически более корректная и также великолепно описывает все наблюдаемые астрономические явления.
А вот предложенное Петровым, согласен с Вами. Я пока не видел критических статей по этому поводу. К сожалению основной сторонник данного формализма ушел от дискуссии.

-- 23.08.2015, 12:04 --

epros в сообщении #1047141 писал(а):

А ЧД как раз достаточно подробно наблюдаются.

Это Вам кажется. Наблюдаются коллапсирующие объекты.

-- 23.08.2015, 12:14 --

Возвращаясь к энергии гравитационного поля. Для того , чтобы поднять некий слой над шаром на некоторое расстояние , как вы предлагаете, вам необходимо затратить энергию, грубо говоря сжечь некоторое количество топлива. И это количество не зависит от того , в какой системе координат вы рассматриваете данный процесс. А у Вас почему-то зависит. Поэтому три ха-ха относится к вашему определению.

[epros]

schekn в сообщении #1047145 писал(а):

Вы рассматривали сингулярную сферу, а я тонкую и у меня все компоненты сшились непрерывно как внутри так и снаружи

В пределе нулевой толщины слоя у Вас получался разрыв метрики. А у меня метрика непрерывно сшита.

schekn в сообщении #1047145 писал(а):

математически более корректная

Можно насколько угодно математически корректно описать воображаемых трёх китов, но они всё равно не приобретут физического смысла, ибо принципиально ненаблюдаемы. Поэтому бритва Оккама по ним плачет. Предлагать плоскую фоновую метрику для пространства-времени -- это всё равно что предлагать плоскую метрику для описания поверхности Земли: Да, в картографии такое возможно, но нужно понимать, что существует произвол в выборе проекций на плоскую карту. Вот Вы выберете проекцию таким образом, что у Вас все расстояния около Москвы окажутся правильными, а около Вашингтона будут большие искажения. А кто-то выберет проекцию так, что около Вашингтона все расстояния будут правильными, а около Москвы будут большие искажения. И Вы замучаетесь спорить о том, какая из проекций "более правильная".

schekn в сообщении #1047145 писал(а):

Это Вам кажется. Наблюдаются коллапсирующие объекты.

Эти "коллапсирующие объекты" уже миллиарды лет неотличимы от сколлапсировавших. Причём отличимы они были в течении считанных секунд в течение коллапса, а потом очень быстро и необратимо стали неотличимыми. К тому же все понимают, что эти формально заложенные (а практически ненаблюдаемые) отличия в триллионных знаках после запятой на самом деле есть следствие задержки световых сигналов на пути от горизонта до нас, и ничего более. ОТО всё это прекрасно описывает.

schekn в сообщении #1047145 писал(а):

Для того , чтобы поднять некий слой над шаром на некоторое расстояние , как вы предлагаете, вам необходимо затратить энергию, грубо говоря сжечь некоторое количество топлива. И это количество не зависит от того , в какой системе координат вы рассматриваете данный процесс. А у Вас почему-то зависит. Поэтому три ха-ха относится к вашему определению.

Охохохохохохо. Как бы Вам ни хотелось выразить энергию в неких абсолютных величинах типа "брикетов топлива", а она всё же определяется в конкретной СО. Вспоминайте, что у камня в одной СО одна кинетическая энергия, а в другой -- другая.

[Munin]

manul91 в сообщении #1046807 писал(а):

Ну а фон-то выбирается искуственно, его можно выделить из метрики...

Я хочу предупредить от путаницы. Понятие фона встречается в двух несколько отличающихся контекстах:
- как нефизический приём, придающий геометрическим величинам обычную полевую негеометрическую интерпретацию;
- как приём рассмотрения малых возмущений к известным решениям, когда искомое решение делится на фон (невозмущённый) и возмущение.
Во втором случае, фон выделяют из метрики, но в первом - скорее, назначают произволом. И здесь в теме речь именно о первой ситуации.

[schekn]

epros в сообщении #1047157 писал(а):

В пределе нулевой толщины слоя у Вас получался разрыв метрики. А у меня метрика непрерывно сшита.

Ну ведь сингулярных сфер не бывает реально. У меня ситуация более реалистична.

epros в сообщении #1047157 писал(а):

Предлагать плоскую фоновую метрику для пространства-времени -- это всё равно что предлагать плоскую метрику для описания поверхности Земли:

Мне кажется Вы несколько недопонимаете, что предлагается в РТГ. Разумеется к формализму Петрова это имеет косвенное отношение. К тому же вспоминайте, основные эксперименты, доказывающие живучесть ОТО , произведены по отношению к выделенной СО - системе удаленных звезд.

epros в сообщении #1047157 писал(а):

Эти "коллапсирующие объекты" уже миллиарды лет неотличимы от сколлапсировавших.

Столько не живут.

epros в сообщении #1047157 писал(а):

Как бы Вам ни хотелось выразить энергию в неких абсолютных величинах типа "брикетов топлива", а она всё же определяется в конкретной СО. Вспоминайте, что у камня в одной СО одна кинетическая энергия, а в другой -- другая.

Если Вы вместе с переходом в другую систему отсчета меняете физическое состояние системы, или измерительной аппаратуры, то разумеется у Вас изменится и некоторые измеряемые характеристики. Но тут еще и парадокс в другом - у Вас не может измениться энергия поля только лишь преобразованием пространственных координат. Вычисление значений энергии гр. поля не должно зависеть от сферических, декартовых или цилиндрических координат. А в ОТО она зависит. И Петров пытается хотя бы эту проблему решить.

[epros]

schekn в сообщении #1047185 писал(а):

Ну ведь сингулярных сфер не бывает реально. У меня ситуация более реалистична.

Модели -- всегда модели, а не реальность. Модель бесконечно тонкой сферы более адекватна для описания тонкого слоя, чем модель с конечной толщиной слоя, но от балды выбранной радиальной зависимостью ТЭИ. И я Вам чётко сказал в чём проблема Вашей модели: В пределе тонкого слоя у Вас получается разрыв метрики. Это дефект выбора координат, понимаете? Дефект этот преодолим, нужно всего лишь адекватным образом заменить координаты. Но Вы почему-то упираетесь и пытаетесь именно из этого дефекта делать какие-то "физические" выводы.

schekn в сообщении #1047185 писал(а):

основные эксперименты, доказывающие живучесть ОТО , произведены по отношению к выделенной СО - системе удаленных звезд.

Что Вы имеете в виду? Вот Вам эксперимент Gravity Probe B. Там подтверждены два эффекта ОТО: геодезическая прецессия и эффект Лензе — Тирринга. Что из этого опирается на выделенность СО? Вот, скажем, та же геодезическая прецессия имеет двоякое объяснение. 1) В статической СО, связанной с координатами Шварцшильда, она объясняется кривизной пространственного трёхмерия: Вектор, параллельно перенесённый по круговой орбите, поворачивается. 2) В локальной СО, связанной со спутником, но ориентированной по направлениям, зафиксированным относительно статической СО, эффект объясняется наличием сил Кориолиса, под действием которых гироскоп прецессирует.

schekn в сообщении #1047185 писал(а):

Столько не живут.

Чёрные дыры такого возраста бывают.

schekn в сообщении #1047185 писал(а):

Если Вы вместе с переходом в другую систему отсчета меняете физическое состояние системы, или измерительной аппаратуры, то разумеется у Вас изменится и некоторые измеряемые характеристики.

Что там изменяется в "физическом состоянии" лежащего у дороги камня, когда Вы переходите из системы отсчёта, связанной с дорогой, в систему отсчёта, связанную с автомобилем?

schekn в сообщении #1047185 писал(а):

Но тут еще и парадокс в другом - у Вас не может измениться энергия поля только лишь преобразованием пространственных координат. Вычисление значений энергии гр. поля не должно зависеть от сферических, декартовых или цилиндрических координат. А в ОТО она зависит.

Это всего лишь случай неудачного способа определения псевдотензора (хотя с какой стороны ещё посмотреть -- есть или нет в этом какая-то неудача). Ибо есть некоторая тонкая разница между понятиями "система отсчёта" и "система координат". Псевдотензоры как раз привязаны к системам координат. А сферические координаты, конечно, отличаются от декартовых. Поэтому не удивительно, что когда мы, скажем, в сферических координатах пытаемся посчитать $\varphi$-тую компоненту интегрального импульса, то мы получим нечто странное, более похожее на компоненту момента, чем собственно на компоненту импульса. Когда же мы говорим о "системах отсчёта", то ожидаем независимости отсчитываемого от того, какие пространственные координаты выбраны. Ну, значит соответствующую тетраду ковекторных полей нужно выбирать не из голономных базисов соответствующей координатной сетки, а как-то иначе.

[Утундрий]

Так трёхмерные преобразования как раз систему отсчёта и не меняют. Зато меняют энергию, определённую посредством п.т.э.и. То есть, перенумеровал я мировые линии в другом порядке и вместо нуля получил бесконечность. Чудеса!

[epros]

Ну я же говорю, что это -- особенность формализма псевдотензоров, которые привязаны не к системе отсчёта, а к системе координат. Поэтому они могут меняться при таких координатных преобразованиях, которые не меняют систему отсчёта. Закон сохранения это, однако, не затрагивает, т.е. и в тех и в других координатах соответствующие величины остаются сохраняющимися. Поэтому у нас есть выбор из двух вариантов:
1) Наплевать на это изменение и начать считать, что "энергия" определена способом, зависимым от выбора пространственных координат. Ничего страшного после этого не произойдёт, вечные двигатели не появятся.
2) Выбрать другое определение энергии, которое будет связано именно с системой отсчёта, а значит не будет зависеть от выбора пространственных координат.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1047157 писал(а):

Эти "коллапсирующие объекты" уже миллиарды лет неотличимы от сколлапсировавших. Причём отличимы они были в течении считанных секунд в течение коллапса, а потом очень быстро и необратимо стали неотличимыми.

Прикиньте разницу во времени, сколько идёт свет от несколлапсировшегося объекта и от сколлапсировавшегося (желательно от точек в непосредственной близости о горизонта). И что там проходит за секунды, у нас видится более продолжительно.