Достаточное условие всюду плотности

[el greco]

Является ли условие вполне хаусдорфовости пространства $X$ достаточным для того, чтобы
$\overline{C_p(X)}=\mathbb{R}^X$

[el greco]

Для доказательства всюду плотности берем произвольную базовую окрестность в $\mathbb{R}^X$ и ищем в ней непрерывную функцию. То есть берем конечный набор точек из $X$, к каждой точке какое-то свое число, интервал $\varepsilon$. Для любых двух точек из $X$, в силу вполне хаусдорфовости, существует непрерывная функция их разделяющая. Но как построить непрерывную функцию, которая в каждой точке из набора проходит через $\varepsilon$-интервал?

[el greco]

Можно ли как-нибудь применить теорему Стоуна-Вейерштрасса?

[Brukvalub]

Вы использовали краткую запись задачи, например, мне в этой записи не все ясно, а вытягивать из вас пояснения - лень. Возможно, я не один такой, вот вам и не отвечают...

[el greco]

Brukvalub
А что именно непонятно?

[Brukvalub]

el greco в сообщении #1044393 писал(а):

Brukvalub
А что именно непонятно?

Ну вот, началось. Напишите формулировку, используя ТОЛЬКО слова, без мат.значков.

[el greco]

Пусть пространство $X$ вполне хаусдорфово (любые две точки можно разделить непрерывной функцией). Будет ли тогда пространство всех непрерывных функций на $X$ в топологии поточечной сходимости всюду плотным в тихоновском произведении прямых $\mathbb{R}^X$?

[g______d]

Как насчёт сравнить мощности?

[el greco]

g______d
А что это даст?

[Brukvalub]

Ответ - отрицательный, что вытекает, например, из классификации Бэра.

[el greco]

Brukvalub
Каким образом? $X$ не метрическое пространство.

[Oleg Zubelevich]

а что если ответ отрицательный для метрического пространства, этого не достаточно?

[el greco]

Oleg Zubelevich
Ну да, был не прав. Можно поподробнее если можно.

[Someone]

el greco в сообщении #1043975 писал(а):

Для доказательства всюду плотности берем произвольную базовую окрестность в $\mathbb{R}^X$ и ищем в ней непрерывную функцию. То есть берем конечный набор точек из $X$, к каждой точке какое-то свое число, интервал $\varepsilon$. Для любых двух точек из $X$, в силу вполне хаусдорфовости, существует непрерывная функция их разделяющая. Но как построить непрерывную функцию, которая в каждой точке из набора проходит через $\varepsilon$-интервал?

Давайте сначала решум упрощённую задачу. В вашем вполне хаусдорфовом пространстве $X$ заданы попарно различные точки $x_1,x_2,\ldots,x_n$, $n>1$. Нужно построить непрерывную функцию $g_1\colon X\to\mathbb R$, для которой $g_1x_1=1$ и $g_1x_k=0$ при $2\leqslant k\leqslant n$.

И начинать доказательство плотности надо не сразу с построения функции, а сказать некоторые предварительные слова, чтобы было ясно, какая именно функция строится и почему (какое отношение она имеет к плотности обсуждаемого множества).

Oleg Zubelevich в сообщении #1044442 писал(а):

а что если ответ отрицательный для метрического пространства, этого не достаточно?

Недостаточно. $\mathbb R^X$ в тихоновской топологии радикально отличается от метрического пространства. Тут нужно использовать непосредственно определение тихоновской топологии.

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #1044463 писал(а):

Недостаточно.

Было высказано некоторое утверждение про все отделимые топологические пространства. И было показано, что для метрических пространств оно , вообще говоря, неверно. Этого не достаточно чио бы счесть исходное утверждение ложным?