Для доказательства всюду плотности берем произвольную базовую окрестность в

и ищем в ней непрерывную функцию. То есть берем конечный набор точек из

, к каждой точке какое-то свое число, интервал

. Для любых двух точек из

, в силу вполне хаусдорфовости, существует непрерывная функция их разделяющая. Но как построить непрерывную функцию, которая в каждой точке из набора проходит через

-интервал?
Давайте сначала решум упрощённую задачу. В вашем вполне хаусдорфовом пространстве

заданы попарно различные точки

,

. Нужно построить непрерывную функцию

, для которой

и

при

.
И начинать доказательство плотности надо не сразу с построения функции, а сказать некоторые предварительные слова, чтобы было ясно, какая именно функция строится и почему (какое отношение она имеет к плотности обсуждаемого множества).
а что если ответ отрицательный для метрического пространства, этого не достаточно?
Недостаточно.

в тихоновской топологии радикально отличается от метрического пространства. Тут нужно использовать непосредственно определение тихоновской топологии.