2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Достаточное условие всюду плотности
Сообщение10.08.2015, 06:33 
Является ли условие вполне хаусдорфовости пространства $X$ достаточным для того, чтобы
$\overline{C_p(X)}=\mathbb{R}^X$

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение10.08.2015, 17:27 
Для доказательства всюду плотности берем произвольную базовую окрестность в $\mathbb{R}^X$ и ищем в ней непрерывную функцию. То есть берем конечный набор точек из $X$, к каждой точке какое-то свое число, интервал $\varepsilon$. Для любых двух точек из $X$, в силу вполне хаусдорфовости, существует непрерывная функция их разделяющая. Но как построить непрерывную функцию, которая в каждой точке из набора проходит через $\varepsilon$-интервал?

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 11:12 
Можно ли как-нибудь применить теорему Стоуна-Вейерштрасса?

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 12:37 
Аватара пользователя
Вы использовали краткую запись задачи, например, мне в этой записи не все ясно, а вытягивать из вас пояснения - лень. Возможно, я не один такой, вот вам и не отвечают... :D

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 12:40 
Brukvalub
А что именно непонятно?

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 12:45 
Аватара пользователя
el greco в сообщении #1044393 писал(а):
Brukvalub
А что именно непонятно?
Ну вот, началось. Напишите формулировку, используя ТОЛЬКО слова, без мат.значков.

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 12:48 
Пусть пространство $X$ вполне хаусдорфово (любые две точки можно разделить непрерывной функцией). Будет ли тогда пространство всех непрерывных функций на $X$ в топологии поточечной сходимости всюду плотным в тихоновском произведении прямых $\mathbb{R}^X$?

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 12:56 
Аватара пользователя
Как насчёт сравнить мощности?

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 13:55 
g______d
А что это даст?

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 14:06 
Аватара пользователя
Ответ - отрицательный, что вытекает, например, из классификации Бэра.

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 14:22 
Brukvalub
Каким образом? $X$ не метрическое пространство.

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 14:59 
а что если ответ отрицательный для метрического пространства, этого не достаточно?

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 15:18 
Oleg Zubelevich
Ну да, был не прав. Можно поподробнее если можно.

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 15:56 
Аватара пользователя
el greco в сообщении #1043975 писал(а):
Для доказательства всюду плотности берем произвольную базовую окрестность в $\mathbb{R}^X$ и ищем в ней непрерывную функцию. То есть берем конечный набор точек из $X$, к каждой точке какое-то свое число, интервал $\varepsilon$. Для любых двух точек из $X$, в силу вполне хаусдорфовости, существует непрерывная функция их разделяющая. Но как построить непрерывную функцию, которая в каждой точке из набора проходит через $\varepsilon$-интервал?
Давайте сначала решум упрощённую задачу. В вашем вполне хаусдорфовом пространстве $X$ заданы попарно различные точки $x_1,x_2,\ldots,x_n$, $n>1$. Нужно построить непрерывную функцию $g_1\colon X\to\mathbb R$, для которой $g_1x_1=1$ и $g_1x_k=0$ при $2\leqslant k\leqslant n$.

И начинать доказательство плотности надо не сразу с построения функции, а сказать некоторые предварительные слова, чтобы было ясно, какая именно функция строится и почему (какое отношение она имеет к плотности обсуждаемого множества).

Oleg Zubelevich в сообщении #1044442 писал(а):
а что если ответ отрицательный для метрического пространства, этого не достаточно?
Недостаточно. $\mathbb R^X$ в тихоновской топологии радикально отличается от метрического пространства. Тут нужно использовать непосредственно определение тихоновской топологии.

 
 
 
 Re: Достаточное условие всюду плотности
Сообщение11.08.2015, 16:05 
Someone в сообщении #1044463 писал(а):
Недостаточно.

Было высказано некоторое утверждение про все отделимые топологические пространства. И было показано, что для метрических пространств оно , вообще говоря, неверно. Этого не достаточно чио бы счесть исходное утверждение ложным?

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group