Размышления о ВТФ для Р = 3

[ananova]

Поскольку с помощью программы легче проверять простые случаи. Я это сделал для $z=x+1$
Квадратные скобки, которыми Вы определяете группировки слагаемых, я оставил.

$$[((y-1)y/2)^2]+[(x+1)^3+(x+2)^3]+[((x-1)x/2)^2]=((x+2)(x+3)/2)^2-(x+1)^3$$

Программа нашла решения, которые доказывают, что Вы на верном пути. Они такие:

1)
$x=-\dfrac {\sqrt{-3y^4+6y^3-3y^2-3}} 6-\dfrac 1 2$, при $-3y^4+6y^3-3y^2-3 \geqslant 0$
2)
$x=\dfrac {\sqrt{-3y^4+6y^3-3y^2-3}} 6-\dfrac 1 2$, при $-3y^4+6y^3-3y^2-3 \geqslant 0$

Ранее было найдено решение относительно $y$

ananova в сообщении #1042110 писал(а):

$$y=\sqrt[3]{(\frac {9x^4} 4+2x^3+ \frac {25x^2} 4+\frac {7x} 2+1)}$$

Резюме. При условии: $x>y>0$ решений нет.

-- Ср авг 05, 2015 10:06:50 --

Замечательная формулировка.

lasta в сообщении #1042729 писал(а):

Произвольная сумма двух кубов из ряда кубов первых натуральных чисел произвольного интервала не равна кубу из данного ряда.

[vasili]

Уважаемый ananova! Какое равенство Вы анализировали? Почему подкоренное выражение отрицательное?

[ananova]

vasili в сообщении #1042917 писал(а):

Уважаемый ananova! Какое равенство Вы анализировали? Почему подкоренное выражение отрицательное?

Нужна, Ваша помощь, vasili!

Я ошибся при переводе Вашего пункта 5.2 к случаю $z=x+1$

Проверьте мои выкладки

Для левой части уравнения:
Ваш пункт 5.1 в доказательстве в этом случае равен:

$$(\frac {(y-1)y} 2)^2$$

Ваш 5.2 в доказательстве в этом случае равен:

$$(x-y-1)y^3+3y^2\frac{(x-y-1)(x-y)} 2+3y(x-y-1)\frac {(x-y)(2(x-y-1)+1)} 6+(\frac {(x-y-1)(x-y)} 2)^2$$

Ваш 5.3 в доказательстве в этом случае равен:

$$(x+1)^3+(x+2)^3$$

Правая часть уравнения

$$(\frac {(x+2)(x+3)} 2)^2-(x+1)^3$$

Если я не ошибся, то результат не выходит на возможное противоречие. Сорри.

$$x=\dfrac {\sqrt{12y^3-3}} 6-\dfrac 1 2$$

[ananova]

ananova в сообщении #1042928 писал(а):

Ваш 5.2 в доказательстве в этом случае равен:

$$(x-y-1)y^3+3y^2\frac{(x-y-1)(x-y)} 2+3y(x-y-1)\frac {(x-y)(2(x-y-1)+1)} 6+(\frac {(x-y-1)(x-y)} 2)^2$$

Пункт 5.2 можно выразить сильно покороче:

$$\left( \dfrac {(x-1)x} 2 \right)^2 - \left(\dfrac {y(y+1)} 2 \right)^2$$

[lasta]

Уважаемый vasili! Все можно свести к равенству

$$\sum_{i=1}^{z}{i^3}-y^3-x^3=[\frac{(z)(z-1)}{2}]^2;\qquad \text{(круг)}$$

[/quote] И здесь начинается замкнутый круг. Равенство нарушается если тройка не удовлетворяет УФ. То есть для доказательства нарушения равенства необходимо доказать ВТФ. Поясните, чем же отличается равенство (круг) от Вашего.

[vasili]

Уважаемый ananova! При натуральном числе y, Вы получили иррациональное число x. Это не противоречие?

[ananova]

vasili,

Я не готов доказать, что результат является иррациональным числом. Если Вы или кто-то сможете, то будет хорошо.

[vasili]

Уважаемый Lasta!
1. Вы взяли сумму кубов z первых натуральных чисел. Я взял сумму кубов (z + 1) первых натуральных чисел.
2. Записали правую часть в другой форме, отличной от моей. Вместо $[\frac{z (z +1)}{2}]^2 -z^3$ предложили

$[\frac{ (z-1)z}{2}]^2$.

Это формальные отличия. По существу у Вас детально не формализована Левая часть равенства, что затрудняет анализ.

[lasta]

Уважаемый vasili! Добавим куб $(z+1)^3$ в правую и левую части равенства (круг)

$$\sum_{i=1}^{z}{i^3}+(z+1)^3-y^3-x^3=[\frac{(z)(z-1)}{2}]^2+(z+1)^3$$

получаем ваше равенство

$$\sum_{i=1}^{z+1}{i^3}-y^3-x^3=[\frac{(z+1)(z+2)}{2}]^2-z^3$$

с тем же замкнутым кругом. Чтобы доказать нарушение равенства, надо доказать ВТФ. Ваш подход оригинален. Исходным является истинное равенство. Но одной алгеброй здесь не справиться.

[vasili]

Уважаемый Lasta! Левая часть при вычитании из нее суммы $x^3 + y^3$ разбивается на 3(три) суммы: первая сумма $S = F(y)$, вторая сумма $S = F(x,y)$ и третья сумма $S = F(z,x)$. Сумма Правой части $S = F(z)$. Это позволяет провести анализ. Форма записи истинного равенства может быть разной, что Вы и демонстрируете.

[Alexis_11]

Мне нечего сказать о теореме Ферма, но одну ошибку в формуле (9) я заметил.

В формуле (8) последняя строка начинается с множителя 3y k2/6.
После замены k2=z-x+1 и домножения на 4 он должен был превратиться в 2y(z-x+1)
и в таком виде попасть в формулу (9), но он попал в несколько ином виде:
2x(z-x+1) ,то есть, вместо y в формулу (9) попал x.

[Deggial]

Alexis_11, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.
Все формулы и термы здесь следует набирать $\TeX$ом. Все прочие неправильно оформленные посты поедут в Карантин.

[ananova]

Найденное ранее решение

ananova в сообщении #1042928 писал(а):

$$x=\dfrac {\sqrt{12y^3-3}} 6-\dfrac 1 2$$

может быть рассмотрено через "призму" известного равенства для этого случая:

$$y^3=3x^2+3x+1$$

Тогда (после подстановки $y^3$) следующее уравнение не имеет решений:

$$x=\dfrac {\sqrt{12(3x^2+3x+1)-3}} 6 -\dfrac 1 2$$

Надо перепроверять (искать ошибку). По идее должно быть тождество.

[vasili]

Уважаемый Alexis_11! Благодарю за найденную "опечатку". Действительно в (8) вместо y должно быть x. К счастью в (9) записано правильно.

-- 08.08.2015, 16:51 --

Уважаемый ananova! Очевидно подкоренное выражение $12(3x^2 +3x +1) -3 = 9(4x^2 + 4x +1) = 9(2x +1)^2$
После извлечения и деления на 6 получим тождество $x + \frac{1}{2} -\frac{1}{2} = x$.

На что указывает этот результат?

[ananova]

vasili в сообщении #1043433 писал(а):

После извлечения и деления на 6 получим тождество $x + \frac{1}{2} -\frac{1}{2} = x$.

На что указывает этот результат?

Ловко и умеючи Вы разделались с тождеством. Раз так, то Вы сами поставили точку в этом направлении поиска противоречия.