1.Известно, что
![$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ……+ n^3 = [\frac{n(n + 1)}{2}] ^2\engo(1)$ $ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ……+ n^3 = [\frac{n(n + 1)}{2}] ^2\engo(1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/2/052fe410b44c51ecfa22637ef25afe8982.png)
,

,

.
[Е,С, ЛЯПИН и А,Е, ЕВСЕЕВ «АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ», ЧАСТЬ I, «Просвещение» 1974 г.],
2. Пусть натуральные числа

являются примитивным
Решением уравнения

и пусть

.
3. Благодаря (1) будет справедливо следующее равенство
![$$1^3 +2^3 +…+(y-1) ^3 + y^3 + (y +1) ^3 +…. + (x-1) ^3 + x^3 + (x +1)^3 +…
......+ z^3 + (z +1)^3 = [\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2\engo(5)$$ $$1^3 +2^3 +…+(y-1) ^3 + y^3 + (y +1) ^3 +…. + (x-1) ^3 + x^3 + (x +1)^3 +…
......+ z^3 + (z +1)^3 = [\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2\engo(5)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/0070079c459f9fe33277e43e8715f75f82.png)
.
4. Очевидно равенство (5) благодаря (4) сохраниться, если из левой части
(5) мы вычтем

, а из правой части (5) вычтем

Запишем новое равенство, сгруппировав определенным образом слагаемые левой части, поместив их в квадратные скобки,
![$$ [1^3 + 2^3 +…+(y-1)^3] + [(y + 1)^3 +(y +2)^3 +…+(y +k_1)^3] +
+ [(x + 1)^3 +(x +2)^3 +…+ (x + k_2)^3] = [\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2-z^3$$ $$ [1^3 + 2^3 +…+(y-1)^3] + [(y + 1)^3 +(y +2)^3 +…+(y +k_1)^3] +
+ [(x + 1)^3 +(x +2)^3 +…+ (x + k_2)^3] = [\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2-z^3$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/c/60c067a75e024b596f2f6e93cbf510fd82.png)
,
где

, отсюда

,

, отсюда

.
5. Будем находить суммы сгруппированных слагаемых в квадратных скобках
5.1.
![$ [1^3 + 2^3 +…+(y-1) ^3] = [\frac {(y-1)y}{2}]^2$ $ [1^3 + 2^3 +…+(y-1) ^3] = [\frac {(y-1)y}{2}]^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/5/aa5d9215ecd8c1047340df7aacf7fafc82.png)
;
5.2.
![$$ [(y + 1) ^3 +(y +2)^3 +…+(y +k_1)^3] = k_1 y^3 +
+3y^2 (1 + 2 + 3 + ….+ k_1) + 3y (1^2 +2^2 +…+ k_1^2) +
+ (1^3 + 2^3 +… + k_1^3)$$ $$ [(y + 1) ^3 +(y +2)^3 +…+(y +k_1)^3] = k_1 y^3 +
+3y^2 (1 + 2 + 3 + ….+ k_1) + 3y (1^2 +2^2 +…+ k_1^2) +
+ (1^3 + 2^3 +… + k_1^3)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/c/b3c0a6c2e9a699bd3893af57f3de635b82.png)
, отсюда
![$$(y + 1) ^3 + (y +2)^3 +…+(y +k_1)^3 = k_1y^3 + 3y^2\frac{k_1(k_1 +1)}{2} +
+3y k_1\frac {(k_1 +1) (2k_1 +1)}{6} + [\frac {k_1(k_1 +1)}{2}]^2$$ $$(y + 1) ^3 + (y +2)^3 +…+(y +k_1)^3 = k_1y^3 + 3y^2\frac{k_1(k_1 +1)}{2} +
+3y k_1\frac {(k_1 +1) (2k_1 +1)}{6} + [\frac {k_1(k_1 +1)}{2}]^2$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/1/0f1e67e937d44bece99cfb314c64bbde82.png)
;
5.3.
![$$ [(x + 1) ^3 +(x +2)^3 +…+(x + k_2)^3] = k_2x^3+
+3x^2 (1 + 2 + 3 + ….+k_2) + 3x (1^2 +2^2 +…+ k_2^2) +
+ (1^3 + 2^3 +… +k_2^3)$$ $$ [(x + 1) ^3 +(x +2)^3 +…+(x + k_2)^3] = k_2x^3+
+3x^2 (1 + 2 + 3 + ….+k_2) + 3x (1^2 +2^2 +…+ k_2^2) +
+ (1^3 + 2^3 +… +k_2^3)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a1447ccbf9274b6ccbabd91238de5782.png)
, отсюда
![$$(x + 1) ^3 +(x +2)^3 +…+(x + k_2)^3 = k_2x^3 + 3x^2\frac{k_2(k_2 +1)}{2} +
+3y k_2\frac {(k_2 +1) (2k_2 +1)}{6} + [\frac {k_2(k_2 +1)}{2}]^2$$ $$(x + 1) ^3 +(x +2)^3 +…+(x + k_2)^3 = k_2x^3 + 3x^2\frac{k_2(k_2 +1)}{2} +
+3y k_2\frac {(k_2 +1) (2k_2 +1)}{6} + [\frac {k_2(k_2 +1)}{2}]^2$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/8/5f804628bbfc276aacb88ce894ff1fcb82.png)
;
6. Запишем новое равенство с учетом сумм полученных в п.п. 5.1. 5.2. и 5.3.
![$$[\frac {(y-1)y}{2}]^2 + k_1y^3 + 3y^2\frac{k_1(k_1 +1)}{2} +
+3y k_1\frac {(k_1 +1)(2k_1 +1)}{6} + [\frac {k_1(k_1 +1)}{2}]^2 +
+ k_2x^3 + 3x^2\frac{k_2(k_2 +1)}{2} +
+3y k_2\frac {(k_2 +1)(2k_2 +1)}{6} + [\frac {k_2(k_2 +1)}{2}]^2 =[\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2-z^3\engo(8$$ $$[\frac {(y-1)y}{2}]^2 + k_1y^3 + 3y^2\frac{k_1(k_1 +1)}{2} +
+3y k_1\frac {(k_1 +1)(2k_1 +1)}{6} + [\frac {k_1(k_1 +1)}{2}]^2 +
+ k_2x^3 + 3x^2\frac{k_2(k_2 +1)}{2} +
+3y k_2\frac {(k_2 +1)(2k_2 +1)}{6} + [\frac {k_2(k_2 +1)}{2}]^2 =[\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2-z^3\engo(8$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/8/fb8f46ecba57c72f4d8b9b60cb74fa1682.png)
,
7.Умножим правую и левую части равенства (8) на 4 и запишем равенство с учетом (6) и (7)
![$$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) ++2y (x-y-1)(x-y)(2x-2y-1) +
+ [(x-y-1)(x-y) ]^2 + + 4(z-x +1) x^3 + 6x^2(z-x +1)(z-x +2) +
+2x (z-x +1)(z-x +2)(2z-2x + 3) + + [(z-x +1)(z-x +2)]^2 =
= [(z +1) (z +2)]^2- 4z^3 \engo(9)$$ $$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) ++2y (x-y-1)(x-y)(2x-2y-1) +
+ [(x-y-1)(x-y) ]^2 + + 4(z-x +1) x^3 + 6x^2(z-x +1)(z-x +2) +
+2x (z-x +1)(z-x +2)(2z-2x + 3) + + [(z-x +1)(z-x +2)]^2 =
= [(z +1) (z +2)]^2- 4z^3 \engo(9)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/a/31ab792584a30dbdcbaa509689149ce082.png)
.
8.Раскроем только те скобки, которые содержат число z
![$$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) +
+2y (x-y-1) (x-y)(2x-2y-1 ) + [(x-y-1)(x-y) ]^2 +
+ [4zx^3- 4x^4 + 12zx^3 + 18 xz^2 -36zx^2 + 26zx+
+12 x^3 – 26x^2 +12 x ] + [z^4 + 4z^2x^2 +x^4 +9z^2 + 9x^2 + 4 – 4z^3x +
+2z^2x^2 + 6z^3 -6z^2x+ 4z^2 -4zx^3 – 12z^2x + 12zx^2 -8zx +12z – 12x] =
= z^4 + 13z^2 + 4 + 2z^3 +12 z\engo(9^1)$$ $$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) +
+2y (x-y-1) (x-y)(2x-2y-1 ) + [(x-y-1)(x-y) ]^2 +
+ [4zx^3- 4x^4 + 12zx^3 + 18 xz^2 -36zx^2 + 26zx+
+12 x^3 – 26x^2 +12 x ] + [z^4 + 4z^2x^2 +x^4 +9z^2 + 9x^2 + 4 – 4z^3x +
+2z^2x^2 + 6z^3 -6z^2x+ 4z^2 -4zx^3 – 12z^2x + 12zx^2 -8zx +12z – 12x] =
= z^4 + 13z^2 + 4 + 2z^3 +12 z\engo(9^1)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/b/a2bf3d3c40829100cc7e551b06c5756f82.png)
.
9.Сгруппируем подобные слагаемые, содержащие число z, перенося слагаемые правой части в левую часть равенства

![$$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) +
+2y (x-y-1)(x-y)(2x-2y-1 ) + [(x-y-1)(x-y) ]^2 +
+(z ^4 -z ^4) + (6z^3-2z^3) + (9z^2 + 4z^2 -13z^2) + (6z^2x^2 + 4z^2x^2 +
+2z^2x^2) + (18z^2x -6z^2x -12z^2x) + (18zx^2 -36zx^2 + 12zx^2) +(26zx -8zx)
+ (12z -12z) + (4-4)-4z^3x -12x = 0\engo(9^{11})$$ $$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) +
+2y (x-y-1)(x-y)(2x-2y-1 ) + [(x-y-1)(x-y) ]^2 +
+(z ^4 -z ^4) + (6z^3-2z^3) + (9z^2 + 4z^2 -13z^2) + (6z^2x^2 + 4z^2x^2 +
+2z^2x^2) + (18z^2x -6z^2x -12z^2x) + (18zx^2 -36zx^2 + 12zx^2) +(26zx -8zx)
+ (12z -12z) + (4-4)-4z^3x -12x = 0\engo(9^{11})$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/2/b2278b46571f6473204e73c46577acb082.png)
В равенстве

слагаемые (в скобках) в левой части или равны нулю или больше нуля, КРОМЕ двух слагаемых, которые меньше нуля. а именно:

и

Покажем, что для

имеем
12z^2x^2 + (- 4z^3x) + (– 6zx^2) > 0$
В самом деле, так как

, то для удовлетворения условия

минимальное значение числа

, тогда

,
что противоречит равенству

.
-
Пришли к противоречию.