Использование кривизны для поиска асимптот

[Алексей К.]

Справедливости ради следует заметить, что тему попортил и свинтил в сторону я.

В изначальном сообщении темы речь шла об асимптотах плоских кривых. Был взят конкретный частный случай плоской кривой, $y=f(x)$. Формально всё как бы безупречно, кроме странных (традиционных для ТС) апелляций к "элементарности".

Я вот не могу вспомнить, чем было вызвано моё вмешательство, и отчего я сделал эти правки. Они мне сейчас не кажутся как-то обоснованными. Скорее всего, сработали неизгладимые воспоминания о предыдущих темах-на-ту-же-тему.

Shtorm смиренно принял моё вмешательство, оспаривать правки не стал.

Я стал дальше докапываться (ну как бы будучи из предыдущего общения уверенным, что ему до лампочки --- кривая или "физическая" функция). Сейчас вижу (тогдашних побуждений не помню), что я действовал как провокатор.

Тут Вам, Shtorm, следовало отменить мои претензии ссылкой на своё стартовое сообщение: типа "функция выпрыгивания не вписывается в заявленную мной задачу". И всё. Неуверенность в себе не позволила, или непонимание сути? Я склоняюсь ко второму --- ибо далее пошло вычисление кривизны для функции выпрыгивания.

Далее пошло что-то уму непостижимое, мною никак не предвиденное...
Непонимание самого явления кривизны плоской кривой, заявленного в стартовом сообщении, стало очевидно.
Что даже как-то оправдывает мою провокацию, думаю всё же, невольную. Ибо "использовать кривизну", не понимая, что это такое, нельзя.
Или, может быть, можно "использовать нулевую кривизну", не понимая, что такое кривизна ненулевая?

Да, справедливости ради следует заметить, что тему попортил и свинтил в сторону я. К этому выводу я пришёл, думая над ответом на последний вопрос ТС ---

Shtorm в сообщении #1039368 писал(а):

А как же статья Чердак Б. про интегральный признак асимптот с использованием кривизны??

[Shtorm]

Алексей К., да, с нетерпением жду.

[Алексей К.]

Так я ответил.
В той статье речь идёт о плоских кривых, т.е. о дорогах и тропинках. Там кривизна естественна. Видимо, я не понимаю Вашего

Shtorm в сообщении #1039368 писал(а):

А как же?

[INGELRII]

Алексей К.
Признаю свою вину, степень, тяжесть, глубину. Моя оперативная память оказалась меньше 14 страниц. Выходит, я полностью с Вами согласен. Разногласия чисто мнимые.

Shtorm
Как вам такое утверждение: для любых заданных числовых последовательностей $\{x_n\}, \{k_n\}$ существует такая монотонная, убывающая к нулю (то есть с горизонтальной асимптотой) функция, что в точках $x_n$ кривизна ее графика принимает значения $k_n$?

Пример строится элементарно. По-моему, это утверждение ставит крест на всех попытках пристегнуть кривизну к асимптотам.

[grizzly]

INGELRII в сообщении #1039727 писал(а):

Пример строится элементарно.

О, здорово! Я тоже склонен согласиться с утверждением. Но вот пример... Мы как-то выше обсуждали про эти примеры (можете не искать, не суть важно), так вот неэлементарные примеры строятся достаточно просто. Но ТС как раз хотел бы такой пример с элементарной функцией. Я не смог построить. Буду рад посмотреть :)

PS. Лично я никакого особого смысла суживать себя элементарными функциями не вижу, но понимаю, что спортивный интерес тоже не всегда плохая мотивация.

[Shtorm]

INGELRII в сообщении #1039727 писал(а):

Пример строится элементарно.

grizzly в сообщении #1039740 писал(а):

Я не смог построить. Буду рад посмотреть :)

Да, тоже рад посмотреть, но на элементарные функции. Почему я беру элементарные? Потому что в вузовском курсе математического анализа в теме "Полное исследование функций" берём в основном элементарные функции. В моём вузе - так и все преподаватели на всех специальностях так делают.
Я теоретически готов отказаться от заявленного в теме поиска связи кривизны и асимптот, кроме уже сформулированного слабого признака, но хочу рассмотреть ещё некоторые возможности.

-- Чт июл 23, 2015 14:07:48 --

Ну и раз уж такой разговор зашёл, то ткните меня носом в какой-нибудь задачник, где бы нужно было искать кривизну кривой, заданной уравнением с неэлементарными функциями.

[Xaositect]

Так ведь любую достаточно хорошую функцию можно приблизить элементарной.
В нашем случае, пусть гладкая функция $f\colon [0,+\infty)\to\mathbb{R}$ стремится к нулю и график которой имеет в точках $(x_n, f(x_n))$ кривизны $k_n$, при этом первая производная в этих точках равна $0$ (чтобы было проще считать, такое легко устроить). Рассмотрим $f(\tg z)\colon [0,\pi/2)\to\mathbb{R}$ и доопределим ее нулем на правом конце интервала. Получим гладкую функцию на отрезке. Приблизим ее вторую производную по теореме Стоуна-Вейерштрасса с точностью $\varepsilon$ многочленом $p''(z)$, проинтегрируем два раза, сама функция и первая производная тоже будет недалеко от соответствующих многочленов $p(z)$ и $p'(z)$. Арктангенс имеет ограниченные первую и вторую производные, так что кривизна кривой $y = p(\arctg x)$ будет не сильно отличаться от $k_n$, если $k_n$ не слишком маленькое.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1039757 писал(а):

то ткните меня носом в какой-нибудь задачник, где бы нужно было искать кривизну кривой, заданной уравнением с неэлементарными функциями.

Задача N 61 из пока не опубликованного задачника. Дана параметрическая кривая

$$x(t)=\int\limits_0^t\cos(u^2)\,\mathrm{d}u,\quad y(t)=\int\limits_0^t\sin(u^2)\,\mathrm{d}u.\eqno(61)$$

Найти её уравнение в натуре.

-- 23 июл 2015, 15:37:18 --

Или типа $x=\mathrm{Ci}(t),$ $y=\mathrm{Si}(t)$ (интегральный синус/косинус). Там вроде даже асимптота образуется...
(Вставлю под номером 62).

[g______d]

grizzly в сообщении #1039740 писал(а):

О, здорово! Я тоже склонен согласиться с утверждением. Но вот пример... Мы как-то выше обсуждали про эти примеры (можете не искать, не суть важно), так вот неэлементарные примеры строятся достаточно просто. Но ТС как раз хотел бы такой пример с элементарной функцией. Я не смог построить. Буду рад посмотреть :)

Эмм, как насчёт чего-нибудь вроде $\frac{\sin(e^x)}{x^2+1}$?

[grizzly]

g______d в сообщении #1039849 писал(а):

Эмм, как насчёт чего-нибудь вроде $\frac{\sin(e^x)}{x^2+1}$?

С монотонностью проблемы. Без монотонности я какой-то похожий на вид пример уже рисовал выше (даже с куда более жёстким требованием -- чтоб не росла частота осцилляций).

-- 23.07.2015, 16:40 --

Xaositect
Уточните, пожалуйста, Вы уверены, что при приближении нужной функции какими-то другими функциями мы не испортим (локальную) монотонность? Вряд ли существуют такие теоремы аппроксимации (но может я не уловил детали в Вашем рассуждении).

[Xaositect]

grizzly в сообщении #1039860 писал(а):

Уточните, пожалуйста, Вы уверены, что при приближении нужной функции какими-то другими функциями мы не испортим (локальную) монотонность?

Нет, монотонность-то испортится. А вот кривизна в нужных точках испортится не сильно, и стремление к какому-то пределу на бесконечности сохранится. Впрочем, я мог и напутать.

[Алексей К.]

Правильно ли я понимаю, что коллеги строят какую-то функцию типа этой --- \setlength{\unitlength}{0.4pt}$$\begin{picture}(1110,250)(10,30) \put(0,0){\line(1,1){210}}\put(420,0){\line(-1,1){210}} \put(420,0){\line(1,1){105}}\put(630,0){\line(-1,1){105}} \put(630,0){\line(1,1){70}}\put(770,0){\line(-1,1){70}} \put(770,0){\line(1,1){53}}\put(875,0){\line(-1,1){53}} \put(875,0){\line(1,1){41}}\put(959,0){\line(-1,1){41}} \put(959,0){\line(1,1){35}}\put(1029,0){\line(-1,1){35}} \put(1029,0){\line(1,1){30}}\put(1089,0){\line(-1,1){30}} \put(-3,-25){$0$} \put(413,-25){$1$} \put(603,-25){$1{+}\frac12$} \put(724,-25){$1{+}\frac12{+}\frac13$} \put(826,-25){$\ldots{+}\frac14$} \color{blue} \put(0,0){\vector(1,0){1110}} \put(0,0){\vector(0,1){250}} \end{picture},$$
которая имеет асимптотой ось абсцисс, а кривизна графика неустанно прыгает между $\pm\infty$ (через нолик)?
Ну а дальше, для ТС, этот прототип надо как-то "элементаризовать"? Он не элементарен "как по Пискунову"?

Для ТС --- задачка № 105 из того же сборника:
а) В каких точках графика кривизна плюс-бесконечна, а в каких минус-бесконечна?
б) Каковы "точные" значения этих $\pm$ бесконечностей?

-- 23 июл 2015, 21:37:39 --

В ответах нашёл подсказку.

[grizzly]

Алексей К. в сообщении #1039924 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что коллеги строят какую-то функцию типа этой
...

Ваша функция совсем не монотонная; у неё даже частота осцилляций растёт на бесконечности. И Вы правы -- её ещё нужно как-то записать в элементарном виде. Теперь я понимаю, какой ерундой в Вашем представлении эти "коллеги" занимались в той ветке обсуждения вопроса

Вам такие примеры строить неинтересно? А мне интересно -- я когда-то давно считался неплохим мастером в построении всяких примеров. А просто про кривизну я не люблю -- не лежит душа. Неужели мы не можем сосуществовать мирно в одной теме?

[Алексей К.]

grizzly в сообщении #1039931 писал(а):

Вам такие примеры строить неинтересно?

Я сильно обленился и стал пенсионером. Я не могу напрягать моск. Всё, до сих пор мною написанное в теме, этого не требовало: как бы на старых дрожжах.
Я не вник в Ваш пример, т.к. не хотел думать и разбираться.
Я не понял, о какой мотононности (в последних сообщениях) идёт речь.

Я решил всё же попробовать напрячься и построить простой пример того, как график стремится к прямой, а кривизна не стремится. И напомнить другим строителям, что можно из отрезков прямых это лабать.

grizzly в сообщении #1039931 писал(а):

Неужели мы не можем сосуществовать мирно в одной теме?

А что у нас не мирного???
Помню, разок я не согласился с Вашим словоупотреблением, но, bon Dieu, что в этом "не мирного"???

[grizzly]

(Алексей К.)

Алексей К. в сообщении #1039944 писал(а):

А что у нас не мирного???

Нет-нет, что Вы. Мне почудилась нотка пренебрежения в том, что "коллеги" мучаются над таким простым примером :) Но теперь я вижу это под другим углом.

А что касается замечаний по моим ошибкам, они меня редко огорчают -- или радуют или оставляют равнодушными. Правильные тем сильнее радуют, чем лучше я понимаю степень своих заблуждений. А неправильные мешают только если ситуация вынуждает на них реагировать, чего практически не бывает в удалённом общении. Лично Вам я благодарен за то, что не смогу больше сказать "кривизна функции". А раньше мог, хоть Вы меня лично на этом не поймали (пронесло :)