Вопросы по обобщённым функциям

[Alexey1]

Поясните пожалуйста понятие обобщённой функции. По определению обобщённая функция это непрерывный линейный функционал $F: D(Q) \rightarrow R$, то есть берётся тестовая функция из $D(Q)$ и ей в соответствие ставится число. Одним из основных преимуществ обобщённых функций является то, что с их помощью можно дифференцировать функции, которые не дифференцируемы в классическом смысле (например, $f(x)=1, x \geq 0, f(x)=0, x<0$). Возникает несколько вопросов.

1. Производная обобщённой функции $f$ определена как $<f',v>=-<f,v'>$, то есть для вычисления производной как таковой правая часть данного равенства преобразовывается до тех пор, пока не получится $<F(x),v>$, где $F$ и называется производной $f$. Верно?

2. Пусть $f \in C^1(x \leq x_0), f \in C^1(x \geq x_0)$, тогда её производная есть обобщённая функция $F(x)=f'(x)+(f(x_0+0)-f(x_0-0)) \delta(x-x_0)$, где $f'(x), x\neq x_0$ это классическая производная. Что эта обобщённая функция означает? Как понимать это выражение?

[AD]

Alexey1 в сообщении #284701 писал(а):

1. Производная обобщённой функции $f$ определена как $<f',v>=-<f,v'>$, то есть для вычисления производной как таковой правая часть данного равенства преобразовывается до тех пор, пока не получится $<F(x),v>$, где $F$ и называется производной $f$. Верно?

Что-то в этом есть. Ну как, ну я не знаю, что такое "верно" применительно к таким рассуждениям на пальцах. Просто надо найти такую обобщенную функцию $f'$, которая бы удовлетворяла этому равенству. Ни больше ни меньше.

Alexey1 в сообщении #284701 писал(а):

2. Пусть $f \in C^1(x \leq x_0), f \in C^1(x \geq x_0)$, тогда её производная есть обобщённая функция $F(x)=f'(x)+(f(x_0+0)-f(x_0-0)) \delta(x-x_0)$, где $f'(x), x\neq x_0$ это классическая производная. Что эта обобщённая функция означает? Как понимать это выражение?

$\delta$ - это обобщенная функция, действующая по правилу $\langle\delta,v\rangle=v(0)$. Запись $\delta(x)$ абсолютно бессмысленна, но удобна при традиционной чисто-формальной игре в буковки. Когда пишут "обобщенная функция $f$", где $f$ - "обычная" функция, то понимают функционал, действующий по правилу $\langle f,v\rangle=\int_Qf(x)v(x)\,dx$, где интеграл как-то понимается, например, по Лебегу, или как несобственный, или в смысле главного значения. Линейная комбинация обобщенных функций понимается как линейная комбинация функционалов - это вообще тавтология.

P.S. Пишите скобочки красиво! Вот так: $\langle f,v\rangle$

$\langle f,v\rangle$

[Alexey1]

Спасибо большое за ответ. Однако по второму вопросу. Ну например, что за процесс может описываться обобщёнными функциями? Более предметно, возьмём уравнение теплопроводности $u_t-a^2\Delta u=\delta (x,t)$. Какой у этого уравнения смысл? Фундаментальным решением этого уравнения является обобщённая функция $f(x,t)$, такая что в нуле равна $\delta$. Что это за начальные условия такие?

[ewert]

Тривиально -- это впрыск единичного количества энергии в заданной точке в заданный момент времени. Другое дело, что это никак не осмысленно для впрыска именно в нулевой момент времени, поскольку параболические уравнения назад -- не решаются. Но в любой положительный момент -- почему и нет.

[Алексей К.]

$$\begin{picture}(250,80)(10,10) \put(0,0){\vector(1,0){140}}\put(140,0){s} \put(0,0){\vector(0,1){50}}\put(0,50){k} \linethickness{.1pt} \put(60,0){\line(0,1){10}} \put(80,0){\line(0,1){10}} \linethickness{2pt} \put(0,0){\line(1,0){60}} \put(60,10){\line(1,0){20}} \put(80,0){\line(1,0){40}} % \put(200,0){\line(1,0){60}} \put(280,20){\line(0,1){40}} \qbezier(260,0)(280,0)(280,20) \end{picture}$$

Эта кусочно-постоянная функция --- график кривизны $k$ некоторой кривой в зависимости от длины дуги $s$. Пробуем понять, как такая кривая выглядит (понимание нарисовано справа). Сначала кривизна нулевая. Поэтому наша кривая --- прямая. Потом кривизна уже не ноль, но постоянна. Траектория --- окружность радиуса $\dfrac1{k_{max}}$. А потом --- опять прямая.

$$\begin{picture}(250,80)(10,10) \put(0,0){\vector(1,0){140}}\put(140,0){s} \put(0,0){\vector(0,1){50}}\put(0,50){k} \linethickness{.1pt} \color{blue} \put(65,0){\line(0,1){40}} \put(75,0){\line(0,1){40}} \linethickness{2pt} \put(0,0){\line(1,0){65}} \put(65,40){\line(1,0){10}} \put(75,0){\line(1,0){45}} % \put(200,0){\line(1,0){62}} \put(270,8){\line(0,1){40}} \qbezier(262,0)(270,0)(270,8) \end{picture}$$

Синий график и синяя кривая --- похожи, только имульс кривизны посильнее. Но короче. Так что площади под обоими графиками одинаковы (конкретно --- $\rho_0=\int\limits_0^\infty k(s) ds=\frac\pi2$ Именно поэтому кривая повернулась на $90^\circ$!).
Ну, а теперь делаем настоящий импульс кривизны (красненький).
Кстати, если Вы проинтегрируете уравнение $k(s)=\rho_0\delta(s-s_0)$ по $s$, получите $\tau(s)$ --- функцию угла наклона касательной к этой кривой. А проинтегрировавши $\cos\tau(s)$ и $\sin\tau(s)$ получите $x(s),y(s)$ --- параметрическое уравнение нашей красненькой ломаной.

$$\begin{picture}(250,80)(10,10) \put(0,0){\vector(1,0){140}}\put(140,0){s} \put(0,0){\vector(0,1){50}}\put(0,50){k} \linethickness{.2pt} \color{red} \put(70,1){\vector(0,1){100}} \linethickness{2pt} \put(0,0){\line(1,0){69}} \put(71,0){\line(1,0){50}} % \put(200,0){\line(1,0){70}} \put(270,0){\line(0,1){50}} \end{picture}$$

Дальше без меня, наверное. А то я про эти обобщённые функции на самом деле знаю только то, что ребяты здесь на форуме рассказывали, сам с ними дела не имел, и правильные слова не все наизусть выучил.

:upd: Cсылку удалил... :)

[ewert]

Алексей К. в сообщении #285030 писал(а):

А то я про эти обобщённые функции на самом деле знаю только то, что ewert здесь на форуме рассказывал, сам с ними дела не имел,

а я-то уж сам и вовсе их сдал лет тридцать назад, и с тех пор никогда с ними не сталкивался, ну разве что приходилось объяснить кому чего на пальцах, так что уж на кого-кого, но на меня ссылаться -- не надо бы

[Alexey1]

Спасибо за столь подробное объяснение. Так что же тогда получается, что фундаментальное решение уравнения теплопроводности не имеет никакого смысла, так как в начальный момент времени его значение есть $\delta$, так?