Использование кривизны для поиска асимптот

[Xaositect]

Shtorm в сообщении #1039281 писал(а):

Теперь для примера возьмём $y=\sin(x)$. Если мы оцениваем кривизну и её знак для этой кривой в первом квадранте, то используем формулу (1). Если же оцениваем кривизну и её знак во втором квадранте, то берём формулу (2). Что неверно?

То же самое, что и в прошлый раз. Нельзя взять кривую $y = \sin x$. Можно взять кривую $y = \sin x$, ориентированную в положительном по $x$ направлении, и вычислять ее кривизну по первой формуле в любом квадранте, а можно взять кривую $y = \sin x$, ориентированную в отрицательном по $x$ направлении, и вычислять ее кривизну по второй формуле в любом квадранте.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1039281 писал(а):

... в первом квадранте, то используем формулу (1). Если же оцениваем кривизну и её знак во втором квадранте, то берём формулу (2). Что неверно?

Уточните.

Мне известны только именования-номера для 4-х квадрантов, которые были при Брежневе..
График функции $y=\sin x$ попадает во все 4, а не только в первый и второй.
Не имели ли Вы в виду левую и правую полуплоскости?
Ибо, если Вы, например, ограничились отрезком $-\pi\le x \le \pi$, то в этом случае речи идёт о первом и третьем квадрантах. Вы же почему-то говорите только о первом и втором.

Я не исключаю, что при Ельцине или Путине нумерация квадрантов изменилась, но я об этом не знаю.

-- 21 июл 2015, 23:57:05 --

Путаницу с квадрантами проще заменить указанием отрезка $x\in[\ldots]$, на котором Вы рассматриваете свой синус.

-- 22 июл 2015, 00:12:57 --

И вообще, когда Вы идёте по кривой, даже по канонической синусоиде, иксы и игреки могут хоть уменьшаться, хоть увеличиваться.
Но что никогда при этом не уменьшается --- это "время" $t$.

Движение в положительном направлении оси абсцисс подразумевает

$$\begin{cases}x=t+C,\\y=\sin t.\end{cases}$$

ВСЕ формулы, описывающие геометрические характеристики КРИВОЙ, являющейся графиком функции

$$f: x\to y,\eqno{(\texttt{arseniiv!} \text{~зацените!})}$$

МОЛЧА подразумевают такую параметризацию.
Хотите двигаться назад по оси абсцисс ---

$$\begin{cases}x={\color{magenta}-}t+C,\\y=\sin t.\end{cases}$$

Видите --- время растёт, а икс уменьшается! Константу $C$ зачем-то вписал... Никогда раньше не вписывал... Замените нулём! Проигнорируйте! Запутаемся! А я уже больше не смогу отредактировать сообщение!

Закавыченность "времени" понятна?

[Shtorm]

Xaositect, Алексей К. спасибо за подробные объяснения.
Алексей К., конечно же я просто ошибся из-за невнимательности с номерами квадрантов. Конечно я имел ввиду 1 и 3 квадранты. Соответственно интервалы $(0;\pi)$ и ($-\pi;0$). Конечно я не могу сказать, что мне вообще всё в теме понятно. Возможно попозже что-то спрошу.
Про "заковыченность" времени - в качестве параметра может выступать не только время, но и что-то иное.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1039209 писал(а):

Конечно мне хочется сформулировать так, чтобы в признаке присутствовала кривизна

Поймите, наконец, что в формулировке ТАКОГО признака помимо слов

Shtorm в сообщении #1039182 писал(а):

Явная однозначная элементарная вещественнозначная...

Вы будете обязаны написать что-то вроде:

Цитата:

Этот признак непригоден для случая, когда аргумент и значение функции взяты из реальных задач и имеют разные размерности, не дай бог килограммы и секунды, или градусы и Паскали.

Или:

Цитата:

Чтобы воспользоваться моим признаком для случая, когда аргумент и значение функции взяты из реальных задач и имеют разные размерности, следует в выражении для Вашей функции считать ...(сформулируйте сами)... и не бояться складывать квадратные килограммы с квадратными секундами. Всё будет хорошо!

Вы обязаны что-то на эту тему написать! Потому что физики постоянно лазят в "матметоды", и они математику знают, и ни один из них не пропустит $1+(y')^2$, когда бессмысленность этого выражения бросается в глаза.

Почему этого не пишут авторы других утверждений, например, условий экстремума, выпуклости-вогнутости, канонических признаков асимптотичности и рецептов нахождения асимптот? Ну потомучто не могут такие штуки возникнуть в нормально поставленной задаче, и не возникают. Потомучто ни математику, ни образованному заказчику не придёт в голову ставить заведомо дурацкие странные условия типа "чтобы в признаке присутствовала кривизна".

[Shtorm]

Алексей К., да, про неприменимость кривизны для прикладных задач мне всё понятно. Конечно, когда мне только в голову мысль пришла про эту тему и при дальнейшем её написании, я ни разу не сопоставлял эту задачу с какой-то прикладной задачей. Я всегда рассматривал данную задачу только как абстрактную математическую.

-- Ср июл 22, 2015 01:44:51 --

Алексей К. в сообщении #1039318 писал(а):

и ни один из них не пропустит $1+(y')^2$, когда бессмысленность этого выражения бросается в глаза.

Ну тут-то мы разобрались (и вместе с нами наши читатели), что это выражение полностью безразмерное.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1039326 писал(а):

Ну тут-то мы разобрались (и вместе с нами наши читатели), что это выражение полностью безразмерное.

Разобрались все, кроме Вас.
Выражение не безразмерное.
Вы, к сожалению, ничего не поняли.

Shtorm в сообщении #1039326 писал(а):

про неприменимость кривизны для прикладных задач мне всё понятно

Чушь. Вы ничего не поняли.

Shtorm в сообщении #1039326 писал(а):

Я всегда рассматривал данную задачу только как абстрактную математическую.

Вы по-прежнему используете слова, смысла которых не понимаете. И несёте чушь.

Проблема "размерностей" тривиальна, просто про неё забыли в интернетах понаписать. А чуть-чуть думать Вы отказываетесь --- катастрофически? патологически? ещё как-то? типа "это какой-то апофеоз!"

[Shtorm]

Алексей К., если задана кривая $y=f(x)$, то производная $\frac{dy}{dx}$ - безразмерна. Согласны?

[Алексей К.]

Нет, конечно.

У меня икс в метрах, игрек в килограммах! Сколько можно повторять?

Напишите соответвующий текст, и я соглашусь

Цитата:

Чтобы воспользоваться моим признаком для случая, когда аргумент и значение функции взяты из реальных задач и имеют разные размерности, следует в выражении для Вашей функции считать ...(сформулируйте сами)... и не бояться складывать квадратные килограммы с квадратными секундами. Всё будет хорошо!

Вы обязаны что-то на эту тему написать в нормальных терминах! Не придумывать слов "абстрактная задача" --- "прикладная задача".

Вариант Вашего текста:

Цитата:

"Напишите программу на каком-нибудь языке, и там не будет проблем с $1+\dfrac{m^2}{t^2}$. Компилятор не знает, что одно --- масса, другое время, и всё пройдёт без ошибок."

Но только этот или иной текст, понятную инструкцию для пользователя, Вы обязаны написать САМИ.

Очевидно, я не пристаю с этим к человеку, который мне предлагает поискать экстремум в точке, где $y'=0$, но сразу пристану, если он предложит искать что-то вроде $\ln y(x)=0$ или $1+y'=y''$.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1039335 писал(а):

Нет, конечно.

У меня икс в метрах, игрек в килограммах! Сколько можно повторять?

Нет конечно! $x$ в метрах и $y$ в метрах. Причём единичные отрезки по осям одинаковы! По крайней мере у меня - там где я написал, что это выражение безразмерно. Разбирались же.

[Алексей К.]

Для меня, поскольку у меня не метры, Вы инструкцию писать отказываетесь.
Отговорка про единичные отрезки есть отговорка. Бывают граммы и килограммы. Что мне брать на 1 метр?

[Shtorm]

Я там выше в своём сообщении могу метры заменить просто на термин "единица длины" и опять сделаю оговорку, что единичные отрезки по осям одинаковы и опять утверждаю, что $\frac{dy}{dx}$ будет безразмерна. ($x$ в единицах длины и $y$ в единицах длины). Если Вы сейчас не согласитесь с этим, то объясните, почему не согласны.

[Алексей К.]

Ситуация, когда в признаке существования асимптоты должна присутствовать кривизна --- придумалась.
Ситуация, конечно, весьма критическая, но тоже имеет право на существование:
Вот она:

Цитата:

--- Мужик! Ты вроде в МГУ учишься? На мехмате? У меня жена --- ну совсем уже... того... Требует роз синего цвета и рецептов асимптот с применением кривизны. На синие розы я чувачка с биофака вроде сыскал, не можешь с асимптотами помочь?
--- Ерунда! Сколько?

Думаю, с задачей легко (и по-пискуновски) справился бы любой студент брежневской эпохи.
Справился бы по-честному, без шарлатанских заклинаний о "прикладных" и "абстрактно-математических" задачах.
Выписал бы правильные формулы, которыми и физики при нужде могли бы воспользоваться.

Упорное чушеписание со стороны ТС вызывают жуткий протест, но я его постараюсь заглушить и сам напишу, в чём здесь дело. Бодяга эта надоела малость.

Студент сделает замену $x=\alpha\xi$, $y=\beta\eta$, выбрав произвольные (Васины или Машины) масштабные коэффициенты. Так, при неявном задании $F(x,y)=0$ превратится в некое $G(\xi,\eta)=0$. После этого студент будет считать кривизну графика в безразмерных координатах $(\xi,\eta)$ вполне законно. Никаких неприятностей типа $F_x^2+F_y^2$ у него не возникнет.
Он чует, что если задача поиска прямолинейных асимптот разрешима "с применением кривизны", то после выражения $\eta'_{\xi}$ через $y'_x$, или $G'_{\xi}$ через $F'_x$, он получит корректные выражения для кривизны. Скорее всего, приравнивание их к нулю позволит избавиться от произвольных $\alpha$ и $\beta$. И полученные формулы будут безупречны с точки зрения размерностей.

Посмотрите на числитель этой своей формулы, и прикиньте --- не уберутся ли альфа и бета?

А результирующие формулы, ежели таковые появятся, не потребуют от меня-программиста считать глупости вроде $1+y'^2$ или $F_x^2+F_y^2$. Эти формулы будут заодно служить доказательством того, что кривизна на хрен не нужна, но тётке об этом говорить необязательно.

Для тётки-заказчицы будет написан кусочек честного текста "с использованием кривизны". Её не будут обманывать заклинаниями про "абстрактное" и "прикладное", нет нужды.

А если от $\alpha,\beta$ избавиться по-честному не удастся, то... только тогда будет о чём подумать "с применением кривизны".

Большинство студентов заранее осознанно и грамотно игнорируют размерности. Похоже, что ТС'у до этого очень-очень далеко.
Я пытался его направить чуть-чуть в эти размышления, когда предлагал нарисовать график кривизны [единичной] полуокружности, робко в квадратных скобках вставив слово "единичной". Т.е. как бы "безразмерной". Но до этого, понятно, не дошло. С трудом выпрашиваю решения простых поучительных задачек.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1039358 писал(а):

Ситуация, когда в признаке существования асимптоты должна присутствовать кривизна --- придумалась

А как же статья Чердак Б. про интегральный признак асимптот с использованием кривизны??

[INGELRII]

Алексей К.
А вот тут я опять в недоумении. За каким таким каком Вы настойчиво требуете определения кривизны графика зависимости физических параметров разной размерности? Меня вот это тоже вводит в ступор. Одно дело, когда мы берем траекторию движения тела, оси икс-игрек и строим зависимость $y(x)$. Тут смысл выражения "кривизна" очевиден и содержателен.

Другое дело, если я с сестрой ем на спор конфеты, кто больше. И строю график зависимости массы ее тела от массы своего тела. То есть по иксу килограммы, по игреку килограммы. Там формально при нахождении кривизны килограммы сократятся. Но для меня велика тайна, на кой леший в такой физической зависимости кривизна может занадобиться.

И совсем третье дело, если я одновременно с поеданием конфет шагаю по направлению к Пекину и строю график зависимости своей массы от пройденного расстояния. Вы упорно утверждаете, что кривизну графика можно найти и тут! И эта кривизна будет являться при этом содержательным понятием! Вот этот момент лично я тоже не понимаю.

Объясните, пожалуйста - как? Зачем? (Если Вы очень хотите, чтобы наш общий друг пришел к этой мысли самостоятельно, и не хотите писать это прямым текстом здесь, то напишите мне в личку. Но только прямым текстом, без намеков, ибо намеков я не пойму. Будьте так добры...) Просто до сих пор я вроде бы (именно вроде бы) четко понимал, что Вы говорите, и при этом был согласен. Но вот вы спрашиваете: как найти кривизну функции килограммов от метров. Shtorm отвечает: никак. И я тут могу только присоединиться к его ответу.

[Алексей К.]

INGELRII, я понимаю что 14 страниц "освоить" тяжело, но Вы выступаете тут моим единомышленником.

Вы, чтобы убедить меня в бессмысленности такой кривизны, взяли чудную функцию поедания конфет при прогулке по Пекину.
Я, чтобы убедить ТС в бессмысленности такой кривизны, взял плохую функцию выпрыгивания с 4-го этаже (за что был справедливо упрекнут).

INGELRII в сообщении #1039405 писал(а):

Вы упорно утверждаете, что кривизну графика можно найти и тут! И эта кривизна будет являться при этом содержательным понятием!

Я упорно утверждаю, что кривизна такого графика --- бессмысленна! А уж если кому-то такая кривизна приспичила, то делать её нужно грамотно, выяснив в первую очередь у Васи/Маши, как именно этот график рисовался!

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Кривизна графика функции оказывается зависящей не только от системы единиц, но и множества других, столь же нематематических обстоятельств.
Кривизна графика функции настолько неинтересна, что нельзя тратить столько ресурсов на её обсуждение.

Она так же бессмысленна как, например,

Алексей К. в сообщении #1037867 писал(а):

углы треугольника со сторонами $a=3\text{ часа,}$ $b=4\text{ метра,}$ $c=5.$

Я старательно подводил ТС к выводу о том, что его задача (асимптотическое поведение чего-то) вполне может быть "размерной".
Увидев выражение $1+(y')^2$, надо зацепиться за него, искать неточность в рассуждениях и ошибку в формулах. Надо радоваться, что можно привлечь размерности, т.к. они в этом сильно помогают.

У него какой-то другой подход к этому.
Он готов тупо без всяких на то оснований наделить единицу требуемой размерностью, лишь бы критиканы его великой затеи отстали.
Не отстали --- объявим задачу "абстрактно-математической", чтобы с размерностями вообще не приставали.

Моё как бы требование написать инструкцию пользователям "будущего признака" также имело целью продемонстрировать глупость затеи через глупость получившейся инструкции. (Он её, естественно, не написал; вякнул что-то для меня и для тех, кто читал тему, а не для пользователей; ну, он прекрасно понимает, что здешние зануды только и норовят помешать ему совершить великие открытия написать потрясающе новую методичку для студентов. А нормальные пользователи будут действовать как и он, не думать о ерунде).

Уже в который раз в этой теме у меня сгорает ужин.
INGELRII, остались неясности?

-- 22 июл 2015, 23:35:50 --

INGELRII в сообщении #1039405 писал(а):

Но вот вы спрашиваете: как найти кривизну функции килограммов от метров. Shtorm отвечает: никак. И я тут могу только присоединиться к его ответу.

Да, я спрашивал. Думал, поищет --- поймёт. Нет! Он её преспокойно нашёл!
Я ему говорю, что это глупость, а он упорно находит ищет способы оправдания этой глупости.