Обобщение производной

[Oleg Zubelevich]

Дифференциальное счисление функций многих переменных это часть курса анализа. Эту часть надо просто освоить по стандартным учебникам, а не заниматься фигней.

[Anton_Peplov]

Oleg Zubelevich в сообщении #1037107 писал(а):

Эту часть надо просто освоить по стандартным учебникам, а не заниматься фигней.

Я старательно прочел стандартный учебник Ильина и Позняка, заглядывал также в не менее стандартный учебник Фихтенгольца. Как мне это помогло, Вы можете наблюдать воочию. Возможно, этот факт говорит о моей, скажем деликатно, малой способности к математическому анализу (хотя с функциями одной переменной таких проблем не возникало). Для меня заниматься "фигней" с выяснением так называемого физического смысла - способ освоить материал. Возможно, у меня голова как-то не так устроена, но это единственная моя голова, других в тот момент не было на складе.

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, пусть у нас есть гладкая функция двух переменных $f(t,x)$ и еще гладкая функция скалярного аргумента $x(t)$. Считаем приращения

$$f(t+h_t, x+h_x)=f(t,x)+\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)h_t+\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)h_x+\psi(t,x,h_t,h_x)(|h_x|+|h_t|)$$

где $\psi\to 0$ при $|h_x|+|h_t|\to 0$
и $x(t+h)=x(t)+\dot x(t)h+\alpha(t,h)h,\quad \alpha\to 0$ при $h\to 0$

Вычисляйте: $f(t+h,x(t+h))=f(t+h, x(t)+\dot x(t)h+\alpha(t,h)h)=$

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1037138 писал(а):

Я старательно прочел стандартный учебник Ильина и Позняка, заглядывал также в не менее стандартный учебник Фихтенгольца.

У Ильина-Позняка главу 14 § 4 тщательно прочитали? Всё поняли? Запишите производную от сложной функции $u=f(x,y),$ где $x=a(t),\quad y=b(t).$

Потом производную от сложной функции $u=f(x,y,z),$ где $x=t,\quad y=b(t),\quad z=c(t).$

У Фихтенгольца, соответственно, глава 5 § 3 п. 181.

[arseniiv]

Забыли дописать,что в обоих случаях по $t$, хотя это, конечно, по содержанию примера и без меня видно, т. к. больше не по чему будет.

Anton_Peplov в сообщении #1037138 писал(а):

Возможно, этот факт говорит о моей, скажем деликатно, малой способности к математическому анализу

Вы же понимаете, что это неправда.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1037175 писал(а):

У Ильина-Позняка главу 14 § 4 тщательно прочитали? Всё поняли?

Пусть функции $x = a(t)$ и $y = b(t)$ дифференцируемы в точке $t_0$, а функция $z = f(x, y)$ дифференцируема в точке $(x_0, y_0)$, где $x_0 = a(t_0)$ и $y_0 = b(t_0)$. Тогда производная $\frac{df}{dt}$ в точке $t_0$ находится по формуле

$$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} $$

о. Павел Флоренский писал(а):

Верую, Господи! А теперь я попытаюсь понять то, во что я верую.

Придадим в точке $t_0$ переменной $t$ приращение $\Delta t$. Тем самым мы придадим функциям $x = a(t)$ и $y = b(t)$ приращения $\Delta x$ и $\Delta y$, которые по условию дифференцируемости будут равны:

$$ \Delta x = \frac{dx}{dt}\Delta t + o_x(\Delta t) $$

$$ \Delta y = \frac{dy}{dt}\Delta t + o_y(\Delta t) $$

В свою очередь, приращениям $\Delta x$ и $\Delta y$ отвечает приращение $\Delta f$, которое, опять же по условию дифференцируемости, равно

$$ \Delta f = \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y + o_f(\Delta x, \Delta y) $$

Подставляя первые два уравнения в третье, мы обнаруживаем, что

$$ \Delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}\Delta t + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}\Delta t + o(\Delta t) $$

Теорема доказана.

-- 15.07.2015, 14:40 --

Munin в сообщении #1037175 писал(а):

Потом производную от сложной функции $u=f(x,y,z),$ где $x=t,\quad y=b(t),\quad z=c(t).$

Записываю. По общей формуле, с учетом $x = t$,

$$ \frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dy}{d t} + \frac{\partial u}{\partial z} \frac{dz}{dt} $$

[Munin]

Отлично. А теперь, в последнем примере, можно переименовать переменную $x$ в $t,$ и вы получите полную производную.

[Anton_Peplov]

antimonit в сообщении #1037420 писал(а):

Ну а наглядный пример для стартового случая Вы придумали- то? С объяснением смысла слагаемых или наглядный смысл Вас больше не интересует?

Еще как интересует. Собственно, именно он меня и интересует. Просто помогающий мне уважаемый Munin проэкзаменовал меня на знание математически точной стороны вопроса. А я не в том положении, чтобы кочевряжиться.

Ну а теперь, когда мы выяснили, что формулы я знаю и даже понимаю, откуда они берутся, можем мы перейти к наглядной интерпретации? Вот уважаемый antimonit приводил пример:

antimonit в сообщении #1037125 писал(а):

Представьте, что одномерный стержень с распределенной плотностью плывет вдоль оси у и Вы меряете его плотность, причём плотность самого стержня меняется со временем.

Munin, как Ваше мнение, удобен ли этот пример или нужно подобрать что-то другое?

[Viktor92]

Почитал тему, заметил с геометрической точки зрения вопрос никто не рассмотрел, а я думаю он удобен и даже забегая вперёд, можно подойти к пониманию градиента, только необходимы элементарные знания из аналитической геометрии (АГ).
Рассмотрим всё на примере функции двух переменных $z=f(x,y)$. Во-первых частную производную с геометрической точки зрения можно понимать и как обычную производную, т.е. частные производные $\frac {\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ это суть тангенс угла наклона касательной к кривой, получающейся при сечении поверхности $z=f(x,y)$ плоскостями $x=const, y=const$ в некоторой точке $(x_0,y_0)$, в которой ищем частные производные.
Далее из АГ известно каноническое уравнение прямой $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac {y-y_0} {a_2}=\frac {z-z_0}{a_3}$, где $a_1,a_2,a_3$ координаты направляющего вектора этой прямой. Для частной производной $\frac {\partial f}{\partial x}$ запишем уравнение касательной имеющей данные угловой коэффициент, т.к. координата направляющего вектора вдоль оси $Y$ равна 0 следовательно $a_2=0$, а угол наклона этого направляющего вектора к оси $X$ есть $\frac {\partial f}{\partial x}=\frac{a_3}{a_1}$, и из канонического уравнения получим уравнение касательной в виде $\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {z-z_0}{x-x_0} $, его лучше переписать в виде приводя подобные слагаемые $z-\frac {\partial f}{\partial x}x+(\frac {\partial f}{\partial x}x_0-z_0)$, где $z_0=f(x_0,y_0)$, это уравнение соответствует уравнению прямой вида$Ax+By+C=0$, из АГ известно что направляющий вектор такой прямой имеет координаты $(-B,A)$, т.о. координаты направляющего вектора нашей касательной$(\frac {\partial f}{\partial x},0,1)$, здесь мы учли что вдоль оси$Y$ координата направляющего вектора равна 0. Теми же рассуждениями находим направляющий вектор другой касательной для $\frac {\partial f}{\partial y}$ он будет $(0,\frac {\partial f}{\partial y},1)$. Найдём нормаль к двум нашим скрещивающимся касательным, т.е. нормаль к соприкасающейся плоскости в точке $(x_0,y_0)$, её компоненты находятся как векторное произведение направляющих векторов касательной

$$\begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac {\partial f}{\partial x} & 0 & 1 \\ 0 & \frac {\partial f}{\partial y} & 1 \end{vmatrix}$$

Получаем компоненты нормали $(\frac {\partial f}{\partial x},\frac {\partial f}{\partial y},-\frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial f}{\partial x})$
Теперь используя каноническое уравнение прямой можно записать уравнение нормали

$$\frac{x-x_0}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\frac{y-y-0}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-\frac{z-z_0}{\frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial f}{\partial x}}$$

, разделим всё это дело на $(-\frac {\partial f}{\partial y}\frac {\partial f}{\partial x})$, получим

$$\frac{x-x_0}{-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial x}}}=\frac{y-y_0}{-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial y}}}=\frac{z-z_0}{1}$$

.
А теперь посмотрим с другой стороны, представим нашу поверхность - поверхностью уроня некоторого скалярного поля тождественно равного нулю, т.е. $C=F(x,y,z)=z-f(x,y)$ Найдём градиент этого поля

$$\nabla C=-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial x}}i-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial y}}j+1k$$

и по определению этот вектор направлен по нормали,что мы уже доказали, т.к. используя каноническое уравнение прямой получим то же уравнения нормали, что получили выкладками выше. Чтож, надеюсь чем то помог в понимании, заодно и сам АГ вспомнил

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #1037469 писал(а):

Во-первых частную производную с геометрической точки зрения можно понимать и как обычную производную

Так её ведь и вообще можно понимать как обычную: пусть $f^*(x)(y) = f(x,y)$, тогда

$$f'_2(x,y) = (f^*(x))'(y).$$

Или даже лучше, что будет отражать геометрическое описание, пусть $s(x)(y) = (x,y)$, тогда

$$f'_2(x,y) = (f\circ s(x))'(y),$$

хотя самым лучшим будет всё-таки сначала определить производную Фреше, а потом $f'_i(\mathbf r) = (f'(\mathbf r), \mathbf e_i)$.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1037447 писал(а):

Просто помогающий мне уважаемый Munin проэкзаменовал меня на знание математически точной стороны вопроса

Вообще-то цель была другая: навести на понимание. Вижу, что она не достигнута.

Anton_Peplov в сообщении #1037447 писал(а):

Ну а теперь, когда мы выяснили, что формулы я знаю и даже понимаю, откуда они берутся, можем мы перейти к наглядной интерпретации?..
Munin, как Ваше мнение, удобен ли этот пример или нужно подобрать что-то другое?

Я вам указал наглядную интерпретацию, но раз она вам оказалась не нужна, то умолкаю.

[Anton_Peplov]

Что ж, я понимаю, как утомительно со мной возиться на протяжении четырех страниц. Дайте, тогда, пожалуйста, ответ на простой вопрос. Ответ односложный: да или нет.

Пусть есть запаянный сосуд с жидкостью. Жидкость из него не выливается и в него не вливается, потому что он запаян. А вот внутри могут быть всякие течения - допустим, там стоят насосы, или сосуд снаружи пинают ногами, или еще что-нибудь.
Распределение плотности жидкости по точкам сосуда задается функцией $\rho (x, y, z, t)$.

Допустим теперь, что в точке $M_0 = (x_0, y_0, z_0)$ в любой момент времени выполнено условие $\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0$. Я понимаю так, что в точку $M_0$ втекает столько же жидкости, сколько и вытекает из нее. Вопрос: это верно или неверно?

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1037682 писал(а):

Допустим теперь, что в точке $M_0 = (x_0, y_0, z_0)$ в любой момент времени выполнено условие $\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0$. Я понимаю так, что в точку $M_0$ втекает столько же жидкости, сколько и вытекает из нее. Вопрос: это верно или неверно?

Верно.

Само по себе это условие говорит о том, что жидкость в точке не накапливается (не уплотняется), и не тратится (не разуплотняется).

По условию непрерывности, это одновременно означает условие $\operatorname{div}\vec{\jmath}=0.$ А вот это условие как раз говорит, что в пространстве потоки устроены так, что сколько втекает в точку, столько и вытекает.

[Anton_Peplov]

Да, это я и имел в виду.
Спасибо.