Как из 2-х спинов по z получается спин по x?

[Muha_]

Пытаюсь самостоятельно вникнуть в основы квантовой механики.

Берем частицу со спином $1/2$. Пусть ее спин находится в собственном состоянии, соответствующем пространственному направлению по оси $x$. Направляем частицу в прибор Штерна-Герлаха, измеряющий спин по оси $z$. На выходе получаем два пучка частиц $|A\rangle$ и $|B\rangle$. Векторы состояния $|A\rangle$ и $|B\rangle$ ортогональны. Пространственное направление спина для этих пучков будет $|A\rangle$ - по оси $z$, $|B\rangle$ - по оси $-z$.
Не выполняя измерений объединяем пучки снова. Получаем опять исходную частицу с направлением спина по оси $x$.
Вектор $|A\rangle$ описывает физически симметричное относительно оси $z$ состояние. Вектор $|B\rangle$ - то же.
Слияние этих двух состояний в конечной точке тоже выглядит как симметричный относительно $z$ процесс.
Но суперпозиция состояний дает не симметричное относительно $z$ состояние (спин направлен по $x$).
Как природа этого противоречия? Как из двух симметричных по $z$ систем получилась одна несимметричная?

Варианты ответа:
1. Я где-то ошибся в своих рассуждениях про векторы и оси.
2. Неверно применяется понятие "вектор состояния" или принцип суперпозиции.
3. Все верно, но состояниям $|A\rangle$ и $|B\rangle$ нельзя придавать атрибуты реально существующих систем т.к. над ними не выполняется измерение. Начальная асимметрия относительно $z$ описана в начальном векторе состояний. Дальше, она переносится сразу в конечную точку математическим аппаратом. Промежуточные векторы состояний нельзя рассматривать как описание неких реально существующих физических систем.
4. Вектор состояния, описывающий систему, физически симметричную по оси $z$ все таки имеет некое еще одно неявно заданное преимущественное направление.

Естественно, я слоняюсь к пункту 3.
Но если объяснение - пункт 3, тогда есть еще один мысленный опыт.
Берем частицу, со спином, направленным по $z$. Дальше, пусть она проходит через 2 отверстия и снова соединяется сама с собой.
Пусть в одном отверстии установлен некое устройство, разворачивающее спин в пространстве вокруг оси $x$ на угол $\pi$ (не уверен, что это осуществимо, но тогда почему нет?).
Вроде как, в этом случае на выходе должно получиться состояние суперпозиции спина по $z$ и спина по $-z$.
Итоговый вектор состояния должен соответствовать какому-то конкретному пространственному направлению. Но какому?
В этом случае система симметрична по $z$ в каждый момент и никакого приоритета у других возможных направлений нет. Или важно, что поворот был именно вокруг оси $x$ а не $y$? Пока я не готов сам посчитать, есть ли разница в результате этих поворотов. Если есть, то это физически очень странно. Или я что-то понимаю неправильно?

[EvilPhysicist]

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

Берем частицу со спином 1/2. Пусть ее спин направлен по оси X

Ух как вы ловко так это сделали. Я вот на сколько помню проекции спина не коммутируют, а значит и частица не может быть в состоянии, где у нее определены сразу две проекции спина. Поэтому если вы говорите, что "спин направлен вдоль оси", то это значит что вы фиксируете $\langle S_y\rangle = \langle S_z \rangle =0$. Так что что-то тут не то.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Muha_]

EvilPhysicist в сообщении #1036822 писал(а):

Ух как вы ловко так это сделали. Я вот на сколько помню проекции спина не коммутируют, а значит и частица не может быть в состоянии, где у нее определены сразу две проекции спина. Поэтому если вы говорите, что "спин направлен вдоль оси", то это значит что вы фиксируете $\langle S_y\rangle = \langle S_z \rangle =0$. Так что что-то тут не то.

Вероятно я неверно использую терминологию. Допустим, с частицей сделали нечто, после чего она находится в собственном состоянии, в котором результат измерения спина по оси $x$ всегда 1. Такое состояние я и имел ввиду, когда сказал о пространственном направлении спина.

[amon]

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

Не выполняя измерений объединяем пучки снова. Получаем опять исходную частицу с направлением спина по оси $x$.

Это как? У Вас была одна частица со спином вдоль $X$. Вы измерили проекцию ее спина на ось $Z$. Внимание - вопрос! Сколько стало частиц?

[Muha_]

Я неправильно выразился. Прибор измерил бы спин, если бы не обратное объединение пучков. А так, у частицы есть два пути, ко которым она может пройти, но измерения спина прибор не выполняет.

[Muha_]

Собственно, вот картинка из лекций Фейнмана, на которой изображен подобный опыт, только с частицами со спином 1:

[EvilPhysicist]

Muha_ в сообщении #1036856 писал(а):

Допустим, с частицей сделали нечто, после чего она находится в собственном состоянии, в котором результат измерения спина по оси $x$ всегда 1. Такое состояние я и имел ввиду, когда сказал о пространственном направлении спина.

Вы, надеюсь понимаете, что с такого рода требованиями необходимо быть крайне аккуратными. Потому что в КМ все имеет вероятностный характер. Если вы говорите про собственные состояния какого-то оператора, то там еще можно апеллировать к тому, что дисперсия получится нулевая. Но в общем случае вы можете получить только статистические характеристики того, что вы намеряете.

Таким образом, у вас есть шайтан-коробка, которая стреляет частицами со спином 1/2, у которых проекция спина на ось х всегда 1/2. То есть вот такими частицами $| S=1/2, S_x=1/2 \rangle$. Дальше

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

Направляем частицу в прибор Штерна-Герлаха, измеряющий спин по оси $z$

Ну и замечательно, можно сразу взять и посчитать что нам прибор намерит: $\langle S=1/2, S_x=1/2 | \hat S_z | S=1/2, S_x=1/2 \rangle$. Чтобы не усложнять возьмем в качестве операторов спина матрицы Паули $\hat S_k = 1/2 \sigma_k$ и будем работать со спинорами $\psi=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$. Не трудно проверить, что в таком представлении $|S=1/2, S_x=1/2\rangle = \cfrac12 \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$. Ну а дальше берем и считаем среднее $\langle S_z\rangle =0$ и дисперсию $(\langle \langle S_z \rangle - S_z \rangle)^2 = 1/2$. Собственно и получаем предсказуемый ответ: машина будет фиксировать равное количество частиц со спином вверх и вниз.

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

Я где-то ошибся в своих рассуждениях про векторы и оси.

Да, здесь ваша ошибка. Надо помнить, что раз вы в квантах, то направить спин вы не можете в принципе -- про это я уже писал. Максимум что вы можете -- требовать, чтобы частица была в собственном состоянии для какой-либо его проекции.

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

Неверно применяется понятие "вектор состояния" или принцип суперпозиции.

Тут тоже ошибка, связанная еще и с первым пунктом. Вы говорите, что

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

Но суперпозиция состояний дает не симметричное относительно $z$ состояние (спин направлен по $x$).

Но это не так. Спин не направлен по оси $x$, а значит и суперпозиция будет симметричной по оси $z$.

[Muha_]

EvilPhysicist в сообщении #1036896 писал(а):

Собственно и получаем предсказуемый ответ: машина будет фиксировать равное количество частиц со спином вверх и вниз

Да, это понятно. Как рассчитать результат опыта над частицей и как пользоваться матрицами Паули я представляю.
Но, как я сказал, прибор не должен выполнять измерений. Он должен объединять пучок частиц обратно, как это описано в лекциях Фейнмана (добавил картинку).

EvilPhysicist в сообщении #1036896 писал(а):

Но это не так. Спин не направлен по оси $x$, а значит и суперпозиция будет симметричной по оси $z$.

Как так? Если прибор разделил частицу, а потом объединил обратно, вектор состояния частицы не должен измениться.

Пока частица находится в разделенном состоянии в приборе она описывается двумя ортогональными векторами состояния. Каждый из этих векторов описывает систему, симметричную по $z$. Но когда эти две системы соединяются, возникает асимметрия. Это странно. Мое объяснение этой странности я привел (пункт 3). Насколько корректно мое объяснение? Есть ли объяснение получше? Как быть со вторым опытом?

[EvilPhysicist]

Muha_ в сообщении #1036899 писал(а):

Пока частица находится в разделенном состоянии в приборе она описывается двумя ортогональными векторами состояния.

Не так. Вы изначально берете состояния $| S=1/2, S_x = 1/2 \rangle$. Из них выделить состояния со спином вверх и вниз нельзя. Состояние с определенной по оси $x$ проекцией спина будет суперпозицией состояний с определенной проекцией по оси $z$. Если уж вы говорите, что знаете как работать с матрицами Паули, то проверьте сами, что $| S_x=1/2 \rangle = | S_z=1/2 \rangle - | S_z=-1/2 \rangle$.

В начале вы стреляете частицами $|S_x=1/2\rangle$ и их состояние симметрично по оси $z$.

Когда вы их кидаете в прибор, разделяющий их по проекции спина на ось $z$ вы теряете уже не работаете с состояниями у которых определена проекция на ось $x$. Ваш прибор про ось $x$ не знает, поэтому информация и теряется.

А когда вы разделенные пучки собираете вместе, то восстанавливаете исходную волновую функцию системы. А система исходно про ось $z$ не знала. Так что волновая функция остается симметричной по оси $z$.

Muha_ в сообщении #1036899 писал(а):

Пока частица находится в разделенном состоянии в приборе она описывается двумя ортогональными векторами состояния. Каждый из этих векторов описывает систему, симметричную по $z$. Но когда эти две системы соединяются, возникает асимметрия. Это странно.

Это не странно, а не правильно. Как только вам прибор разделил частицы по проекции спина на ось $z$ возникла ассиметрия по оси $z$. Как только соединили разделенные пучки -- ассимтерия пропала.

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

состояниям $|A\rangle$ и $|B\rangle$ нельзя придавать атрибуты реально существующих систем т.к. над ними не выполняется измерение

Не выполнив измерение вы не узнаете проекцию спина. Поэтому измерения все-равно должны происходить.

Muha_ в сообщении #1036818 писал(а):

Начальная асимметрия относительно $z$ описана в начальном векторе состояний.

В начальном векторе состояний ассиметрии нет. Посчитайте сами.

[Muha_]

EvilPhysicist в сообщении #1036903 писал(а):

Не так. Вы изначально берете состояния $| S=1/2, S_x = 1/2 \rangle$. Из них выделить состояния со спином вверх и вниз нельзя. Состояние с определенной по оси $x$ проекцией спина будет суперпозицией состояний с определенной проекцией по оси $z$. Если уж вы говорите, что знаете как работать с матрицами Паули, то проверьте сами, что $| S_x=1/2 \rangle = | S_z=1/2 \rangle - | S_z=-1/2 \rangle$.

Не уверено, что все понял правильно. "вверх" и "вниз" - это по $z$? Вы говорите "выделить нельзя" и дальше записываете понятное мне выражение, в котором спин по $x$ представлен суперпозицией состояний со спинами по $z$. Именно это разделение я имел ввиду.

EvilPhysicist в сообщении #1036903 писал(а):

В начале вы стреляете частицами $|S_x=1/2\rangle$ и их состояние симметрично по оси $z$.

Возможно проблема в понимании что такое "симметрия по оси $z$". В каком смысле состояния $|S_x=1/2\rangle$ симметричны по оси $z$?
Если установить прибор по оси $z$ и поворачивать его относительно этой оси, то тогда результаты измерений действительно не будут зависеть от угла поворота. Видимо на основании этого Вы говорите о симметрии по $z$. Правильно ли я Вас понял?
Но с другой стороны, если этот же прибор установить по оси $x$ и снова поворачивать вокруг оси $z$, то результат уже будет зависеть от угла поворота. На этом основании я говорю, что осевой симметрии относительно $z$ система, описанная вектором $| S_x=1/2 \rangle$ не имеет.
Именно этот тип асимметрии меня интересует при постановке вопросов в исходном сообщении.

[Muha_]

Подумал насчет второго эксперимента с переворотом спина. Получается, что направление спина с конечном состоянии действительно определяется тем, вокруг какой оси повернули частицу ($x$ или $y$). Отсюда и возникает асимметрия. И ничего физически странного тут нет так как если переворачивать обычный волчок, результат будет тем же: разность фаз с исходным состоянием будет зависеть от оси относительно которой был поворот.
Т.е. у меня все сходится. Единственное опасение - что я рассуждаю в рамках какой-то своей квантовой механики, а не настоящей. Поэтому и задаю вопросы.

[amon]

А давайте мы Вашу задачку чутка переформулируем, что бы ее решать удобнее было. Есть у нас не заряженная не релятивистская частица со спином 1/2 (что-то вроде нейтрона, правда настоящий нейтрон чуть хитрее устроен), взаимодействующая с магнитным полем через свой внутренний магнитный момент. Тогда гамильтониан этой частицы в магнитном поле будет

$$ \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2}I + g(\mathbf{\sigma}\mathbf{B}) $$

(Всякие $m$ и $\hbar$ для простоты считаем единицами, $I$ - единичная матрица 2$\times$2). Запустим в пространство частицу с фиксированным импульсом и спином, и, вместо того, что бы гонять ее через через магнит, просто включим и выключим однородное магнитное поле во всем пространстве ($\mathbf{B}=(B_x(t),0,0)$ к примеру). Тогда, как мне кажется, Вы эту задачу можете решить, сиречь, найти как меняется спин частицы со временем. Для этого надо решить уравнение

$$ i\frac{\partial\psi(t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(t)\quad(*) $$

с начальным условием $\psi(0)=\psi_0$. Удобно эту задачку решать в $p$-представлении, тогда (*) превратится в обыкновенное дифференциальное уравнение, и мы наконец узнаем, что же происходит на самом деле ;)

[Muha_]

До подобных задач я еще не дочитал. Суть примерно понятна, но только в общих чертах. Прежде чем решать уравнения я хотел убедиться, что правильно понимаю что такое векторы состояния, их суперпозиция и как весь этот аппарат привязывается к физической реальности. Гораздо легче изучать уравнения уже представляя для описания чего они созданы, чем изучать уравнения и пытаться на основе их поведения понять что же они вообще описывают.