Как из 2-х спинов по z получается спин по x?

[amon]

Muha_ в сообщении #1037010 писал(а):

До подобных задач я еще не дочитал.

Тогда давайте вместе. Эволюция волновой функции определяется уравнением Шредингера, зависящим от времени. Поэтому, если мы возьмем Ваше состояние (собственное состояние оператора спина, имеющее $S_x=\frac{1}{2}$) в качестве начального, то мы узнаем все, что происходило со спином. Волновую функцию будем считать зависящей не от координаты, а от импульса, тогда оператор $\hat{p}$ станет просто оператором умножения на $p$, $\psi=\psi(p)$. Пусть для начала поле $B$ направлено вдоль оси $Z,$ тогда (*) будет выглядеть так:

$$ \begin{align} i\frac{d\psi_1(p,t)}{dt}&=\frac{p^2}{2}\psi_1(p,t)+gB\psi_1(p,t)\\ i\frac{d\psi_2(p,t)}{dt}&=\frac{p^2}{2}\psi_2(p,t)-gB\psi_2(p,t). \end{align} $$

Вы такое дифференциальное уравнение решить можете ($p$-просто число, на него особого внимания не надо обращать)?
Добавлено
!!! Поправил перевранный мной знак при $B$ во втором уравнении.

[Munin]

EvilPhysicist
amon
Пожалуйста, придерживайтесь ФЛФ-8 и заданного им уровня, ТС явно не имеет столь глубоких знаний (и по общим принципам, и по формализму), к которым вы апеллируете.

[Muha_]

Вроде получается $\psi=\begin{pmatrix}e^{-it(p^2/2+gB)}\\e^{-it(p^2/2+gB)}\end{pmatrix}$.
Почему-то не нормирован. Может так и должно быть. Разделим на 2.
Теперь вычислять, как средние изменяются по $x$ и по $z$? Получил 0 по $z$ и 1 по $x$. Странно, ничего не осцилирует. Может где-то запутался.

-- 15.07.2015, 00:05 --

Уровень - первое прочтение теоретического минимума по КМ Сасскинда. Там почти ничего нет про суперпозицию, поэтому начались неувязки в воображении. В лекциях Фейнмана, напротив, векторы состояния трудно усматривать за количеством чисто алгебраических выкладок. Ищу хоть какой-то верификации от живого человека.

Худо-бедно я следил за руками amon.
Берем уравнение Паули (час назад узнал о его существовании). Выкидываем из него все что касается заряда. Получаем некую упрощенную версию.
Полученный оператор подставляем в уравнение Шредингера, чтобы найти функцию изменения во времени 2-х коэффициентов вектора состояния.
Дальше, т.к. оператор импульса - это производные по x, все будет сложно. Чтобы все стало проще будем искать функцию от самого импульса.
Тогда оператор сводится просто к умножению. Импульс вообще, должен меняться, поэтому смысл этого трюка понятен смутно.

[Munin]

Muha_ в сообщении #1037121 писал(а):

Почему-то не нормирован. Может так и должно быть. Разделим на 2.

И чё, вы думаете, после этого он станет нормирован? :-)

[Muha_]

А, произведение с самим собой равно 1.
Значит на $\sqrt2$.

[amon]

Muha_ в сообщении #1037121 писал(а):

Вроде получается

Ай молодца! Давайте теперь ошибки исправим мои и Ваши. Я соврал в уравнении (член $B\sigma_z$ дает минус во втором уравнении), а решение уравнения выглядит так:

$$ \begin{align} \psi_1&=\psi_1^{(0)}\exp\left(-i\left(p^2t+\int\limits_{0}^{t}B(\tau)d\tau\right)\right)\\ \psi_2&=\psi_2^{(0)}\exp\left(-i\left(p^2t-\int\limits_{0}^{t}B(\tau)d\tau\right)\right). \end{align} $$

$\psi_{1,2}$ это первая, вторая компоненты спинора, $\psi_{1,2}^{(0)}$ - их значения в момент $t=0$, а $B$ мы договорились считать зависящим от времени. Давайте теперь рассматривать разные случаи. Я подскажу, а дальше, глядишь, сами справитесь.
1. Пусть в момент $T<t$ поле выключили ($B=0$ для $t>T$), и $\int\limits_{0}^{T}B(\tau)d\tau=\pi$ что получится для начального состояния "спин вдоль $x$"?

[peregoudov]

Ответ 1. А ошибка ваша в том, что состояния с определенной проекцией спина на направление оси z не являются на самом деле "симметричными относительно z": при повороте вокруг z на угол $ \phi $ волновая функция умножается на $ e^{is\phi} $, где s --- проекция спина на ось z.

[Muha_]

Но физически (с точки зрения постановки экспериментов) это будет то же самое состояние. Для описания состояния можно выбрать любую фазу. Как я понял, математический аппарат содержит фазу, но на результат может влиять только разность фаз при суперпозиции а не фаза сама по себе. Если рассматривать независимо промежуточное состояние частицы, которая находится внутри прибора на верхней или на нижней траектории, то получается парадокс: из двух физически симметричных (как их не меряй) состояний получилось одно несимметричное. Кажется, что внутри частицы должна быть какая-то недоступная наблюдению асимметрия, проявляющаяся только когда частица интерферирует сама с собой. Чтобы так не казалось, видимо не нужно рассматривать промежуточные состояния как описание чего-то реально существующего.

-- 15.07.2015, 11:57 --

amon в сообщении #1037147 писал(а):

что получится для начального состояния "спин вдоль $x$"?

Получилось, что среднее значение по x будет меняться по закону $e^{-2ik}+e^{2ik}=2\operatorname{Re}e^{2ik}$, где $k=\int\limits_{0}^{T}B(\tau)d\tau=\pi$.
Но я уже запутался что я считаю. Вроде спин был по $z$ и поле по $z$. Когда приложили поле, среднее значение по $x$ стало колебаться. Видимо до поля оно было равно 0. Куда мы движемся?

[Walker_XXI]

Muha_ в сообщении #1037318 писал(а):

Как я понял, математический аппарат содержит фазу, но на результат может влиять только разность фаз при суперпозиции а не фаза сама по себе. Если рассматривать независимо промежуточное состояние частицы, которая находится внутри прибора на верхней или на нижней траектории, то

Если рассматривать независимо промежуточное состояние частицы, которая находится внутри прибора, то физически это получается уже другая ситуация, потому что под "рассмотрением" Вы понимаете какое-то взаимодействие частицы с чем-то, при котором фаза уходит (не влияя на результат взаимодействия). Если же такого взаимодействия нет, то пренебрегать фазой Вы не имеете права: она хоть и ненаблюдаема, но может повлиять на результат дальнейших наблюдений.

Muha_ в сообщении #1037318 писал(а):

получается парадокс: из двух физически симметричных (как их не меряй) состояний получилось одно несимметричное.

Суперпозиция - это не два физических состояния, а одно физическое состояние единой системы, описываемое "функцией суперпозиции".

Muha_ в сообщении #1037318 писал(а):

Кажется, что внутри частицы должна быть какая-то недоступная наблюдению асимметрия, проявляющаяся только когда частица интерферирует сама с собой.

"Внутри" частицы есть фаза, которую Вы отбрасываете раньше времени.

Muha_ в сообщении #1037318 писал(а):

Чтобы так не казалось, видимо не нужно рассматривать промежуточные состояния как описание чего-то реально существующего.

Почему же? Промежуточное состояние - состояние суперпозиции - реально существующее. Просто оно не является смесью двух состояний, как Вы пытаетесь представить.

В дополнение могу посоветовать книгу Садбери "Квантовая механика и физика элементарных частиц". там эти вопросы подробно рассматриваются. Написана довольно простым языком, без сложной математики. В своё время она помогла мне разобраться в некоторых вопросах. Особенно любопытен раздел "Квантовая метафизика".

[Muha_]

Хороший ответ. Нечто подобное я и представлял, но теперь все стало гораздо понятнее.

[amon]

Muha_ в сообщении #1037318 писал(а):

Но я уже запутался что я считаю.

Давайте распутываться. Вы, видимо неожиданно для себя, решили такую задачу. Частица в некотором спиновом состоянии влетела в некоторое магнитное поле и вылетела из него. Что происходило со спином по дороге и чем все закончилось? Поскольку оси координат можно выбирать как угодно, выберем их так, что бы поле было вдоль оси $Z.$ Наше начальное состояние - $\psi=\begin{pmatrix}\psi_1^{(0)}\\\psi_2^{(0)}\end{pmatrix}$ можно переписать как $\psi=\psi_1^{(0)}\left\lvert1/2\right\rangle+\psi_2^{(0)}\left\lvert-1/2\right\rangle$ это произвольное спинорное состояние. Теперь посмотрим что получится из этого состояния. А получится $e^{-ip^2t}\begin{pmatrix}\psi_1^{(0)}e^{i\varphi/2}\\\psi_2^{(0)}e^{-i\varphi/2}\end{pmatrix}$ (Что я за $\varphi$ обозначил, надеюсь, понятно.) Поскольку $\begin{pmatrix} e^{i\varphi/2} & 0 \\ 0& e^{-i\varphi/2} \end{pmatrix}$

это матрица поворота спинора вокруг оси $Z,$ то у Вас получилось, что пролетая через магнитное поле, спинор поворачивается вокруг направления этого поля.

[Muha_]

Понятно, в нашем случае изменение, которое происходит с любым спинорным состоянием в поле выглядит как умножение на матрицу поворота по $Z$, значит пролетая через поле спинор поворачивается вокруг направления поля. Боюсь даже представить что нужно, чтобы смоделировать расщепление пучка частиц со спином $1/2$ магнитным полем :).

[amon]

Muha_ в сообщении #1037508 писал(а):

что нужно, чтобы смоделировать расщепление пучка частиц со спином $1/2$ магнитным полем :).

Нужно сделать поле неоднородным. Но тут мы, боюсь, выскочим за пределы Ваших нынешних возможностей. Посему, воспользуюсь советом Munin'а и умолкну.

-- 15.07.2015, 20:16 --

Muha_ в сообщении #1037121 писал(а):

Импульс вообще, должен меняться, поэтому смысл этого трюка понятен смутно.

О, это я как-то пропустил. $B$ у нас от координат не зависит, значит импульс коммутирует с гамильтонианом, и для однородного поля сохраняется. Если поле неоднородно, то все сразу не так.

[Muha_]

Да, теперь уже понятно.