Использование кривизны для поиска асимптот

[Shtorm]

Алексей К., ага, спасибо. Следовательно, применяем слова Otta и говорим, что сия единица не была безразмерной и около единицы нужно было написать её размерность. Так?

[Алексей К.]

Заметьте, что если бы я, вместо выпрыгивания с 4-го этажа, взял бы другой процесс, например, термодинамический, давление как функцию температуры, то кривизна графика содержала бы квадратные градусы (стандартное обозначение и теорема Пифагора для них --- $3^{\text{\tiny$\square$}}+4^{\text{\tiny$\square$}}=5^{\text{\tiny$\square$}}$) плюс квадратные миллиметры ртутного столба квадратного сечения...

[Otta]

Shtorm
Берите параметрическую запись и прямо по ней считайте. Чтобы было видно, если вдруг вылезет единица, то какая у нее размерность. И в числителе, и в знаменателе.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1036819 писал(а):

около единицы нужно было написать её размерность. Так?

О нет!!! Она девственно безразмерна!

-- 14 июл 2015, 01:36:45 --

Shtorm,

если я сегодня не объясню Вам случившееся, то сделаю это завтра.

[Shtorm]

Otta в сообщении #1036823 писал(а):

Shtorm
Берите параметрическую запись и прямо по ней считайте. Чтобы было видно, если вдруг вылезет единица, то какая у нее размерность. И в числителе, и в знаменателе.

Для нахождения кривизны кривой, заданной параметрически, используем формулу:

$$K=\frac{\psi''\cdot \varphi' - \varphi''\cdot \psi'}{((\varphi')^2+(\psi')^2)^\frac{3}{2}}$$

а нашу кривую параметризуем так:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} t=t \\ y=12-\frac{gt^2}{2} \\ \end{array} \right.$$

Параметр $t$ - имеет смысл времени. Взяв от него производную по $t$ получим единицу и эта единица будет безразмерной. Верно рассуждение?

-- Вт июл 14, 2015 01:42:27 --

Алексей К. в сообщении #1036825 писал(а):

если я сегодня не объясню Вам случившееся, то сделаю это завтра.

Вот эта фраза внушает оптимизм! А то я уже несколько часов не могу поужинать - не ухожу с форума

-- Вт июл 14, 2015 01:47:13 --

Алексей К. в сообщении #1036815 писал(а):

Нет. Для начала я должен пояснить знаменатель: он важнее, а в числителе я мог и ошибиться:

$$\sqrt{1+100\frac{m^2}{s^2}}=\sqrt{\frac{1s^2+100m^2}{1s^2}}=\frac{\sqrt{1s^2+100m^2}}{1s}}.$$

Теперь можно думать и про числитель...

Ага! Теперь Ваши обозначения размерности полностью мне понятны!

-- Вт июл 14, 2015 01:53:09 --

Ну, а что же в итоге? Формулы правильные, а размерность не совпадает! Она же должна получиться $\text{м}^{-1}$. Интрига темы!

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1036831 писал(а):

Для нахождения кривизны кривой, заданной параметрически, используем формулу:

$$K=\frac{\psi''\cdot \varphi' - \varphi''\cdot \psi'}{((\varphi')^2+(\psi')^2)^\frac{3}{2}}$$

Вот тут должна была стоять инструкция HALT. Видно, что знаменатель требует $[\varphi] = [\psi]$. (И тогда, конечно, в числителе размерности тоже обязательно сойдутся.) А у нас не так. Не определена кривизна, значит.

-- Вт июл 14, 2015 02:55:07 --

Shtorm в сообщении #1036831 писал(а):

Она же должна получиться $\text{м}^{-1}$.

Это ещё зачем?..

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1036834 писал(а):

Это ещё зачем?..

По изначальному определению кривизны окружности - как величины обратной её радиусу. Радиус берём в метрах и получаем метр в минус первой. Что не так?

[arseniiv]

Начнём с пространства, в котором лежит кривая. Если $\varphi\colon T\to X$, $\psi\colon T\to Y$, то, очевидно, оно есть $X\times Y$. У нас вроде как $X, Y$ линейные над $\mathbb R$, так что и $X\times Y$ оказывается линейным пространством — хорошо. А вот скалярное произведение или, с другой стороны подходя, норму мы можем здесь ввести? А как? Напоминание: на $X, Y$ их нет, несмотря на одномерность каждого.

-- Вт июл 14, 2015 03:10:28 --

А вводить надо для метрики, иначе кто такие окружность и радиус? Можно, конечно, метрику ввести в обход нормы. Только чур с доказательством естественности.

[Shtorm]

arseniiv, и какая же должна быть правильная размерность для кривизны по Вашему?

[arseniiv]

Я же, вроде, говорил, что она не определена. Т. е. утверждений о её правильной размерности высказать нельзя, даже ложных.

[iifat]

Не могу сказать, где именно, но где-то тут явная путаница.
Возможно, суть её выразил Алексей К.: кривизна и ейный радиус — свойства графика, а не функции. Тогда координаты измеряются в метрах, производная всесезонна безразмерна, вторая — 1/м и все единицы, стало быть, сходятся.

(Оффтоп)

Алексей К., на всякий случай личная просьба: оставить вашу идею исключительно мысленным экспериментом. Помимо не прояснённых до конца метрологических проблем, мне приятнее представлять вас в окне 4 этажа и на этом форуме, нежели летящим вниз. Даже если в конце пути вас ждёт полное просветление по этому и другим вопросам.

[Otta]

iifat в сообщении #1036868 писал(а):

Возможно, суть её выразил Алексей К.: кривизна и ейный радиус — свойства графика, а не функции.

Да, а иначе вообще непонятно, как мы собираемся определять кривизну, которая по-хорошему начинается с введения натуральной параметризации. Метрика нужна, как было справедливо указано. И "теорема Пифагора"(с).:)) С одинаковыми размерностями, разумеется.

[Shtorm]

Буду ждать прихода Алексей К.. Надеюсь, он раскроет всю суть по данному вопросу.

[Otta]

Shtorm, откуда берется выражение $\sqrt{1+(dy/dx)^2}$ в знаменателе ? Ну это пока ждете.

[Shtorm]

grizzly в сообщении #1036797 писал(а):

Просто Вы избегаете попыток понять суть вещей, как только начинаете чувствовать, что эта суть противоречит Вашим гипотезам.

Вот тут Вы просто ошибаетесь. Перечитайте начало темы - все свои ошибки я признал и далее собираюсь признавать при соответствующей аргументации. Жаль, что на форуме отключены подписи, а то бы Вы увидели мою подпись: "В поисках истины...". Боязнь признания правды и боязнь признания моей собственной неправоты просто противоречит моим мировоззрениям.

grizzly в сообщении #1036797 писал(а):

Ладно, вот Вам функция, которая, надеюсь Вам подойдёт (ну или, на худой конец, её Вы уже сможете допилить):

$$ f(x)=\frac{1}{\ln x}\sin\left(\ln\left(\frac{1}{\sin^2\left(\ln x\right)+\frac1x}\right)\right), \qquad x\ge 2. $$

Вот за интереснейшую функцию спасибо. Но, как Вы сами и ожидали, эта функция не даёт эффекта опровержения, поскольку примерно после значения аргумента $x=900$ перестаёт осциллировать и плавно спадает к нулю, постепенно выпрямляясь. Соответственно, кривизна тоже поначалу осциллирует, а затем стремится к нулю. Вы просили меня самому допилить функцию. Но прежде чем что-то допиливать, давайте разберёмся концептуально: какой теоретический аспект говорит нам о том, что должен непременно найтись пример, в котором бы для элементарной функции, частота осцилляций которой не возрастает, и имеющей асимптоту - что кривизна кривой бы не стремилась к нулю на бесконечности?

-- Вт июл 14, 2015 06:19:08 --

Otta в сообщении #1036878 писал(а):

Shtorm, откуда берется выражение $\sqrt{1+(dy/dx)^2}$ в знаменателе ? Ну это пока ждете.

Ну, в Пискунове - это производная от $\arctg(\frac{dy}{dx})$. Ну понятно, что следующий вопрос будет - а откуда берётся арктангенс? Ну и так далее, в итоге придём к формуле, где вычисляется производная от угла по натуральному параметру. В итоге всё это должно меня натолкнуть на правильную мысль и ответ. Но это уже будет днём....ибо я пошёл спать