Использование кривизны для поиска асимптот

[Shtorm]

Если при $x \to \infty$ кривая имеет наклонную (в том числе горизонтальную) асимптоту, то кривизна кривой $K \to 0$ при $x \to \infty$. Это верно для для кривых, которые могут быть заданы элементарной однозначной функцией $y=f(x)$. (Элементарность функции понимается как в Пискунове). Верно ли это утверждение? Может быть что-то нужно тут дополнить? Если тут всё верно, то я далее задам ещё вопрос.
P.S. Возможно это всё изложено подробно в какой-то книге или статье, или уже было в какой-то теме на форуме, тогда прошу направить меня туда.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):

Верно ли это утверждение?

Вряд ли. Представьте функцию, которая всё сильней и сильней осциллирует там далеко.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1036461 писал(а):

Вряд ли. Представьте функцию, которая всё сильней и сильней осциллирует там далеко.

Осциллирует всё сильней, но при этом расстояние от точек амплитуд до асимптоты становится всё меньше и меньше - иначе и асимптоты не будет. Иными словами, амплитуда колебаний падает, а частота растёт? Предположим что так. А будет ли такая функция элементарной функцией, записанной одним аналитическим выражением? Будет? А конкретный пример можно тогда привести?

[demolishka]

Да пожалуйста,

$$\frac{\sin x^2}{x}$$

[Shtorm]

demolishka, спасибо за пример, но я гляжу, пока я его проверял, Вы его уже подправили. А я-то мучался с экспонентой по синусом . Ну что же, выходит я был не прав, а Вы и arseniiv правы. Жаль. Такой признак сорвался!
Ладно, значит тогда такое утверждение о кривизне будет верным только для случая, когда график не пересекает свою асимптоту. Верно?

-- Пн июл 13, 2015 04:03:42 --

А вот! Ещё мысль пришла: утверждение о кривизне окажется также верным и в том случае, если график осциллирует относительно своей асимптоты, но частота осцилляции не возрастает!!! Вот, значит легче сказать, когда этот признак не выполняется, чем сказать, когда он выполняется!

[demolishka]

Не пересекает

$$\frac{\sin^2(x^2)}{x}$$

И даже не касается

$$\frac{\sin^2(x^2)}{x} + \frac{1}{x}$$

[Shtorm]

Да, Ваша правда! Таким образом признак выполняется тогда и только тогда, когда частота осцилляции графика функции вдоль своей асимптоты (если таковая есть) не возрастает. Верно?

[demolishka]

Это утверждение тоже, скорей всего, неверно. Просто пример будет посложней.

[Shtorm]

demolishka в сообщении #1036471 писал(а):

Это утверждение тоже, скорей всего, неверно. Просто пример будет посложней.

Вы меня заинтриговали. Но что подталкивает Вас к мысли, что такое утверждение скорей всего тоже неверно?

[Otta]

Shtorm
Если принять во внимание название темы, то даже если Вы и получите какое-то условие на кривизну, то в Вашем утверждении наподобие

Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):

Если при $x \to \infty$ кривая имеет наклонную (в том числе горизонтальную) асимптоту, то кривизна кривой $K \to 0$ при $x \to \infty$.

оно необходимое, а не достаточное. И тем более не критерий для поиска. И значит, ничего не дает. Зачем, спрашивается, выполнять технически сложные выкладки, вычисляя кривизну, если это, во-первых, может пригодиться только для доказательства отсутствия асимптот (в том виде, что есть), а во-вторых, наличие асимптот легко проверяется по определению?

[iifat]

Shtorm в сообщении #1036472 писал(а):

Вы меня заинтриговали

Просто вас обманул arseniiv, по-моему. Незачем ей осциллировать «всё сильнее и сильнее». Можно слабее и реже. Но не до нуля.

[Shtorm]

Otta, Вы совершенно правы в плане исследования на асимптоты кривых заданных уравнением $y=f(x)$ и поначалу меня просто заинтересовала кривизна кривых, имеющих асимптоты. Но потом вдруг неожиданно пришла мысль, что эту самую кривизну возможно применить и для неявно заданных функций. А ведь если неявно заданная функция содержит не только алгебраические функции, но и комбинацию из математических операций над трансцендентными функциями, то поиск асимптот обычными методами весьма затруднён. И пусть при вычислении кривизны будут возникать громоздкие выражения, но сам алгоритм становится прозрачным и линейным. Ну, это если с тем вышеописанным признаком всё будет прозрачно и линейно. Касательно необходимости и достаточности, возможно просто нужно там слова переставить. Но возможно в чём-то я и ошибаюсь.

-- Пн июл 13, 2015 04:46:14 --

iifat в сообщении #1036474 писал(а):

Просто вас обманул arseniiv, по-моему. Незачем ей осциллировать «всё сильнее и сильнее». Можно слабее и реже. Но не до нуля.

Ну так если реже - то есть с падением частоты колебаний, то с учётом падения амплитуды, кривизна будет стремиться к нулю. Для таких ситуаций признак будет выполняться. А нам-то были интересны контрпримеры.

-- Пн июл 13, 2015 04:52:44 --

Otta, что-то я не в ту степь пошёл. Не алгоритм становится прозрачнее, а просто наличие асимптот подтверждается у неявно заданной функции. Вроде как....

[iifat]

Shtorm в сообщении #1036475 писал(а):

с падением частоты колебаний, то с учётом падения амплитуды, кривизна будет стремиться к нулю

Вы ещё не просили у меня элементарного примера, но сразу скажу: нет и не будет. Ибо лень.
Касательно же процитированного — ну вот представьте себе сходящуюся к нулю последовательность. И вторую, монотонно убывающую к 0,5. Беру я эту вторую, и начинаю вставлять промеж первой, всё реже и реже. Имея, однако же, в планах таки вставить всю. Вот они, ваши всплески: убывают и по величине, и по частоте. А предела таки нет.

[Shtorm]

iifat, хм...как ни крути, не верти, а Ваша вторая последовательность, которая сходится к $0,5$, ни при каких значениях аргумента на оси абсцисс, сколь бы велики они ни были, не даст общей последовательности сойтись к нулю. Следовательно, там вообще ни о какой асимптоте речи идти не может. Или я что-то не понял в Вашем пояснении.

[iifat]

Shtorm в сообщении #1036479 писал(а):

не даст общей последовательности сойтись к нулю

Ну, последовательностью я пытался проиллюстрировать кривизну, а не функцию. Возможно, случай не реальный. Но, поскольку тема ваша, я с чистой совестью могу спихнуть на вас бремя доказательства