Задачи на целые числа.

[provincialka]

ole-ole-ole в сообщении #1034908 писал(а):

из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$,

Почему? Большее число надо возвести в меньшую степень, чтобы получить тот же результат...

[ole-ole-ole]

ТО есть там все знаки в другую сторону? Но строгие они или нестрогие знаки неравенства?

[Cash]

Сразу не заметил, но вот здесь

ole-ole-ole в сообщении #1034826 писал(а):

Если $a_1>a_2>1$, то из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$

ошибка.
Давайте-ка еще раз попробуем.

Upd. provincialka, спасибо.
Проясню еще раз суть. Похоже вы не понимаете.
Задача доказать, что не все числа равны. Значит одно из чисел больше другого. Мы можем считать, что это первое число больше второго. Вы должны четко осознать, почему мы можем так полагать!

[provincialka]

ole-ole-ole в сообщении #1034920 писал(а):

ТО есть там все знаки в другую сторону?

Хм... Что значит "все в другую сторону"? У вас что, 17 "сторон"
Можно использовать нестрогие неравенства. Или рассмотреть случай равенства отдельно.

[ole-ole-ole]

$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =...=a_{16}^{a_{17}}=a_{17}^1$

Если $a_1>a_2$, то $a_2<a_3$, то $a_3>a_4$, $a_4>a_5$, $a_5<a_6$

Замечаем закономерность. Если слева нечетный индекс, то знак $>$, слева четный $<$.

В конце значит будет $a_{16}<a_{17}$, тогда $a_{17}>a_{1}$

Пока что не пойму -- что это все значит....

[Cash]

Вы поаккуратней пишите: из каких равенств и неравенств что следует.
Вот так не совсем правильно:

ole-ole-ole в сообщении #1035065 писал(а):

Если $a_1>a_2$, то $a_2<a_3$

А правильно будет
Если $a_1>a_2$, то из равенства [...] следует $a_2<a_3$

Тогда вы сможете сразу определить какие равенства использованы и есть ли еще резервы для решающего хода.

[ole-ole-ole]

Cash в сообщении #1035069 писал(а):

Вы поаккуратней пишите: из каких равенств и неравенств что следует.
Вот так не совсем правильно:

ole-ole-ole в сообщении #1035065 писал(а):

Если $a_1>a_2$, то $a_2<a_3$

А правильно будет
Если $a_1>a_2$, то из равенства [...] следует $a_2<a_3$

Тогда вы сможете сразу определить какие равенства использованы и есть ли еще резервы для решающего хода.

Хорошо.
Если $a_1>a_2$, то из равенства $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует $a_2<a_3$

Если $a_2<a_3$, то из равенства $a_2^{a_3} = a_3^{a_4}$ следует $a_3>a_4$

Если $a_3>a_4$, то из равенства $a_3^{a_4} = a_4^{a_5}$ следует $a_4<a_5$

....

Если $a_{16}<a_{17}$, то из равенства $a_{16}^{a_{17}} = a_{17}^{a_1}$ следует $a_{17}>a_1$

Если $a_{17}>a_{1}$, то из равенства $a_1^{a_2} = a_{17}^{a_1}$ следует $a_{2}>a_1$.

Получаем противоречие, потому как $a_1>a_2$

Если рассмотреть второй случай, изначально заменив все знаки строгих неравенств на противоположные, то получаем противоречие для случая $a_1<a_2$, то есть $a_1$ может быть только равно $a_2$. А если равно, то далее по цепочке получаем то, что требовалось доказать.
Кстати, следует ли отдельно рассматривать случай, когда одно из чисел равно 1? (сразу очевидно, что все остальные тоже равны 1).

Верно ли?

[Cash]

Да, все верно.

[ole-ole-ole]

Спасибо большое!