2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 18:11 


03/06/12
209
Здравствуйте! Не получается решить задачу.

Даны $17$ натуральных чисел $a_1, a_2, . . . , a_{17}$. Известно, что $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_4} =... = a_{17}^{a_2}$ . Докажите, что $a_1=a_2=...=a_{17}$

Пробовал по индукции. База: для двух чисел: $a_1^{a_2}=a_2^{a_1}$. Но сразу же нашел контр-пример. $2^4=4^2$. Значит тут индукция не годится. Потом от противного пробовал, что-то тоже пока что тупик. Можете подсказать идею, пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 18:27 
Заслуженный участник


12/09/10
1529
Попробуйте для трёх чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 19:07 


03/06/12
209
$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_1} $ А как проверить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 19:44 
Заслуженный участник


12/09/10
1529
Проверить что?
Поиграйте в больше-меньше. Пусть $a_1>a_2>1$, тогда расставьте знаки $a_2\vee a_3$ и $a_3 \vee a_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 22:01 


03/06/12
209
Cash в сообщении #1034764 писал(а):
Проверить что?
Поиграйте в больше-меньше. Пусть $a_1>a_2>1$, тогда расставьте знаки $a_2\vee a_3$ и $a_3 \vee a_1$



Если $a_1>a_2>1$, то из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$, с учетом $a_1>a_2$, получаем $a_1>a_3$

Используя $a_2>a_3$ в равенстве $ a_2^{a_3}=a_3^{a_1} $, получаем, что $a_3>a_1$. Получаем противоречие.

Значит неравенство $a_1>a_2>1$ невозможно.

Если $a_i>a_k>1$ ($i=1,23$, $k=1,2,3$, i\ne k$), то рассуждения проводятся аналогично, там все симметрично (если сделать переобозначения, будет то же)

Так как у нас числа натуральные, то осталось рассмотреть ситуацию, когда

$a_1>a_2=1$

Получаем $a_1^{1} = 1^{a_3} $, что невозможно.

Пришли к противоречию. Значит равенство $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_1} $ имеет место только для $a_1=a_2=a_3$. База проверена.

Далее делаем переход, пусть для $n=k$ из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =...=a_k^{a_1}$ следует, что $a_1=a_2=...=a_k$.

Проверим, будет ли следовать из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =...=a_k^{a_{k+1}}=a_{k+1}^1$ равенство $a_1=a_2=...=a_{k}=a_{k+1}$

Давайте опять от противного. Можно взять тройку последних чисел $a_{k-1},a_k, a_{k+1}$, там доказывается аналогично базе, если просто переобозначить индексы. Верно ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 22:07 
Заслуженный участник


12/09/10
1529
Не надо индукцию. Все дело в четности количества чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 22:18 


03/06/12
209
Cash в сообщении #1034831 писал(а):
Не надо индукцию. Все дело в четности количества чисел.

А нужно индукцию по нечетным числам или как? Или совсем не надо индукцию? Если не индукция, то что ?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 22:25 
Заслуженный участник


12/09/10
1529
То же самое, как для 3, только чисел поболе. Начинайте расставлять знаки больше-меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 22:42 


03/06/12
209
Cash в сообщении #1034848 писал(а):
То же самое, как для 3, только чисел поболе. Начинайте расставлять знаки больше-меньше.

Сразу для 17 чисел или постепенно, начиная с 5, затем 7, 9, ..., 17?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 22:43 
Заслуженный участник


12/09/10
1529
Как хотите. В задачах главное - на месте не стоять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:11 


03/06/12
209
Взяли мы три числа. $a_1,a_2,a_3$ для них доказали. Потом взяли $a_3, a_4, a_5$. для них тоже самое с точностью до переобозначений, тогда для $a_1,..., a_5$ выполнено. Двигаемся дальше. Для $a_5,a_6,a_5$, там аналогично. Далее доходим до $a_{17}$ такими же шагами по два. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:13 
Заслуженный участник


12/09/10
1529
В случае количества чисел больше 3, мы пока ничего не доказали, потому что когда доказывали, то было $a_3^{a_1}$, а сейчас $a_3^{a_4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:32 


03/06/12
209
Хорошо, попробую для пяти.

$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =a_3^{a_4}=a_4^{a_5}=a_5^{a_1} $

Пусть у нас вышло так, что не все числа равны.

давайте рассмотрим первый случай, когда $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ расположены в порядке убывания.

Если $a_1>a_2>...>a_5>1$, то из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$, с учетом $a_1>a_2$, получаем $a_1>a_3$

Используя $a_2>a_3$ в равенстве $ a_2^{a_3}=a_3^{a_4} $, получаем, что $a_3>a_4$.

Используя $a_3>a_4$ в равенстве $ a_3^{a_4}=a_4^{a_5} $, получаем, что $a_4>a_5$.

Используя $a_4>a_5$ в равенстве $ a_4^{a_5}=a_5^{a_1} $, получаем, что $a_5>a_1$.

Получаем противоречие.


Значит неравенство $a_1>a_2>...>a_5>1$ невозможно.

Но есть же еще куча других случаев $5!=120$, не всегда же будет порядок убывания. Пока что не понимаю -- как их правильно описать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11806
Казань
ole-ole-ole в сообщении #1034908 писал(а):
Но есть же еще куча других случаев, не всегда же будет порядок убывания

А вы и не использовали такое жесткое требование в доказательстве! Посмотрите на него внимательнее

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:38 


03/06/12
209
provincialka в сообщении #1034911 писал(а):
ole-ole-ole в сообщении #1034908 писал(а):
Но есть же еще куча других случаев, не всегда же будет порядок убывания

А вы и не использовали такое жесткое требование в доказательстве! Посмотрите на него внимательнее

А ну да, точно. Тогда с доказательством все понятно. Только там нужно было лучше нестрогий знак неравенства ставить?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group