2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:39 
Аватара пользователя
ole-ole-ole в сообщении #1034908 писал(а):
из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$,

Почему? Большее число надо возвести в меньшую степень, чтобы получить тот же результат...

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:41 
ТО есть там все знаки в другую сторону? Но строгие они или нестрогие знаки неравенства?

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:45 
Сразу не заметил, но вот здесь
ole-ole-ole в сообщении #1034826 писал(а):
Если $a_1>a_2>1$, то из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует, что $a_2>a_3$

ошибка.
Давайте-ка еще раз попробуем.

Upd. provincialka, спасибо.
Проясню еще раз суть. Похоже вы не понимаете.
Задача доказать, что не все числа равны. Значит одно из чисел больше другого. Мы можем считать, что это первое число больше второго. Вы должны четко осознать, почему мы можем так полагать!

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение08.07.2015, 23:48 
Аватара пользователя
ole-ole-ole в сообщении #1034920 писал(а):
ТО есть там все знаки в другую сторону?

Хм... Что значит "все в другую сторону"? У вас что, 17 "сторон" :facepalm:
Можно использовать нестрогие неравенства. Или рассмотреть случай равенства отдельно.

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение09.07.2015, 10:22 
$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} =...=a_{16}^{a_{17}}=a_{17}^1$

Если $a_1>a_2$, то $a_2<a_3$, то $a_3>a_4$, $a_4>a_5$, $a_5<a_6$

Замечаем закономерность. Если слева нечетный индекс, то знак $>$, слева четный $<$.

В конце значит будет $a_{16}<a_{17}$, тогда $a_{17}>a_{1}$

Пока что не пойму -- что это все значит....

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение09.07.2015, 10:31 
Вы поаккуратней пишите: из каких равенств и неравенств что следует.
Вот так не совсем правильно:
ole-ole-ole в сообщении #1035065 писал(а):
Если $a_1>a_2$, то $a_2<a_3$

А правильно будет
Если $a_1>a_2$, то из равенства [...] следует $a_2<a_3$

Тогда вы сможете сразу определить какие равенства использованы и есть ли еще резервы для решающего хода.

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение10.07.2015, 20:47 
Cash в сообщении #1035069 писал(а):
Вы поаккуратней пишите: из каких равенств и неравенств что следует.
Вот так не совсем правильно:
ole-ole-ole в сообщении #1035065 писал(а):
Если $a_1>a_2$, то $a_2<a_3$

А правильно будет
Если $a_1>a_2$, то из равенства [...] следует $a_2<a_3$

Тогда вы сможете сразу определить какие равенства использованы и есть ли еще резервы для решающего хода.


Хорошо.
Если $a_1>a_2$, то из равенства $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ следует $a_2<a_3$

Если $a_2<a_3$, то из равенства $a_2^{a_3} = a_3^{a_4}$ следует $a_3>a_4$

Если $a_3>a_4$, то из равенства $a_3^{a_4} = a_4^{a_5}$ следует $a_4<a_5$

....

Если $a_{16}<a_{17}$, то из равенства $a_{16}^{a_{17}} = a_{17}^{a_1}$ следует $a_{17}>a_1$

Если $a_{17}>a_{1}$, то из равенства $a_1^{a_2} = a_{17}^{a_1}$ следует $a_{2}>a_1$.

Получаем противоречие, потому как $a_1>a_2$

Если рассмотреть второй случай, изначально заменив все знаки строгих неравенств на противоположные, то получаем противоречие для случая $a_1<a_2$, то есть $a_1$ может быть только равно $a_2$. А если равно, то далее по цепочке получаем то, что требовалось доказать.
Кстати, следует ли отдельно рассматривать случай, когда одно из чисел равно 1? (сразу очевидно, что все остальные тоже равны 1).

Верно ли?

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение11.07.2015, 01:42 
Да, все верно.

 
 
 
 Re: Задачи на целые числа.
Сообщение11.07.2015, 14:56 
Спасибо большое!

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group