Обобщение производной

[Anton_Peplov]

Пусть $X$ - метрическое пространство с метрикой $\rho$. Рассмотрим функцию $f: X \to \mathbb{R}$.
Квазипроизводной функции $f$ в точке $x_0$ назовем предел

$$\lim\limits_{x \to x_0}^{}\frac{f(x) - f(x_0)}{\rho (x, x_0)}$$

По-моему, это красивое и естественное обобщение понятия производной. Но, учитывая, сколько светлых умов уже сточило зубы о функциональный анализ, я вижу только две возможности:

1. Это пробовали, сказали, что прикольно, дали какое-то название (какое?) и где-то там используют (где?).
2. Это пробовали, сказали, что фигня и интересных применений не предвидится (почему?).

Собственно, я и хочу знать, какая из возможностей реализовалась. Всем спасибо заранее.

[ex-math]

Вариант 2. Посмотрите, во что это превращается хотя бы на $\mathbb {R} $. Например, $|x|$ будет дифференцируем только в нуле.

[iifat]

Ах да, сразу и не заметил. Мера всегда положительна, а приращение со знаком.

[DiMath]

Anton_Peplov Тогда уж вводите так:

$$\lim\limits_{x \to x_0}^{}\frac{\rho (f(x),f(x_0))}{\rho (x, x_0)}$$

[grizzly]

DiMath в сообщении #1035420 писал(а):

Anton_Peplov Тогда уж вводите так:...

Не, так он не согласится. Заметит, что тот же модуль в нуле будет иметь "производную", равную 1 и не сможет придать этому смысл.

-- 10.07.2015, 11:20 --

Anton_Peplov
Как-то наш лектор по диф.геометрии (правда, он был из тех, кто скорее от науки, чем от преподавательской среды) говорил примерно так, что различных обобщений производной можно ввести несчётное количество, но при этом какая-то польза от них может быть не более чем от счётного, и вводить новое обобщение есть смысл, только если от него предвидится эта самая польза.

Думаю, это замечание будет здесь уместно, даже если Вы устраните несогласованность определения со своими представлениями. Ещё можно пойти на Вики, например, и просто в качестве ознакомления познакомиться с тем, какие обобщения уже существуют.

[Anton_Peplov]

ex-math в сообщении #1035384 писал(а):

Например, $|x|$ будет дифференцируем только в нуле.

Да с $y = x$, по-моему, та же история. Нда. Что-то я погорячился.

grizzly в сообщении #1035429 писал(а):

различных обобщений производной можно ввести несчётное количество, но при этом какая-то польза от них может быть не более чем от счётного, и вводить новое обобщение есть смысл, только если от него предвидится эта самая польза.

Это понятно даже такому ежу, как я.

grizzly в сообщении #1035429 писал(а):

Ещё можно пойти на Вики
, например, и просто в качестве ознакомления познакомиться с тем, какие обобщения уже существуют.

Туда я ходил уже давным-давно. Все приведенные там обобщения не о том, о чем я хочу.

А хочу я разобраться с дифисчислением функций нескольких переменных. Мне чем-то очень не нравится существующее там определение дифференцируемости, когда производной как таковой нет, а есть лишь частные производные, да еще их существование в точке не гарантирует дифференцируемости, да еще... Впрочем, хватит. Я, конечно, понимаю, что, перефразируя Фейнмана, "если бы это можно было сделать красивее, мы бы и сделали это красивее", но тогда я хочу понять, почему нельзя. Это послужит более глубокому усвоению предмета. У меня такая история была с топологией, когда я не мог понять, почему подпространство определяется именно так, когда естественнее его определять другим образом. Пока не посидел с ручкой и бумагой и не понял, что при моем "естественном" определении подпространства практически не остается наследственных свойств.

(Оффтоп)

Представим себе человека, который никогда не играл в шахматы. Ему дали список правил и поручили следить за партией. Он сможет констатировать, что – да, каждый ход сделан по правилам, и – да, это мат. Он видит, что поставлен мат, но не понимает, почему он поставлен. «Потому что король ходит так, а ферзь этак» – не ответ. Правила, регулирующие возможные и невозможные ходы – это еще не шахматы. Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено.

Именно таким наблюдателем я себя чувствую, изучая дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Я могу проследить доказательства доказанного и опровержения опровергнутого. Что там могу – я давно сделал это. Я согласен, что ходы сделаны по правилам. Но черт, я – не – понимаю – что – происходит! Мне это не нравится. "А когда лорду Волан-де-Морту что-то не нравилось, он немедленно принимал меры" (с).

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1035442 писал(а):

Мне чем-то очень не нравится существующее там определение дифференцируемости, когда производной как таковой нет, а есть лишь частные производные,

Где "там"?... Везде дифференцируемость подразумевает наличие именно производной, и уж только потом эта производная как-то связывается с частными производными.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1035446 писал(а):

Где "там"?... Везде дифференцируемость подразумевает наличие именно производной, и уж только потом эта производная как-то связывается с частными производными.

"Там" - это в стандартных курсах матанализа (Ильин и Позняк, Фихтенгольц). Вводится понятие частной производной, понятие дифференцируемости, геометрический смысл дифференцируемости (для функции двух переменных - существование касательной плоскости), связь между дифференцируемостью в точке и частными производными в этой точке (достаточно, чтобы они были непрерывными). Понятие производной (не частной) не вводится. Если Вы подскажете мне книгу, в которой оно вводится, я буду Вам очень благодарен.

[Oleg Zubelevich]

Anton_Peplov в сообщении #1035341 писал(а):

Пусть $X$ - метрическое пространство с метрикой $\rho$. Рассмотрим функцию $f: X \to \mathbb{R}$.
Квазипроизводной функции $f$ в точке $x_0$ назовем преде

понятие производной выражает идею "линейности в малом" в произвольном метрическом пространстве линейности нет, поэтому ожидать чего-то хорошего от этих экспериментов не стоит

[Anton_Peplov]

Oleg Zubelevich в сообщении #1035451 писал(а):

понятие производной выражает идею "линейности в малом" в произвольном метрическом пространстве линейности нет, поэтому ожидать чего-то хорошего от этих экспериментов не стоит

Точно. Спасибо, хорошо подмечено.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1035449 писал(а):

Если Вы подскажете мне книгу, в которой оно вводится,

Например,

Зорич, Математический анализ, ч.1, глава VIII, параграф 2 писал(а):

Линейная функция $L(x):\;\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ в соотношении (1) называется дифференциалом, касательным отображением или производным отображением функции $f:\;E\to\mathbb R^n$ в точке $x\in E$.

Про дифференциал в связи с дифференцируемостью говорят вообще все, только многие почему-то стесняются назвать его линейным оператором (или значением линейного оператора, но это уже дело вкуса). Зорич вот не стесняется и произносит это открытым текстом.

[ex-math]

Те, кто стесняется, обычно говорят "матрица Якоби".

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1035449 писал(а):

"Там" - это в стандартных курсах матанализа (Ильин и Позняк, Фихтенгольц).

Эти курсы не просто стандартные, но ещё и достаточно простые, для нематематиков. А математики знакомы, например, с производной Фреше.

[ewert]

Справедливости ради надо всё же сказать, что упёртое избегание операторной терминологии в "стандартных" учебниках по матану всё же имеет под собой достаточно веские основания. Там проблема в том, что курс матанализа читается, в общем, независимо от курса линала. И кто кого обгонит -- бог весть, это зависит от рабочих программ.

Учебники же ориентироваться на конкретные рабочие программы не могут. И потому им проще делать вид, что они нифига про смежников не знают.

Тому же Зоричу пришлось вынужденно включить в свой учебник, притом совершенно в середине, совершенно чужеродный (формально говоря) справочник по линейной алгебре. Что я лично горячо приветствую (хоть от Зорича как такового, собственно, и не вполне в восторге).

[kp9r4d]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1035600 писал(а):

хоть от Зорича как такового, собственно, и не вполне в восторге

Почему, если не секрет?