Система уравнений с частными производными

[trarbish]

Хотелось бы на данном этапе узнать тип. Да, как вы правильно заметили, это видоизмененные уравнения Ламе из теории упругости, и поэтому почти на 100% эта система гиперболического типа. Но нигде не встречал доказательства для таких систем и хотелось бы самому получить этот результат. Возможно, как я уже писал раньше, можно с помощью индукции усовершенствовать формулы Петровского, но пока неудача.

Кстати если говорить о решении этой системы, то самый очевидный путь это нахождение переменной u3 из третьего уравнения и подставления в первые два?

P.s. u3 - это поворот. А J - соотвествующая инерционная характеристика.

[svv]

trarbish в сообщении #866914 писал(а):

самый очевидный путь это нахождение переменной u3 из третьего уравнения и подставления в первые два?

Возможно, Вы правы, и лучше всего так и действовать.

Я на всякий случай покажу, что я заметил, но приведет это к чему-то полезному или нет, я не знаю.
Обозначим $\delta=\lambda+2\mu$, $\beta=\mu+\alpha$.
$\delta u_{1,11} + \beta u_{1,22} + (\delta-\beta)u_{2,12}+2\alpha u_{3,2}=\rho u_{1,33}$
$\delta u_{2,22} + \beta u_{2,11} + (\delta-\beta)u_{1,12}-2\alpha u_{3,1}=\rho u_{2,33}$

Продифференцируем первое уравнение по $x_1$, а второе по $x_2$ (кое-где изменяя порядок производных):
$\delta u_{1,111} + \beta u_{1,122} + (\delta-\beta)u_{2,211}+2\alpha u_{3,12}=\rho u_{1,133}$
$\delta u_{2,222} + \beta u_{2,211} + (\delta-\beta)u_{1,122}-2\alpha u_{3,12}=\rho u_{2,233}$
и сложим:
$\delta (u_{1,1} + u_{2,2})_{,11}+\delta(u_{1,1} + u_{2,2})_{,22}=\rho (u_{1,1}+u_{2,2})_{,33}$
Напрашивается обозначение $p=u_{1,1} + u_{2,2}$, и тогда
$\delta (p_{,11}+p_{,22})=\rho p_{,33}$
В это уравнение входит только $p$. И дифференциальный оператор, скажем так, понятный.

Теперь продифференцируем первое уравнение по $x_2$, а второе по $x_1$:
$\delta u_{1,211} + \beta u_{1,222} + (\delta-\beta)u_{2,122}+2\alpha u_{3,22}=\rho u_{1,233}$
$\delta u_{2,122} + \beta u_{2,111} + (\delta-\beta)u_{1,211}-2\alpha u_{3,11}=\rho u_{2,133}$
И вычтем из первого второе:
$\beta(u_{1,2}-u_{2,1})_{,11}+\beta(u_{1,2}-u_{2,1})_{,22}+2\alpha (u_{3,11}+u_{3,22})=\rho (u_{1,2}-u_{2,1})_{,33}$
Напрашивается обозначение $q=u_{1,2}-u_{2,1}$. Обозначим также $v=u_3$ (теперь индексы встречаются только при дифференцировании).
$\beta (q_{,11}+ q_{,22})+2\alpha (v_{,11}+v_{,22})=\rho q_{,33}$
Чуть сложнее, чем с $p$, но тоже ничего.

И третье уравнение сводится к тем же переменным $q, v$. Итого:
$\delta (p_{,11}+p_{,22})=\rho p_{,33}$
$\beta (q_{,11}+ q_{,22})+2\alpha (v_{,11}+v_{,22})=\rho q_{,33}$
$B(v_{,11}+v_{,22}) - 2\alpha (q+2v)=Jv_{,33}$

Или, чтоб совсем красиво:
$\delta \Delta p=\rho \ddot p$
$\beta \Delta q+2\alpha \Delta v=\rho \ddot q$
$B \Delta v - 2\alpha (q+2v)=J \ddot v$
(я тут предположил, что координаты $x_1,x_2$ пространственные, а $x_3$ время).

В принципе, несложно получить уравнения только для $q$ и только для $v$, хотя они будут четвертого порядка.

[Deggial]

trarbish в сообщении #866914 писал(а):

P.s. u3 - это поворот. А J - соотвествующая инерционная характеристика.

trarbish, напоминаю, что все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
В случае дальнейшего неоформления формул буду сносить тему/посты в Карантин.

[пианист]

trarbish
Собс-но, тип Вашей системы это какое-то классифицирование полинома

$$\begin{vmatrix} (2 \mu + \lambda)\xi^2 + (\mu + \alpha)\eta^2 - \rho \zeta^2 & (\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta& 0 \\ (\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta & (\mu + \alpha) \xi^2 + (2 \mu + \lambda) \eta^2 - \rho \zeta^2 & 0 \\ 0 & 0 & B (\xi^2 + \eta^2) - J \zeta^2 \end{vmatrix}$$

где переменные $\xi$, $\eta$, $\zeta$ соответствуют Вашим первой, второй и третьей независимой переменной.
Если вещественные нули многочлена это только $\xi = \eta = \zeta = 0$, система эллиптическая (рискну предположить - пусть опытные товарищи поправят - если многочлен даже и вещественно неприводим, то это какой-нибудь сильно эллиптический случай (здесь этого, очевидно, быть не может)).
Если, наоборот, многочлен по максимуму раскладывается на множители, это гиперболический случай. Ну и вырожденные параболические.
Как-то так.
Только в отличие от одного уравнения второго порядка или системы двух первого, здесь вариантов может быть больше, классификация не такая простая. Вот и смотрите, как фишка ложится.
Кстати, что это Вы пугали :) я и правда поверил, что общий случай ни в каком учебнике не описан. На самом деле, в Куранте это есть.

-- Пт май 23, 2014 22:29:53 --

Munin

(Оффтоп)

Уфф! Это Вы широко зачерпнули.
К сожалению, эллиптические задачи я вообще не знаю (задача Дирихле, задача Неймана, вот и все мои познания).
Ну, попытаюсь прокомментировать, исходя из.
Поставленные задачи (часть из них) представляются вполне разумными и осмысленными. Очень вероятно, что что-то из этого уже рассматривалось, но я, увы, не знаком, даже не знаю, по каким словам гуглить.
Второе общее соображение: я бы попробовал для начала прокатать все на уравнении о двух независимых переменных $\Delta u = 0$, т.к. для него все явно выписывается.
Теперь по пунктам:
1. Думаю (это моя гипотеза :), задачу для такой системы надо ставить в виде $F_j(x, u, \underset{1} u, .. , \underset{m} u) = 0$ на границе области, условий столько же, сколько зависимых функций, порядок производной каждой в условиях меньше максимального в системе. Условия вполне могут быть и нелинейными при линейной системе.
1.1. Разумная постановка задачи, но ни о каких результатах в этом направлении не слышал.
1.2. Тут непонятно. С чего бы?
2. Мне скорее кажется возможным наоборот свести задачи с ненулевыми краевыми условиями к задаче с правой частью (с дельтами) и нулевыми краевыми условиями.
3. Тут не понял. Можете привести пример такого преобразования?

[Munin]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #867100 писал(а):

Уфф! Это Вы широко зачерпнули.
К сожалению, эллиптические задачи я вообще не знаю (задача Дирихле, задача Неймана, вот и все мои познания).
Ну, попытаюсь прокомментировать, исходя из.
Поставленные задачи (часть из них) представляются вполне разумными и осмысленными. Очень вероятно, что что-то из этого уже рассматривалось, но я, увы, не знаком, даже не знаю, по каким словам гуглить.
Второе общее соображение: я бы попробовал для начала прокатать все на уравнении о двух независимых переменных $\Delta u = 0$, т.к. для него все явно выписывается.

Ну ладно. Значит, во-первых, я не абсолютную глупость написал (и не абсолютную букварную простоту), а во-вторых, сам я вряд ли справлюсь с этим камнем.

пианист в сообщении #867100 писал(а):

1. Думаю (это моя гипотеза :), задачу для такой системы надо ставить в виде $F_j(x, u, \underset{1} u, .. , \underset{m} u) = 0$ на границе области, условий столько же, сколько зависимых функций, порядок производной каждой в условиях меньше максимального в системе.

Красивая идея.

пианист в сообщении #867100 писал(а):

1.2. Тут непонятно. С чего бы?

Ну, это воодушевлено всякими "разделяющимися переменными" в более изученных случаях ДУЧП. Может, я и слишком нагло запросил :-)

пианист в сообщении #867100 писал(а):

2. Мне скорее кажется возможным наоборот свести задачи с ненулевыми краевыми условиями к задаче с правой частью (с дельтами) и нулевыми краевыми условиями.

Не-не-не, я не свожу задачи с дельтами к задачам с краевыми условиями. Я прошу свести задачу с произвольной правой частью к задаче с дельтами.

пианист в сообщении #867100 писал(а):

3. Тут не понял. Можете привести пример такого преобразования?

Ну, например, уравнения Максвелла - уравнения для 6 переменных (два вектора), сильно "зацепленных" друг с другом, на первый взгляд. Но их можно превратить в волновые уравнения, и тогда они "расцепятся" на независимые 6 уравнений для каждой компоненты вектора. Хм-м-м, это несколько не укладывается в мои узкие рамки...

[пианист]

Munin

(Оффтоп)

Цитата:

это воодушевлено всякими "разделяющимися переменными" в более изученных случаях ДУЧП

Такое разделение переменных это, по-моему, вырожденный случай.
Вы, кстати, Миллера читали? М.б., оттуда что полезное возьмете?

Цитата:

Я прошу свести задачу с произвольной правой частью к задаче с дельтами

Мне кажется, так не может быть. Правая часть задана в пространстве, а краевые условия на границе; т.е. необходимо "согнать" под ноль функцию о трех переменных, манипулируя функцией о двух.
Но это, конечно, пальцевые рассуждения, решалась ли данная задача, не знаю.

Цитата:

уравнения Максвелла - уравнения для 6 переменных (два вектора), сильно "зацепленных" друг с другом, на первый взгляд. Но их можно превратить в волновые уравнения, и тогда они "расцепятся" на независимые 6 уравнений

Боюсь, это тоже специфическое свойство именно УМ (кстати, в очередной раз пользуюсь случаем восхититься их исключительной симметричностью).

[Munin]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #867534 писал(а):

Такое разделение переменных это, по-моему, вырожденный случай.

пианист в сообщении #867534 писал(а):

Боюсь, это тоже специфическое свойство именно УМ

Пессимистично. Ну что ж.

пианист в сообщении #867534 писал(а):

Вы, кстати, Миллера читали?

Нет ещё.

Уф, очередь на "почитать" простирается вперёд уже в разы дальше, чем на ожидаемое время жизни...

[пианист]

Munin

(Оффтоп)

Заглянуть в эту сторону все равно есть смысл. Не это, так что-то другое нароете. Тем более есть такой хороший тестовый случай, на котором все можно обкатывать.

[VikSolve]

пианист в сообщении #867100 писал(а):

trarbish
Собс-но, тип Вашей системы это какое-то классифицирование полинома

$$\begin{vmatrix} (2 \mu + \lambda)\xi^2 + (\mu + \alpha)\eta^2 - \rho \zeta^2 & (\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta& 0 \\ (\mu - \alpha + \lambda) \xi \eta & (\mu + \alpha) \xi^2 + (2 \mu + \lambda) \eta^2 - \rho \zeta^2 & 0 \\ 0 & 0 & B (\xi^2 + \eta^2) - J \zeta^2 \end{vmatrix}$$

где переменные $\xi$, $\eta$, $\zeta$ соответствуют Вашим первой, второй и третьей независимой переменной.
Если вещественные нули многочлена это только $\xi = \eta = \zeta = 0$, система эллиптическая (рискну предположить - пусть опытные товарищи поправят - если многочлен даже и вещественно неприводим, то это какой-нибудь сильно эллиптический случай (здесь этого, очевидно, быть не может)).
Если, наоборот, многочлен по максимуму раскладывается на множители, это гиперболический случай. Ну и вырожденные параболические.
Как-то так.
Только в отличие от одного уравнения второго порядка или системы двух первого, здесь вариантов может быть больше, классификация не такая простая. Вот и смотрите, как фишка ложится.
Кстати, что это Вы пугали :) я и правда поверил, что общий случай ни в каком учебнике не описан. На самом деле, в Куранте это есть.

Я, видимо, занимаюсь проблемой похожей на проблему автора. Не могли бы уточнить, где Курант повествует о типах систем? В "Курсе дифференциального и интегрального исчисления"? Что-то я там не нашел.

[пианист]

VikSolve
Курант, Гильберт. Методы математической физики. Т.2.
В сети легко найдете.

[VikSolve]

пианист
Спасибо, буду разбираться.