Система уравнений с частными производными

[trarbish]

Добрый день!

Мне необходимо определить тип системы уравнений с частными производными. Эллиптический или гиперболический. Система состоит из трех уравнений (три неизвестных функции) с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными.

Пожалуйста, посоветуйте, где можно почитать про это? Может есть задачник с примерами? Очень много литературы просто по отдельным уравнениям, не по системам. По системам нашел только небольшой раздел у Петровского.

Заранее благодарю.

[пианист]

Посмотрите вот эту работу: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

[trarbish]

Спасибо, эту статью Петровского не встречал раньше.

Буду рад услышать, если кто-нибудь подскажет ещё что-нибудь.

[V.V.]

Напишите сюда систему.

[Oleg Zubelevich]

можно дать такое определение гиперболичности, что любая система уравнений, удовлетворяющая условиям теоремы Коши-Ковалевской окажется гиперболической [M Taylor PDE vol 3]

[trarbish]

Система следующая (я добавил дополнительно частную производную по третьей независимой переменной):

${(2\mu+\lambda)u_{1,11} + (\mu+\alpha)u_{1,22} + (\mu-\alpha+\lambda)u_{2,12}+2\alpha u_{3,2}=\rho u_{1,33}$
$(2\mu+\lambda)u_{2,22} + (\mu+\alpha)u_{2,11} + (\mu-\alpha+\lambda)u_{1,12}-2\alpha u_{3,1}=\rho u_{2,33}$
$B(u_{3,11}+u_{3,22}) + 2\alpha (u_{2,1} - u_{1,2} - 2u_{3})=Ju_{3,33}$
u - неизвестные функции. Остальные символы - константы.

В принципе я более менее разобрался с выражениями у Петровского. Без правой части тип системы у меня получился эллиптический.
Проблема в том, что у Петровского не получено выражения в общем виде для системы с тремя независимыми переменными. Пока что ума не приложу, как определять тип системы в данном случае.... Интуиция подсказывает, что должен получится гиперболический тип, но интуиции маловато будет :)

Теорема Коши-Ковалевской действительно может быть полезна, спасибо. Единственно, она не отвечает на вопрос в широком или узком смысле система гиперболическая.

[trarbish]

trarbish в сообщении #865902 писал(а):

Теорема Коши-Ковалевской действительно может быть полезна, спасибо. Единственно, она не отвечает на вопрос в широком или узком смысле система гиперболическая.

Так же в данной теореме необходимы начальные условия, которых у меня нет. Подход Петровского этим и замечатален, что не требуется никаких начальных условий, чтобы узнать тип.

[Munin]

пианист
Правильно ли я понимаю, что в указанной вами работе Петровского, эллиптический и параболический типы рассматриваются для систем уравнений, а гиперболический - только для одиночных уравнений? Существует ли полная классификация систем линейных уравнений, хотя бы для 1-2 порядка?

[trarbish]

Munin
В книге Петровского "Лекции об уравнениях с частными производными" на странице 80 (формула 11.7 и ниже) дается метод определения типа системы для любого порядка с двумя независимыми переменными (у меня, к сожалению, переменных три). Правда, там ничего не сказано о параболическом типе, только гиперболический и эллиптический.

P.s. Ссылка на книгу: http://mechmath.ipmnet.ru/lib/?s=pde&book=2038&get=2038

[пианист]

Munin в сообщении #865957 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что в указанной вами работе Петровского, эллиптический и параболический типы рассматриваются для систем уравнений, а гиперболический - только для одиночных уравнений?

Вроде, так. С гиперболическим случаем он там в более тонкие разборки лезет (включая принцип Гюйгенса и свои знаменитые лакуны), поэтому, с целью сохранения читабельности, рассматривает случай одной зависимой функции.

Цитата:

Существует ли полная классификация систем линейных уравнений, хотя бы для 1-2 порядка?

Я не слышал. Скорее всего, нет; интересна же не классификация сама по себе, а соответствующие теоремы существования и единственности решений, ну и вообще их свойства. С последним же ситуация афаик в простую компактную схему не укладывается.

Дисклаймер: работа Петровского, скорее всего, не отражает последнего слова науки по затронутому в ней кругу вопросов, я рекомендовал ее ОПу, имея в виду лишь возможность получить представление, откуда растут ноги интересующей его классификации.

(Оффтоп)

Кстати, помните, мы на сайнтифике (альтернатива) разбирали хорошее книжечко Адамара по близким вопросам? Тогда тема утухла ввиду недостатка энтузиазма участников (включая впс). Так вот, Вы не хотите подключиться, продолжить и поучаствовать? ;) я думаю, при наличии еще кого-нибудь заинтересованных, можно было бы здесь..

[Munin]

пианист в сообщении #865987 писал(а):

Я не слышал. Скорее всего, нет; интересна же не классификация сама по себе, а соответствующие теоремы существования и единственности решений, ну и вообще их свойства. С последним же ситуация афаик в простую компактную схему не укладывается.

Интересно. Даже для постоянных коэффициентов? Тут же можно даже линейной алгеброй разобраться, и это уже будет некоторое понимание ситуации "в малом". Причём, не обязательно иметь $O(1)$ классификационных категорий, их вполне может быть $O(n),$ или даже $O(n^k)$ - лишь бы явно перечисленных.

(Оффтоп)

пианист в сообщении #865987 писал(а):

Кстати, помните, мы на сайнтифике (альтернатива) разбирали хорошее книжечко Адамара по близким вопросам?

Ох, не помню, извините, память у меня отвратительная (никнейм - жестокая самоирония). А что за книжечко?

Заинтересованного народа здесь, наверное, может случиться больше, чем там и тогда.

[пианист]

Munin
Не, не слышал.
Я, впрочем, уже давно и не слежу, м.б., что-то такое рассматривалось. Знаю также одного хорошего математика, который пытался размышлять на тему геометрии характеристик учп.
Какая, кстати, задача ставится? Была в свое время попытка применить к учп методы гомологической алгебры (Д.Спенсер), правда, польза от этого, насколько я понимаю, если и была, то для гомологической алгебры.

(Оффтоп)

Адамар "Задача Коши для уравнений с частными производными гиперболического типа"

[Munin]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #866448 писал(а):

Какая, кстати, задача ставится?

Хммм.

Ну, я бы подумал, для начала, так.
1. Пусть есть линейное ДУЧП с постоянными коэффициентами (далее "уравнение"), вида $Du=0$ (то есть, однородное - формула соответствует первой формуле раздела II статьи Петровского, с нулевой правой частью). Рассмотрим его в шаре или в кубе. На границах зададим условия вида $\partial^k_{\vec{n}}u_i=f,$ причём каждое условие либо на всей сфере, либо на всей грани куба. Какие комбинации условий необходимы и достаточны для существования и единственности решения?
1.1. Представить решение в виде линейной комбинации по граничным условиям (включает анализ, какие части решения зависят от каких условий, а какие - нет).
1.2. При $f=\mathrm{const},$ свести задачу к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
2. Пусть есть "уравнение" вида $Du=f$ (то есть, неоднородное). Рассмотрим его в неограниченном пространстве, в шаре или в кубе, с нулевыми граничными условиями вида $\partial^k_{\vec{n}}u_i=f,$ заданными на всей сфере, либо на всём кубе, либо (не знаю, как правильно) аналогичные на бесконечности. Как эту задачу можно представить в виде линейной комбинации задач вида $Du=U\,\delta(\vec{r}-\vec{r}_0),$ и каково решение задачи вида $Du=U\,\delta(\vec{r})$ (либо хотя бы, можно ли его свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям)?
3. Найти для "уравнения", какие возможны эквивалентные линейные преобразования системы уравнений и системы неизвестных, и в частности, как определить факт, и найти преобразование, в случае если система может "расцепиться" на независимые части, решаемые по отдельности.
3.1. Может быть, существуют неэкививалентные преобразования, упрощающие решение.

Не знаю, может быть, это скромненько, может быть, давно уже решено в каких-то частях... но мне было бы это интересно.

[trarbish]

Цитата:

${(2\mu+\lambda)u_{1,11} + (\mu+\alpha)u_{1,22} + (\mu-\alpha+\lambda)u_{2,12}+2\alpha u_{3,2}=\rho u_{1,33}$
$(2\mu+\lambda)u_{2,22} + (\mu+\alpha)u_{2,11} + (\mu-\alpha+\lambda)u_{1,12}-2\alpha u_{3,1}=\rho u_{2,33}$
$B(u_{3,11}+u_{3,22}) + 2\alpha (u_{2,1} - u_{1,2} - 2u_{3})=Ju_{3,33}$
u - неизвестные функции. Остальные символы - константы.

Вроде немного от темы отошли... Есть вышенаписанная система уравнений - хотелось бы понять, как определить тип системы? Возможно ли по аналогии формулам Петровского для двух переменных, написать что-нибудь похожее для трех переменных?

[svv]

Скажите, а Вам надо только определить тип, или эту систему надо решить?

Уравнения напоминают что-то из теории упругости (коэффициенты Ламе, да ещё и в характерной комбинации $\lambda+2\mu$), только вмешивается некое анизотропное явление.

Слагаемые в правой части хотелось бы интерпретировать как «массу на ускорение» в уравнении движения (объемная масса есть плотность, а третья координата — время), но тогда непонятно, что такое $u_3$.