пространство и сопряжённое пространство, метрика

[ewert]

Munin в сообщении #1023652 писал(а):

Выбрав метрику (= скалярное произведение),

Munin в сообщении #1023652 писал(а):

в случае метрического пространства (= со скалярным произведением);

Вы напрасно думаете, что можете кому-то помочь, используя нарочито безграмотную терминологию. Слово "метрика" действительно употребляют в разных смыслах, но вот термин "метрическое пространство" уже абсолютно однозначен и ни в коем случае не является синонимом евклидова. И если первая из приведённых цитат ещё приемлема (в разумном контексте), то вторая предназначена исключительно для того, чтобы ввести ТС в заблуждения.

[Munin]

epros в сообщении #1023990 писал(а):

Но трудно помочь, если непонятен смысл вопросов.

Ну вот видите, кому-то понятен, а вам непонятен. Стоит ли вам тогда вмешиваться с попытками помощи? Это же значит, надо не только тратить силы на то, чтобы объяснять что-то спрашивающему. Это надо ещё и вам объяснять, что спрашивал спрашивающий...

-- 06.06.2015 17:26:57 --

ewert
А вы никогда не слышали про обучение от простого к сложному?

[epros]

arseniiv в сообщении #1024008 писал(а):

Не позволять себе мерять расстояния и углы, и, соответственно, ортогонально проецировать и остальное

Тогда нужно чётко оговорить, какие операции на этом листе разрешены. Потому что на рисунке в стартовом сообщении ТС как раз применяет ортогональную проекцию (что не только в неметрическом пространстве, а уже и при неортонормированном базисе неверно). Т.е. вопрос был всего лишь в том, как обойтись без построения ортогоналей, а только, скажем, (1) расширением вектора до прямой, пары векторов -- до плоскости и т.д., (2) параллельным переносом, (3) нахождением точек пересечения прямых, а также прямых, являющихся пересечением плоскостей и т.п., (4) измерением отношения длин отрезков, отложенных на одной прямой?

-- Сб июн 06, 2015 18:52:40 --

Munin в сообщении #1024022 писал(а):

Ну вот видите, кому-то понятен, а вам непонятен.

Уж не Вам ли? Почему бы Вам тогда не помочь мне с пониманием вопроса?

[Munin]

epros в сообщении #1024034 писал(а):

Почему бы Вам тогда не помочь мне с пониманием вопроса?

Ну вот, как я и предсказывал:

Munin в сообщении #1024022 писал(а):

Это же значит, надо не только тратить силы на то, чтобы объяснять что-то спрашивающему. Это надо ещё и вам объяснять, что спрашивал спрашивающий...

[arseniiv]

epros в сообщении #1024034 писал(а):

Потому что на рисунке в стартовом сообщении ТС как раз применяет ортогональную проекцию (что не только в неметрическом пространстве, а уже и при неортонормированном базисе неверно).

Мне просто показалось, что с этим к моменту обсуждения этого мы уже разобрались, и теперь ТС так не будет. Дальше ведь он рисовал что-то аффинное.

[epros]

Munin в сообщении #1024036 писал(а):

Ну вот, как я и предсказывал:

Munin в сообщении #1024022 писал(а):

Это же значит, надо не только тратить силы на то, чтобы объяснять что-то спрашивающему. Это надо ещё и вам объяснять, что спрашивал спрашивающий...

Неужели это так сложно? Мне кажется, что если бы Вы поняли вопрос, то Вам было бы не только несложно объяснить его мне, но это бы и вообще не потребовалось, поскольку я бы всё понял из Вашего ответа топикстартеру. Но пока я вижу, что то, что Вы ответили топикстартеру, является ответом вовсе не на его вопрос.

Вот здесь:

Munin в сообщении #1023652 писал(а):

illuminates в сообщении #1023618 писал(а):

... А так хочется понять, как будет ковектор разлагаться по базису в случае неметрического пространства.

...
Вкратце:
- можно нарисовать "сопряжённые векторы" в виде отрезков со стрелочками, в случае метрического пространства (= со скалярным произведением);
- можно рисовать не отрезки со стрелочками, а другие графические обозначения. В них тоже можно проводить алгебраические вычисления, и в частности, раскладывать ковектор по базису ковекторов.

Топикстартер определённо спрашивает про особенности неметрического пространства, а Вы отвечаете про метрическое.

-- Сб июн 06, 2015 22:54:36 --

arseniiv в сообщении #1024037 писал(а):

Дальше ведь он рисовал что-то аффинное.

Э-ээ, я что-то пропустил? Со стороны топикстартера вижу только один рисунок -- в стартовом сообщении.

[Munin]

epros в сообщении #1024137 писал(а):

Неужели это так сложно?

Это зависит от того, кому объяснять...

[arseniiv]

epros
Кажется, я перепутал и тему, и даже ТС — вроде, это bigarcus. Упс.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1024022 писал(а):

А вы никогда не слышали про обучение от простого к сложному?

Терминологическая путаница сдувает на обочину независимо от направления движения.

[illuminates]

epros в сообщении #1023990 писал(а):

Или что означает $x = x^*$ (равенство вектора и сопряжённого к нему ковектора)? Да, в метрическом пространстве векторы и ковекторы составляют сопряжённые пары (кстати, в неметрическом пространстве это не так).

Это есть следствие изоморфизма в метрических пространствах. Лично я читал это про евклидовы пространства в "Остыловский, А. Н., 2006. Тензоры" стр 51 предпоследний абзац.

И даже рисунок который я нарисовал. Там вектор $\mathbf{A}$=$\mathbf{A^*}$

epros в сообщении #1024034 писал(а):

Т.е. вопрос был всего лишь в том, как обойтись без построения ортогоналей, а только, скажем, (1) расширением вектора до прямой, пары векторов -- до плоскости и т.д., (2) параллельным переносом, (3) нахождением точек пересечения прямых, а также прямых, являющихся пересечением плоскостей и т.п., (4) измерением отношения длин отрезков, отложенных на одной прямой?

Частично вопрос в этом (другая его чать как сделать то же самое с ковектором. рекомендованые книги я уже начал читать). В неметрических пространствах нельзя строить ортогонали? Кроме того не сильно понятно о чём в (3) речь.

-- 07.06.2015, 09:16 --

arseniiv в сообщении #1024037 писал(а):

Мне просто показалось, что с этим к моменту обсуждения этого мы уже разобрались, и теперь ТС так не будет

Не особо понял, что я не буду.

[Munin]

illuminates в сообщении #1024294 писал(а):

В неметрических пространствах нельзя строить ортогонали?

Да, нельзя.

А как вы их построите? По определению, один вектор перпендикулярен другому, если $\mathbf{ab}=0$ (и при этом оба ненулевые). А тут вы даже взять $\mathbf{ab}$ не можете.

Можно взять ковектор, "ортогональный" вектору. Но это графически будет не сильно очевидная вещь. Это будет ковектор, изображаемый "поперечными плоскостями" такими, что данный вектор будет лежать в такой "поперечной плоскости".

[epros]

illuminates в сообщении #1024294 писал(а):

Это есть следствие изоморфизма в метрических пространствах

Ну вот, скажем, множество действительных чисел с операцией сложения изоморфно множеству положительных действительных чисел с операцией умножения. Изоморфизмом между ними является экспоненциальная функция (в обратную сторону -- логарифм). Даёт ли это нам основания считать, что $0 = 1$?

illuminates в сообщении #1024294 писал(а):

Кроме того не сильно понятно о чём в (3) речь.

Скажем, Вы хотите спроецировать некий вектор (отрезок со стрелочкой) на первую ось (которая задаётся первым вектором базиса -- с помощью операции 1). Допустим, пространство двумерно (листок бумаги). Берём вторую ось (которая задаётся вторым вектором базиса -- тоже с помощью операции 1), параллельно переносим её в конец рассматриваемого вектора (это операция 2). Находим точку пересечения перенесённой прямой с первой осью (это как раз операция 3). Проведенный из начала координат в данную точку отрезок со стрелочкой (вектор) является проекцией рассматриваемого вектора на первую ось. Для определения соответствующего коэффициента разложения вектора по базису нам осталось применить операцию 4: измерить отношение длин проекции и первого вектора базиса. Оба отрезка лежат на одной прямой, поэтому операция разрешена.

-- Вс июн 07, 2015 16:30:20 --

P.S. Метричность пространства во всех этих манипуляциях не использовалась. Ортонормированность базиса, разумеется, тоже: В неметрическом пространстве и нет понятия ортонормированного базиса.

[arseniiv]

(Оффтоп)

illuminates в сообщении #1024294 писал(а):

Не особо понял, что я не буду.

Забейте, я же вас тогда перепутал с другим человеком(

[illuminates]

arseniiv в сообщении #1024414 писал(а):

Даёт ли это нам основания считать, что $0 = 1$?

Извиняюсь. Нужно было сразу пояснить. Я знаком "=" обозначаю, символически, изоморфизм.

[arseniiv]

(Цитатка не моя.) Лучше так не делать. Можно писать $\sim$, подразумевая наличие изоморфизма, что будет корректно определённым отношением эквивалентности; можно упоминать изоморфизм явно и писать $f(a) = b$.