2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 16:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Munin в сообщении #1023652 писал(а):
Выбрав метрику (= скалярное произведение),

Munin в сообщении #1023652 писал(а):
в случае метрического пространства (= со скалярным произведением);

Вы напрасно думаете, что можете кому-то помочь, используя нарочито безграмотную терминологию. Слово "метрика" действительно употребляют в разных смыслах, но вот термин "метрическое пространство" уже абсолютно однозначен и ни в коем случае не является синонимом евклидова. И если первая из приведённых цитат ещё приемлема (в разумном контексте), то вторая предназначена исключительно для того, чтобы ввести ТС в заблуждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
epros в сообщении #1023990 писал(а):
Но трудно помочь, если непонятен смысл вопросов.

Ну вот видите, кому-то понятен, а вам непонятен. Стоит ли вам тогда вмешиваться с попытками помощи? Это же значит, надо не только тратить силы на то, чтобы объяснять что-то спрашивающему. Это надо ещё и вам объяснять, что спрашивал спрашивающий...

-- 06.06.2015 17:26:57 --

ewert
А вы никогда не слышали про обучение от простого к сложному?

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
arseniiv в сообщении #1024008 писал(а):
Не позволять себе мерять расстояния и углы, и, соответственно, ортогонально проецировать и остальное
Тогда нужно чётко оговорить, какие операции на этом листе разрешены. Потому что на рисунке в стартовом сообщении ТС как раз применяет ортогональную проекцию (что не только в неметрическом пространстве, а уже и при неортонормированном базисе неверно). Т.е. вопрос был всего лишь в том, как обойтись без построения ортогоналей, а только, скажем, (1) расширением вектора до прямой, пары векторов -- до плоскости и т.д., (2) параллельным переносом, (3) нахождением точек пересечения прямых, а также прямых, являющихся пересечением плоскостей и т.п., (4) измерением отношения длин отрезков, отложенных на одной прямой?

-- Сб июн 06, 2015 18:52:40 --

Munin в сообщении #1024022 писал(а):
Ну вот видите, кому-то понятен, а вам непонятен.
Уж не Вам ли? Почему бы Вам тогда не помочь мне с пониманием вопроса?

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
epros в сообщении #1024034 писал(а):
Почему бы Вам тогда не помочь мне с пониманием вопроса?

Ну вот, как я и предсказывал:
    Munin в сообщении #1024022 писал(а):
    Это же значит, надо не только тратить силы на то, чтобы объяснять что-то спрашивающему. Это надо ещё и вам объяснять, что спрашивал спрашивающий...

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 17:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
epros в сообщении #1024034 писал(а):
Потому что на рисунке в стартовом сообщении ТС как раз применяет ортогональную проекцию (что не только в неметрическом пространстве, а уже и при неортонормированном базисе неверно).
Мне просто показалось, что с этим к моменту обсуждения этого мы уже разобрались, и теперь ТС так не будет. Дальше ведь он рисовал что-то аффинное.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
Munin в сообщении #1024036 писал(а):
Ну вот, как я и предсказывал:
Munin в сообщении #1024022 писал(а):
Это же значит, надо не только тратить силы на то, чтобы объяснять что-то спрашивающему. Это надо ещё и вам объяснять, что спрашивал спрашивающий...
Неужели это так сложно? Мне кажется, что если бы Вы поняли вопрос, то Вам было бы не только несложно объяснить его мне, но это бы и вообще не потребовалось, поскольку я бы всё понял из Вашего ответа топикстартеру. Но пока я вижу, что то, что Вы ответили топикстартеру, является ответом вовсе не на его вопрос.

Вот здесь:
Munin в сообщении #1023652 писал(а):
illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
... А так хочется понять, как будет ковектор разлагаться по базису в случае неметрического пространства.
...
Вкратце:
- можно нарисовать "сопряжённые векторы" в виде отрезков со стрелочками, в случае метрического пространства (= со скалярным произведением);
- можно рисовать не отрезки со стрелочками, а другие графические обозначения. В них тоже можно проводить алгебраические вычисления, и в частности, раскладывать ковектор по базису ковекторов.
Топикстартер определённо спрашивает про особенности неметрического пространства, а Вы отвечаете про метрическое.

-- Сб июн 06, 2015 22:54:36 --

arseniiv в сообщении #1024037 писал(а):
Дальше ведь он рисовал что-то аффинное.
Э-ээ, я что-то пропустил? Со стороны топикстартера вижу только один рисунок -- в стартовом сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
epros в сообщении #1024137 писал(а):
Неужели это так сложно?

Это зависит от того, кому объяснять...

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 22:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
epros
Кажется, я перепутал и тему, и даже ТС — вроде, это bigarcus. Упс.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 22:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32089

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1024022 писал(а):
А вы никогда не слышали про обучение от простого к сложному?

Терминологическая путаница сдувает на обочину независимо от направления движения.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение07.06.2015, 08:13 


22/06/12
417
epros в сообщении #1023990 писал(а):
Или что означает $x = x^*$ (равенство вектора и сопряжённого к нему ковектора)? Да, в метрическом пространстве векторы и ковекторы составляют сопряжённые пары (кстати, в неметрическом пространстве это не так).

Это есть следствие изоморфизма в метрических пространствах. Лично я читал это про евклидовы пространства в "Остыловский, А. Н., 2006. Тензоры" стр 51 предпоследний абзац.
Изображение
И даже рисунок который я нарисовал. Там вектор $\mathbf{A}$=$\mathbf{A^*}$

epros в сообщении #1024034 писал(а):
Т.е. вопрос был всего лишь в том, как обойтись без построения ортогоналей, а только, скажем, (1) расширением вектора до прямой, пары векторов -- до плоскости и т.д., (2) параллельным переносом, (3) нахождением точек пересечения прямых, а также прямых, являющихся пересечением плоскостей и т.п., (4) измерением отношения длин отрезков, отложенных на одной прямой?

Частично вопрос в этом (другая его чать как сделать то же самое с ковектором. рекомендованые книги я уже начал читать). В неметрических пространствах нельзя строить ортогонали? Кроме того не сильно понятно о чём в (3) речь.

-- 07.06.2015, 09:16 --

arseniiv в сообщении #1024037 писал(а):
Мне просто показалось, что с этим к моменту обсуждения этого мы уже разобрались, и теперь ТС так не будет

Не особо понял, что я не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение07.06.2015, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
illuminates в сообщении #1024294 писал(а):
В неметрических пространствах нельзя строить ортогонали?

Да, нельзя.

А как вы их построите? По определению, один вектор перпендикулярен другому, если $\mathbf{ab}=0$ (и при этом оба ненулевые). А тут вы даже взять $\mathbf{ab}$ не можете.

Можно взять ковектор, "ортогональный" вектору. Но это графически будет не сильно очевидная вещь. Это будет ковектор, изображаемый "поперечными плоскостями" такими, что данный вектор будет лежать в такой "поперечной плоскости".

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение07.06.2015, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
illuminates в сообщении #1024294 писал(а):
Это есть следствие изоморфизма в метрических пространствах
Ну вот, скажем, множество действительных чисел с операцией сложения изоморфно множеству положительных действительных чисел с операцией умножения. Изоморфизмом между ними является экспоненциальная функция (в обратную сторону -- логарифм). Даёт ли это нам основания считать, что $0 = 1$?

illuminates в сообщении #1024294 писал(а):
Кроме того не сильно понятно о чём в (3) речь.
Скажем, Вы хотите спроецировать некий вектор (отрезок со стрелочкой) на первую ось (которая задаётся первым вектором базиса -- с помощью операции 1). Допустим, пространство двумерно (листок бумаги). Берём вторую ось (которая задаётся вторым вектором базиса -- тоже с помощью операции 1), параллельно переносим её в конец рассматриваемого вектора (это операция 2). Находим точку пересечения перенесённой прямой с первой осью (это как раз операция 3). Проведенный из начала координат в данную точку отрезок со стрелочкой (вектор) является проекцией рассматриваемого вектора на первую ось. Для определения соответствующего коэффициента разложения вектора по базису нам осталось применить операцию 4: измерить отношение длин проекции и первого вектора базиса. Оба отрезка лежат на одной прямой, поэтому операция разрешена.

-- Вс июн 07, 2015 16:30:20 --

P.S. Метричность пространства во всех этих манипуляциях не использовалась. Ортонормированность базиса, разумеется, тоже: В неметрическом пространстве и нет понятия ортонормированного базиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение07.06.2015, 15:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

illuminates в сообщении #1024294 писал(а):
Не особо понял, что я не буду.
Забейте, я же вас тогда перепутал с другим человеком(

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение07.06.2015, 19:08 


22/06/12
417
arseniiv в сообщении #1024414 писал(а):
Даёт ли это нам основания считать, что $0 = 1$?

Извиняюсь. Нужно было сразу пояснить. Я знаком "=" обозначаю, символически, изоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение07.06.2015, 19:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Цитатка не моя.) Лучше так не делать. :-) Можно писать $\sim$, подразумевая наличие изоморфизма, что будет корректно определённым отношением эквивалентности; можно упоминать изоморфизм явно и писать $f(a) = b$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group