2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 13:14 


22/06/12
417
I. подскажите пожалуйста, правильно ли в моей голове сформировалась картинка:
1) между пространством и ему сопряжённым в общем случае нет гомоморфизма
Если мы введём метрику то
2) между пространством и ему сопряжённым существует гомоморфизм
В частном случае евклидового пространства:
3) между пространством и ему сопряжённым существует изоморфизм (то есть объекты из пространства и сопряжённого пространства можно не различать)
В ещё более частном случае евклидового пространства с ортогональным базисом
4) между пространством и ему сопряжённым существует изоморфизм и верхние и нижние индексы можно не различать

II. Кроме того, у меня такое чувство, что книжки по которым я изучал тензора кое-что не договаривают. А именно, начинают почти сразу исследовать метрические пространства, тем самым не различая $E$ и $E^*$. А так хочется понять, как будет ковектор разлагаться по базису в случае неметрического пространства. Я понимаю, что он функционал, но всё же в чём будет принципиальное отличие такой картинки скажем от картинки для евклидового пространства (здесь вектор и ковектор отождествлены - и обозначены буквой А):
Изображение


III. А есть ли практическая (физическая) польза от неметрических пространств?

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 13:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
А так хочется понять, как будет ковектор разлагаться по базису в случае неметрического пространства.

А как он будет "разлагаться" в случае метрического пространства (учитывая, что в нём векторов вообще нет, вообще говоря)?...

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 13:43 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Не уверен, что я понял, о чём речь, но в метрических пространствах изоморфизм таки есть. Речь ( же о линейных функциях на векторном пространстве, нет? Линейная функция на метрическом пространстве есть скалярное произведение на некий вектор. Не соображу самого простого способа нахождения, но если перейти к ортонормированному базису, то коэффициенты функции перейдут в компоненты этого вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 13:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
iifat в сообщении #1023628 писал(а):
Речь ( же о линейных функциях на векторном пространстве, нет?

Формально говоря -- нет. Если в векторном пространстве есть метрика, то оно -- нормированное, иначе эта метрика бесполезна. Короче, просто путаница в терминологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
I. подскажите пожалуйста, правильно ли в моей голове сформировалась картинка:
1) между пространством и ему сопряжённым в общем случае нет гомоморфизма

В конечномерном случае есть (и даже изоморфизм). (Впрочем, я не над всякими полями знаю.)

Беда другая: он не единственный. То есть, можно взять один, а можно другой, и разницы не будет. Не за что зацепиться. Выбрав метрику (= скалярное произведение), вы этот изоморфизм фиксируете.

illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
II. Кроме того, у меня такое чувство, что книжки по которым я изучал тензора кое-что не договаривают. А именно, начинают почти сразу исследовать метрические пространства, тем самым не различая $E$ и $E^*$. А так хочется понять, как будет ковектор разлагаться по базису в случае неметрического пространства.

Смотрите две книжки:
1. Анго. Математика для электро- и радиоинженеров.
2. Burke W.L. Div, grad, curl are dead.

Вкратце:
- можно нарисовать "сопряжённые векторы" в виде отрезков со стрелочками, в случае метрического пространства (= со скалярным произведением);
- можно рисовать не отрезки со стрелочками, а другие графические обозначения. В них тоже можно проводить алгебраические вычисления, и в частности, раскладывать ковектор по базису ковекторов.

-- 05.06.2015 14:44:03 --

ewert в сообщении #1023630 писал(а):
Короче, просто путаница в терминологии.

Которую изящно привносите вы.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
В частном случае евклидового пространства:
3) между пространством и ему сопряжённым существует изоморфизм (то есть объекты из пространства и сопряжённого пространства можно не различать)
Независимо от наличия изоморфизма всё же лучше различать. В частности, ковектор (градиент скаляра) при изменении масштаба координат преобразуется совсем не так, как вектор (направленный отрезок). Об этом лучше не забывать.

illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
В ещё более частном случае евклидового пространства с ортогональным базисом
4) между пространством и ему сопряжённым существует изоморфизм и верхние и нижние индексы можно не различать
Если базис гарантированно ортонормированный, то верхние и нижние индексы можно не различать.

illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
А так хочется понять, как будет ковектор разлагаться по базису в случае неметрического пространства
Хотелось бы понять, что именно Вам бы хотелось понять. Самый общий ответ заключается в том, что ковектор разлагается по базису ковекторов точно так же, как вектор по базису векторов, т.е. "посредством нахождения коэффициентов линейной комбинации". Если же Вас интересуют частности, а именно, какова конкретная процедура нахождения оных коэффициентов линейной комбинации, то ответ может быть таков: Коэффициенты разложения по базису являются скалярными произведениями разлагаемого ковектора на соответствующие векторы сопряжённого базиса. Базис $\chi^i_{(\mu)}$ является сопряжённым к базису $\xi^{(\nu)}_j$ тогда и только тогда, когда $\chi^k_{(\mu)} \xi^{(\nu)}_k = \delta^{(\nu)}_{(\mu)}$. Существование метрики здесь нигде не предполагается.

illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
А есть ли практическая (физическая) польза от неметрических пространств?
Практическая польза заключается в расширении физического кругозора: Человек начинает понимать, что метрическое пространство -- не единственная физическая возможность. Например, может оказаться так, что эталонный метр при переносе по замкнутому контуру изменяется. В таком случае с помощью данного эталона не удастся определить метрику пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
III. А есть ли практическая (физическая) польза от неметрических пространств?

Ну например, можно вспомнить из школьной физики пространство состояний идеального газа, отображаемое на диаграммах $P\text{-}V,P\text{-}T,V\text{-}T.$ Вот оно - неметрическое. (Более того, перечисленные сетки координат ещё и криволинейны по отношению друг к другу...)

Можно рассмотреть пространство состояний (фазовое пространство) механической частицы или системы частиц: там кроме каждой пространственной координаты $x_i,$ будет ещё и скорость (или импульс) вдоль этой пространственной оси: $v_i$ или $p_i\quad(i=1\ldots 3N).$ Это неметрическое пространство.

Или даже без пространства состояний. Просто пространство положений (конфигурационное пространство) твёрдого тела. Оно шестимерное: положение тела задаётся положением одной какой-то точки ($x,y,z$) и тремя углами поворота твёрдого тела относительно этой точки ($\varphi,\theta,\psi$). Это опять будет неметрическое пространство.

Есть и более сложные и абстрактные примеры. Например, можно рассмотреть пространства функций. И собрать электрическую цепь, и рассмотреть электрические колебания в этой цепи, и заметить, что в пространстве функций эти колебания образуют, скажем, некоторую гиперплоскость. Здесь тоже никакой физической метрики сразу не выдумывается (хотя её можно и придумать).

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 19:24 


22/06/12
417
epros в сообщении #1023681 писал(а):
Независимо от наличия изоморфизма всё же лучше различать. В частности, ковектор (градиент скаляра) при изменении масштаба координат преобразуется совсем не так, как вектор (направленный отрезок). Об этом лучше не забывать.

Я имел ввиду "не различать" в смысле геометрических объектов, то есть скажем $x=x^*$, где $x$-вектор, $x^*$ - ковектор. Компоненты этих штук конечно различаются законами преобразований.

epros в сообщении #1023681 писал(а):
Хотелось бы понять, что именно Вам бы хотелось понять.

Мне бы хотелось в случае неметрических пространств нарисовать на листе вектор и ковектор и спроецировать их на базис и дуальный базис. Впрочем Munin дал наводку где копать.

epros в сообщении #1023681 писал(а):
Например, может оказаться так, что эталонный метр при переносе по замкнутому контуру изменяется. В таком случае с помощью данного эталона не удастся определить метрику пространства.

Вы говорите об абстрактной реализации этого в иной Вселенной или это существует в нашем мире?

ewert в сообщении #1023621 писал(а):
А как он будет "разлагаться" в случае метрического пространства (учитывая, что в нём векторов вообще нет, вообще говоря)?

Я речь веду о векторных пространствах. Последние отвечает на ваш вопрос?

Munin
Спасибо. Да я и сам вспомнил сейчас, что ОТО можно не вводить метрику (до какой-то стадии теории, а именно обычно вводят после уравнения геодезической), а работать в Аффинном многообразии с помощью символов Кристоффеля

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение05.06.2015, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1467
МО
illuminates в сообщении #1023618 писал(а):
А есть ли практическая (физическая) польза от неметрических пространств?

Например, пространство финитных функций, на котором обычно вводят обобщенные функции, не метрическое.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
illuminates в сообщении #1023728 писал(а):
Мне бы хотелось в случае неметрических пространств нарисовать на листе вектор и ковектор и спроецировать их на базис и дуальный базис. Впрочем Munin дал наводку где копать.
Я когда-то тут картинки рисовал: post714353.html#p714353, может, поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
У Бёрке примерно такие же (да и неудивительно), но там чуть более разработано.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
illuminates в сообщении #1023728 писал(а):
Я имел ввиду "не различать" в смысле геометрических объектов, то есть скажем $x=x^*$, где $x$-вектор, $x^*$ - ковектор.
Я не понимаю что это значит. Вектор и ковектор различаются именно как "геометрические объекты". И как интерпретировать это равенство -- непонятно.

illuminates в сообщении #1023728 писал(а):
Мне бы хотелось в случае неметрических пространств нарисовать на листе вектор и ковектор и спроецировать их на базис и дуальный базис.
Xaositect предоставил рисунки. Однако я замечу, что лист -- это уже метрическое пространство, поэтому мне непонятно, каким образом с помощью рисунков на листе Вы надеетесь проиллюстрировать "неметричность" пространства.

illuminates в сообщении #1023728 писал(а):
Вы говорите об абстрактной реализации этого в иной Вселенной или это существует в нашем мире?
Отвечу вопросом: Вы уверены в том, что знаете обо всём, что существует "в нашем мире"?

illuminates в сообщении #1023728 писал(а):
Да я и сам вспомнил сейчас, что ОТО можно не вводить метрику (до какой-то стадии теории, а именно обычно вводят после уравнения геодезической), а работать в Аффинном многообразии с помощью символов Кристоффеля
Уравнения геодезических -- это ещё не ОТО. ОТО, собственно, заключена в уравнениях Эйнштейна. А попробуйте-ка записать их без метрики, только через связности. Нет, ОТО всё же существенно метрическая теория.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ewert и epros
Вы всё-таки близнецы-братья! Оба пришли в тему, не чтобы помочь человеку и пояснить что-то, а чтобы только сильнее запутать. И попинать с высоты своего образования.

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
Munin в сообщении #1023977 писал(а):
пришли в тему, не чтобы помочь человеку и пояснить что-то, а чтобы только сильнее запутать
Почему же? Я именно пытаюсь помочь. Но трудно помочь, если непонятен смысл вопросов.

Например, мне непонятно, что значит "в случае неметрических пространств нарисовать на листе". На листе-то мы, конечно, нарисуем, но где же здесь будет "случай неметрических пространств"? А как разложить вектор по базису в неметрическом пространстве -- я выше как раз написал.

Или что означает $x = x^*$ (равенство вектора и сопряжённого к нему ковектора)? Да, в метрическом пространстве векторы и ковекторы составляют сопряжённые пары (кстати, в неметрическом пространстве это не так). Но в каком смысле мы должны считать их равными? И почему-то именно в случае евклидова пространства...

 Профиль  
                  
 
 Re: пространство и сопряжённое пространство, метрика
Сообщение06.06.2015, 16:50 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
epros в сообщении #1023944 писал(а):
Однако я замечу, что лист -- это уже метрическое пространство, поэтому мне непонятно, каким образом с помощью рисунков на листе Вы надеетесь проиллюстрировать "неметричность" пространства.
Не позволять себе мерять расстояния и углы, и, соответственно, ортогонально проецировать и остальное. Цифорки на осях же легко понимаются без метрики, т. к. это просто скаляры, на которые умножается соответствующий оси вектор.

epros в сообщении #1023944 писал(а):
Вектор и ковектор различаются именно как "геометрические объекты". И как интерпретировать это равенство -- непонятно.
Можно теоретико-множественно (или со стороны другого основания математики, которым мы всё выразили, если вообще это делали, а не взяли просто свою маленькую теорию), хотя это будет, конечно, совершенно безотносительная к линейной алгебре ерунда, и все возможные равенства будут accidental. Например, как равенство $(x,x) = \{\{x\}\}$ — на него не надо обращать внимание и делать какие-то выводы о поведении упорядоченных пар или множеств (хотя в этом случае, не думаю, что можно сильно что-то напортить). Это написано, скорее, для illuminates. :-)

(И ещё в ту же кассу для большей ясности.)

Надо дополнить, что такие случайные совпадения можно отличить, заметив, что какие-то отождествления сделаны произвольно, как в случае определения пары по Куратовскому $(x,y)\equiv\{\{x\},\{x,y\}\}$; «сущность» же пары состоит в существовании (для каждого декартова произведения) двух функций — проекций $\pi_i\colon A_1\times A_2\to A_i$ таких, что $\pi_1(p) = \pi_1(q) \wedge \pi_2(p) = \pi_2(q) \Leftrightarrow p = q$. И если сменить произвольные отождествления, можно получить другие случайные совпадения вместо тех, что были раньше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group