Теорема Ферма. Доказательство

Валерий2 · 28/11/06 106

«Большая теорема Ферма» утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x,y,z , для которых
$x^n + y^n = z^n$ ,
где n простое $\ge 3$ . (1)
Для того, чтобы доказать, что уравнение (1) неразрешимо в целых числах, достаточно привести к противоречию предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел.
x , y , z – попарно взаимно простые числа. (2)
Для них найдётся такое k, что
$x + y = z + k$ (3)
Возведём обе части уравнения (3) в квадрат:
$x^2 + 2xy + y^2 = z^2 + 2zk + k^2$ (4)
$x^2 + y^2 = z^2 + k^2 + 2zk - 2xy = z^2 + k^2 - 2(x - k)(y - k)$ (5)
И при
$x^2 + y^2 = z^2$ k е имеет общего делителя с z. (6)
Возведём обе части равенства (3) в пятую степень:
$x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^5 = z^5 + 5z^4 k + 10z^3 k^2 + 10z^2 k^3 + 5zk^4 + k^5$ (7)
$x^5 + y^5 = z^5 + k^5 - 5(x - k)(y - k)(x + y)(x^2 + y^2 + xy - zk)$ (8)
Рассмотрим случай, когда $n = 5$ в равенстве (1):
$x^5 + y^5 = z^5$ (9)
значит, с учётом (3), $k^5$ делится на $(z + k)$ т.е. z и k имеют общий делитель q. (10)
Рассмотрим уравнение :
$x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}$ (11)
Представим его в виде:
$(x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2$ (12)
Обозначим
$x^n = x_{^n } ,y^n = y_{^{_n } } ,z^n = z_{^n }$ (13)
Тогда (12) примет вид:
$(x_{^n } )^2 + (y_{^{_n } } )^2 = (z_{^n } )^2$ (14)
Для него найдётся такое $k_n$ , что:
$x_{^n } + y_{^{_n } } = z_{^n } + k_n$ (15)
при этом $z_{^n }$ и $k_n$ c учётом (6)должны быть взаимно простыми.
Пусть n=1, тогда (11) примет вид:
$x^2 + y^2 = z^2$ (16)
при этом существует тройка взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих этому уравнению.
Пусть n=5, тогда (15) примет вид:
$x^5 + y^5 = z^5 + k_5$ (17)
Нетрудно заметить, что при
$k_5 = k^5 - 5(x - k)(y - k)(x + y)(x^2 + y^2 + xy - zk)$ (18)
уравнение (17) является пятой степенью уравнения (3) (см .(8)). При этом
$z^5$ и
$k_5$ являются взаимно простыми.
Аналогичны рассуждения для n = 3,7,11…, т.е для всех простых n.
Таким образом, если существует тройка взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (16) ,то обязательно найдётся $k_n$ , взаимно простое с $z_n$ , т .е. уравнение (11), представленное в виде (12) , является общим для всех простых n.
Представим (11) в виде:
$(x^2 )^n + (y^2 )^n = (z^2 )^n$ (19)
Обозначим
$x^2 = x_{^2 } ,y^2 = y_{^2 } ,z^2 = z_{^2 }$ (20)
Тогда (19) примет вид: $(x_{^2 } )^n + (y_{^2 } )^n = (z_{^2 } )^n$ (21)
Для него должно существовать такое $k_2$ ,что $x_{^2 } + y_{^2 } = z_{^2 } + k_2$ (22)
при этом с учётом (10) $z_{^2 }$ и $k_2$ должны иметь общий делитель q.
Однако, при этом на q должна делиться сумма $(x^2 + y^2 )$ ,что невозможно.
Таким образом, предполагая, что существует тройка взаимно простых
x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1), приходим к невозможности существования уравнения (22), хотя при
$k_2 = k^2 - 2(x - k)(y - k)$ (22) – это вторая степень уравнения (3).
Эти рассуждения справедливы для всех простых n, поэтому можно утверждать, что теорема Ферма верна для всех простых
$n \ge 3$ .

Валерий2 · 28/11/06 106

Здравствуйте, уважаемые участники форума!
Несколько удивляет зияющий «ноль» в графе ответов на моё доказательство.
Не думаю, что все, кто его просмотрел,- праздношатающиеся по форумам.
Быть может, не всем ясна суть доказательства.
Без особых комментариев :
1. $x + y = z + k$

$(x + y)^2 = (z + k)^2$
$(x + y)^3 = (z + k)^3$
$(x + y)^5 = (z + k)^5$ и т.д.
2. $x^2 + y^2 = z^2$
При этом $x + y = z + k$
k не имеет общего делителя с z.
$(x + y)^3 = (z + k)^3$
$(x + y)^5 = (z + k)^5$ и.т.д.
3. $x^n + y^n = z^n$
При этом $x + y = z + k$
k и z имеют общий делитель q.

$(x + y)^2 = (z + k)^2$ -очевидно.
Я показал, что при взаимно простых x,y,z
и простых n это очевидное невыполнимо.
Вот и всё, собственно.
С уважением Валерий2

TOTAL · 23/08/07 5487 Нов-ск

Валерий2 писал(а):

Быть может, не всем ясна суть доказательства.

Какую роль при доказательстве для случая $n=5$ играет случай $n=2$ ?

shwedka · 11/12/05 3542 Швеция

Валерий2 писал(а):

k и z имеют общий делитель q.

Поясните, пжлста, чему это противоречит.
Да, x,y,z попарно взаимно просты,
но это никак не влияет на общие множители
x+y и z

Валерий2 · 28/11/06 106

Уважаемый TOTAL, только познавательную. Здесь важна только вторая степень уравнения
$x + y = z + k$

Уважаемая shwedka, это ничему не противоречит.Используя это свойство, из уравнения (22) приходим к тому, что сумма $x^2 + y^2$ должна делиться на q, но на q делится $x + y$ .

TOTAL · 23/08/07 5487 Нов-ск

Валерий2 писал(а):

Уважаемый TOTAL, только познавательную. Здесь важна только вторая степень уравнения
$x + y = z + k$

А вторая степень при чем?

Валерий2 · 28/11/06 106

Уважаемый TOTAL, пожалуйста, посмотрите повнимательней сообщение, начиная с уравнения (22) и далее

shwedka · 11/12/05 3542 Швеция

Валерий2 писал(а):

Уважаемая shwedka, это ничему не противоречит.Используя это свойство, из уравнения (22) приходим к тому, что сумма $x^2 + y^2$ должна делиться на q, но на q делится $x + y$ .

Вы пишете то же самое и третьей, и для пятой степени
и почему-то утверждаете, что из Ваших рассуждений следует ВТФ.
Вот эту последнюю часть попробуйте объяснить, пжлста.

AD · 17/06/06 5004

Валерий2 писал(а):

значит, с учётом (3), $$ k^5 $$

делится на $$ (z + k) $$

А пачемууу?

TOTAL · 23/08/07 5487 Нов-ск

Валерий2 писал(а):

Однако, при этом на q должна делиться сумма $(x^2 + y^2 )$ ,что невозможно.

Почему должна и почему невозможно?

shwedka · 11/12/05 3542 Швеция

Валерий2
вы этого просили, на Вас набросились сразу несколько активистов. Попробую подытожить, чтобы Вам не отбиваться от нападок с разных сторон. Вы рассматриваете одновременно уравнения
$x^2+y^2=z^2$ и $x^n+y^n=z^n$ при взаимно простых числах. Пытаетесь вывести противоречие. Заметьте, однако, что речь в этих равенствах идет о РАЗНЫХ тройках чисел, хотя Вы их и обозначили одинаковыми буквами, потому никакие закономерности, найденные Вами для решений первого уравнения, нельзя использовать при анализе второго.

Валерий2 · 28/11/06 106

Уважаемая shwedka, я рассматриваю их не одновременно.Если беру уравнение n-й степени, то прихожу к уравнению $x^2 + y^2 = z^2 + k_2$ , а не к $x^2 + y^2 = z^2$ , как Вы говорите. Обратите, пожалуйста, ещё раз внимание на рассуждения, начиная с уравнения (19).
А представление уравнения (11) в виде (12) я и привёл для того, чтобы не было представления о разных тройках чисел.
Просто существование тройки взаимно простых чисел, удовлетворяющих ОДНОМУ из этих уравнений ,накладывает определённые ограничения.
Так, если $x^2 + y^2 = z^2$ , то для 5,7... степеней уравнения (3) должны быть взаимно простыми $z^5$ и $\[ k_5 \]$ , $z^7$ и $\[ \[ k_7 \] \]$ .
Ограничения, накладываемые на
$z^n$ и $\[ k_{^n } \]$

при условии выполнения уравнения (1) делают невозможным существование очевидного равенства-второй степени уравнения (3)

Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:

shwedka писал(а):

Валерий2 писал(а):

Уважаемая shwedka, это ничему не противоречит.Используя это свойство, из уравнения (22) приходим к тому, что сумма $x^2 + y^2$ должна делиться на q, но на q делится $x + y$ .

Вы пишете то же самое и третьей, и для пятой степени
и почему-то утверждаете, что из Ваших рассуждений следует ВТФ.
Вот эту последнюю часть попробуйте объяснить, пжлста.

Уравнение(22) -это вторая степень уравнения (3) , вне зависимости от n

bot · 21/12/05 5931 Новосибирск

Если бы сюда не зашёл AD, то эту неосмысленную игру в буковки комментировать совсем неинтересно - видел тему сразу, как появилась. А вот подпись AD нахожу забавной.

AD писал(а):

Кошмар математика - последовательность $n_\varepsilon$ , стремящаяся к нулю при $\varepsilon \longrightarrow +\infty$ .
© П.Халмош

А ведь так оно и есть, ежели $\varepsilon$ заставить пробегать натуральный ряд, а под $n_\varepsilon$ понимать наименьшее возможное натуральное число, требуемое по определению предела,

P.S. Знаю, что втык от модераторов за оффтоп получу, однако не так уж и часто уже хулиганю. Из бани пришёл - вот и потянуло.

Однако эту тему никаким оффтопиком не испортишь.

shwedka · 11/12/05 3542 Швеция

Валерий2
Вcе Ваши неприятности от того, что Вы обозначаете разные числа одинаковыми буквами. В 3, 6 и 11 'x' одно и то же или разные?
Попробуйте написать рассуждение для n=3, не путая буквы.

Валерий2 · 28/11/06 106

shwedka писал(а):

Валерий2
Вcе Ваши неприятности от того, что Вы обозначаете разные числа одинаковыми буквами. В 3, 6 и 11 'x' одно и то же или разные?
Попробуйте написать рассуждение для n=3, не путая буквы.

Без особых комментариев:
$x^{2 \bullet 3} + y^{2 \bullet 3} = z^{2 \bullet 3}$ (11)
$(x^3 )^2 + (y^3 )^2 = (z^3 )^2$ (12)
$(x_{^3 } )^2 + (y_{^3 } )^2 = (z_{^3 } )^2$ (14)
При этом ОБЯЗАТЕЛЬНО найдётся $k_3$ , что
$x_{^3 } + y_{^3 } = z_{^3 } + k_3$ (15)
$x^3 + y^3 = z^3 + k_3$ (17)
При $k_3 = k^3 - 3(x - k)(y - k)(x + y)$ уравнение (17)-это третья степень уравнения (3).
Аналогичные рассуждения:
из (11):
$(x^2 )^3 + (y^2 )^3 = (z^2 )^3$ (19)
$(x_{^2 } )^3 + (y_{^2 } )^3 = (z_{^2 } )^3$ (21)
и должно существовать $k_2$ ,что
$x_{^2 } + y_{^2 } = z_{^2 } + k_2$ (22)
при этом с учётом (10)
$z_{^2 }$ и $k_2$ должны иметь общий делитель q, при этом на q должно делиться $x^2 + y^2$ .

Научный форум dxdy

Правила форума

Теорема Ферма. Доказательство

Кто сейчас на конференции