«Большая теорема Ферма» утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x,y,z , для которых
,
где n простое
. (1)
Для того, чтобы доказать, что уравнение (1) неразрешимо в целых числах, достаточно привести к противоречию предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел.
x , y , z – попарно взаимно простые числа. (2)
Для них найдётся такое k, что
(3)
Возведём обе части уравнения (3) в квадрат:
(4)
(5)
И при
k е имеет общего делителя с z. (6)
Возведём обе части равенства (3) в пятую степень:
(7)
(8)
Рассмотрим случай, когда
в равенстве (1):
(9)
значит, с учётом (3),
делится на
т.е. z и k имеют общий делитель q. (10)
Рассмотрим уравнение :
(11)
Представим его в виде:
(12)
Обозначим
(13)
Тогда (12) примет вид:
(14)
Для него найдётся такое
, что:
(15)
при этом
и
c учётом (6)должны быть взаимно простыми.
Пусть n=1, тогда (11) примет вид:
(16)
при этом существует тройка взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих этому уравнению.
Пусть n=5, тогда (15) примет вид:
(17)
Нетрудно заметить, что при
(18)
уравнение (17) является пятой степенью уравнения (3) (см .(8)). При этом
и
являются взаимно простыми.
Аналогичны рассуждения для n = 3,7,11…, т.е для всех простых n.
Таким образом, если существует тройка взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (16) ,то обязательно найдётся
, взаимно простое с
, т .е. уравнение (11), представленное в виде (12) , является общим для всех простых n.
Представим (11) в виде:
(19)
Обозначим
(20)
Тогда (19) примет вид:
(21)
Для него должно существовать такое
,что
(22)
при этом с учётом (10)
и
должны иметь общий делитель q.
Однако, при этом на q должна делиться сумма
,что невозможно.
Таким образом, предполагая, что существует тройка взаимно простых
x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1), приходим к невозможности существования уравнения (22), хотя при
(22) – это вторая степень уравнения (3).
Эти рассуждения справедливы для всех простых n, поэтому можно утверждать, что теорема Ферма верна для всех простых
.