Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

bntr в сообщении #1017184 писал(а):

http://www.forumklassika.ru/showthread. ... ost1362771

Спасибо за напоминание.

Там дальше дело дошло до моего опрометчивого заявления:

commator в Сети писал(а):

я непременно пожелаю избавиться в этой Вашей интерпретации от ненавистных мне дитонических терций 408 центов (81/64), для чего буду их заменять на логически оправданные контекстом пьесы синтонические терции 386 центов (5/4) и не буду пробовать вместо них арифметически более близкие ундевицесимальные терции 404 цента (24/19), т. к. их выразительность (ЧИП19) окажется запредельной для этой музыки, верно звучащей в ЧИП5 или осторожной ЧИП7, от силы

Вынужден ныне брать свои слова назад, к чему готовлюсь давать детальные пояснения.

commator в сообщении #1014052 писал(а):

можно оправдать в рамках ЧИП19 существование системы 12РДО, её построение от

$a1\leftarrow 440[Hz]$

и примат минора, вместо мажора, в придачу.

[commator]

bntr в сообщении #1017184 писал(а):

продолжу тему "эпиморной факторизации".

Понял, что она хорошо подходит для альтернативной формулы "гармонического расстояния"
(которое ранее упоминалось здесь: http://www.forumklassika.ru/showthread. ... ost1362771 ).

Ссылка выводит не точно на место упоминания, а на страницу, где его найти не удаётся. Может быть процитируете?

[bntr]

commator в сообщении #1017660 писал(а):

bntr в сообщении #1017184 писал(а):

Понял, что она хорошо подходит для альтернативной формулы "гармонического расстояния"
(которое ранее упоминалось здесь: http://www.forumklassika.ru/showthread. ... ost1362771 ).

Ссылка выводит не точно на место упоминания, а на страницу, где его найти не удаётся. Может быть процитируете?

Имел ввиду формулу, подобную приведенной здесь:

bntr в сети писал(а):

В данных трёх прогонах использовалась следующая формула "гармонического расстояния" (альтернативная формулам Эйлера и Барлоу и, по-моему, и более простая):
g(r) = a1^2*p1^k + a2^2*p2^k + ...
для r - рационального числа p1^a1*p2^a2*... (p - простые числа, a - могут быть отрицательны)
т.о. k может означать не-"освоенность" больших пределов ЧИ (для k = 5 выходит чуть ли не ЧИП3, а для k = 0 аж ЧИП19).

[commator]

bntr в сообщении #1017184 писал(а):

Заметил, что в случае (1)==(4)==(3)==(1) уже не используется 5 (как простой множитель), т.е. второй вариант в каком-то смысле проще.

Это должно порождать менее выразительную гармоническую последовательность перехода от 8-го обертона к 15-му, что может не соответствовать художественному замыслу.

[bntr]

commator в сообщении #1017664 писал(а):

Это должно порождать менее выразительную гармоническую последовательность перехода от 8-го обертона к 15-му, что может не соответствовать художественному замыслу.

Оба варианта отдельно:

(1)      .                    8   [10]            15
                              i                    i
(2)         |     |     |     4-----5     |     |  i  |     |     |
                                    i              i
(5)                  |              2--------------3              |



(1)      .                    8         [12]      15
                              I                    I
(3)            |        |     I  |        4========5        |
                              I           I
(4)               |           2===========3           |           |

Если при звучании 15/8 действительно кроме скалы (1) достраиваются другие скалы,
то, похоже, мозгу приходится выбирать промежуточный звук: [10] или [12].

Или оба варианта имеются ввиду одновременно как некие потенциальные альтернативы.

[commator]

bntr в сообщении #1017184 писал(а):

мы можем перейти от отношений самого интервала (15/8) и его множителей (3/2, 5/4) к отношениям между индексами "связывающих" интервал скал: (1)--(2)--(5)--(1) или (1)==(4)==(3)==(1)

Это и означает возможность приписывания интервалам ГФ (гармонических функций), притом интервал между двумя неизменными высотами позволяет приписывать себе изменяющиеся и хорошо различимые ГФ.

Кроме того, изменяющиеся, но неразличимые или плохо различимые ГФ, позволяют между собой отождествление, что даёт возможность считать одинаковыми не совпадающие в действительности высоты, например, на расстоянии не более $5..6~c\leftarrow JND$ (just-noticeable difference ~ порог различимости),



т. е. ради расширения множества допустимых интерпретаций одного и того-же через его роли в другом, ложные и правдивые, внутри порога различимости можно уравнивать в правах знаки $\equiv,\approx$.

Алиева 2013 писал(а):

Пороговые величины как характеристики музыкальных представлений подробно изучались многими авторами. У С. Л. Рубинштейна в «Основах общей психологии» мы можем прочесть, что «величина порога различения, или разностного порога высоты, (по данным Т. Пэра, В. Штрауба, Б. М. Теплова) в средних октавах у большинства людей находится в пределах от 6 до 40 центов. У высокоодаренных в музыкальном отношении детей, обследованных Л. В. Благонадежиной, пороги оказались равны 6-21 центам» [9, 205]. Н. А. Гарбузов в работе «Зонная природа звуковысотного звука» отмечает, что «даже для развитого слуха порог различения двух звуков по высоте равен 5-6 ц.» [8, 127]. Эти данные позволяют полагать, что, как правило, разницу по высоте менее 5-6 центов слух не улавливает.

-- 20.05.2015, 10:38 --

bntr в сообщении #1017678 писал(а):

мозгу приходится выбирать

Сие происходит в процессе составления композиции, полагаю.

Когда готовая композиция предъявляется через чистую интонацию по точной нотации, мозгу остаётся только восприятие выбора композитора.

[commator]

commator в сообщении #1017712 писал(а):

Когда готовая композиция предъявляется через чистую интонацию по точной нотации, мозгу остаётся только восприятие выбора композитора.

Пример предъявления двух различимых композиций Вашего сочинения, доказывающих правдивое родство сонантов из натуральных скал :Ø[1/1]ø, :T[2/1]ø, :M[5/1]ø и :Ø[1/1]ø, :D[3/1]ø, :TT[4/1]ø.

bntr в сообщении #1017678 писал(а):

Оба варианта отдельно:

(1)      .                    8   [10]            15
                              i                    i
(2)         |     |     |     4-----5     |     |  i  |     |     |
                                    i              i
(5)                  |              2--------------3              |



(1)      .                    8         [12]      15
                              I                    I
(3)            |        |     I  |        4========5        |
                              I           I
(4)               |           2===========3           |           |

[commator]

commator в сообщении #1017712 писал(а):

внутри порога различимости можно уравнивать в правах знаки $\equiv,\approx$.

Также и вблизи к порогу различимости снаружи.

[commator]

commator в сообщении #1007379 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1006574 писал(а):

... останется только вычислять, не заботясь о том, что представляют собой числа.
Шевалье Л. История учений о гармонии.
Пер. с франц., М., 1931, сc. 45 — 46.
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14/1/1.html

В этой книжке обнаружилось следующее:

Шевалье 1925(1932) писал(а):

Великий Лейбниц", говорит Эйлер, "утверждает, что музыкант считает лишь до 5; но если моё предположение основательно, можно сказать, что в композиции считают до 7

Подтверждение доступно:

Эйлер 1766 писал(а):

великий Лейбниц уже заметил, что музыка еще не научилась считать более 5; что также, несомненно, верно в инструментах предоставленных в соответствии с принципами гармонии. Но если мое предположение верно, мы можем сказать, что в композиции счёт уже имеется до 7

(Французский)

le grand Leibnitz a déjà remarqué que dans la Mufique on n'a pas encore appris à compter au delà de 5; ce qui eft auffi inconteftablement vrai dans les Inftrumens accordés felon les principes de l'harmonie. Mais, fi ma conjecture a lieu, on peut dire que dans la compofition on compte déjà jusqu'a 7

Наблюдается момент зарождения внимания к тому, что сегодня называется пределы чистой интонации и Эйлер, развивая подмеченное Лейбницем, явно указывает на высокую вероятность выхода музыкального мышления за пределы чистой интонации, допустимые на существующих для текущего момента инструментах.

Очень полезно 16-й вывод Леонарда Павловича дочитать до конца:

Эйлер 1766 по Скарамазза писал(а):

Это новый жанр музыки, что уже начался, и таковой был неизвестен древним. В этом жанре, аккорд 4, 5, 6, 7, есть наиболее полная гармония, так как она содержит числа 2, 3, 5 и 7. Но он также более сложный, чем идеальный аккорд в распространенном жанре, который только содержит числа 2, 3 и 5. Если он безупречный в композиции, мы могли бы попытаться подвести инструменты к тому же уровню.

(Английский)

This is a new genre of music that has already begun and that was unknown to the ancients. In this genre, the chord 4, 5, 6, 7, is the most complete harmony, since it contains the numbers 2, 3, 5, and 7. But it is also more complicated than the perfect chord in the common genre that only contains the number 2, 3 and 5. If it is perfect in composition, we might try to hold the instruments to the same level.

[commator]

commator в сообщении #1018090 писал(а):

Эйлер 1766 по Скарамазза писал(а):

Это новый жанр музыки, что уже начался, и таковой был неизвестен древним. В этом жанре, аккорд 4, 5, 6, 7, есть наиболее полная гармония, так как она содержит числа 2, 3, 5 и 7.

(Английский)

This is a new genre of music that has already begun and that was unknown to the ancients. In this genre, the chord 4, 5, 6, 7, is the most complete harmony, since it contains the numbers 2, 3, 5, and 7.

В наше время пишут, что жанр септимальной музыки (использующей число 7) был и древним известен:

Варден 1959 писал(а):

Существует три вида тональностей: энгармоническая, хроматическая и диатоническая. Их интервалы, по Архиту, будут (в последовательности от высоких к низким):
энгармоническая — (5:4), (36:35), (28:27);
хроматическая — (32:27), (243:224), (28:27);
диатоническая — (9:8), (8:7), (28:27);

Архитовой называют и комму :[64/63], что побуждает изгибаемые этой коммой пифагорейские высоты называть также архитовыми.

В сонантометрии это отражено обозначением изгиба на архитову комму вверх греческими символами Αρ, (произносится ар-комма) перед именем ноты и/или соответствующим римским номером ступени. Изгиб пифагорейской высоты на архитову комму вниз обозначатся так же, но c обратным порядком букв ρΑ, (произносится ра-комма).

Архитова комма менее известна, пока, чем комма дидимова :[81/64], изгибающая пифагорейскую высоту вверх/вниз до дидимовой по обозначениям Δι,/ιΔ, (произносится ди-комма/ид-комма) соответственно.

Пример выше (Варден 1959) в сонантометрии станет таким:

энгармоническая -- =iv:2T[4/3]d ―2T[4/5]m_ Δι,IIь:4T[16/15]md ―MQ[35/36]2d2t_ ρΑ,IIь:2TQ[28/27]3d ―3D[27/28]q2t_ =I:Ø[1/1]ø;
хроматическая ---- =iv:2T[4/3]d ―3D[27/32]5t_ =II:2D[9/8]3t ―5TQ[224/243]5d_ ρΑ,IIь:2TQ[28/27]3d ―3D[27/28]q2t_ =I:Ø[1/1]ø;
диатоническая ---- =iv:2T[4/3]d ―3T[8/9]2d_ =IIIь:5T[32/27]3d ―Q[7/8]3t_ ρΑ,IIь:2TQ[28/27]3d ―3D[27/28]q2t_ =I:Ø[1/1]ø.

[commator]

Ищу доказательство истинности высказывания:

Кул писал(а):

513/512 ундевицесимальная комма, комма Боэция

(Английский)

513/512 undevicesimal comma, Boethius' comma

Нашёл для коммы Боэция другое соотношение:

Веркмайстер 1707 по Розанову писал(а):

комма Боэтия [Comma Boetianum] [с интервальным соотношением] 524238:531441 (которая еще немного больше, чем так называемая комма Царлино [Comma Zarlinianum] 80-81

Дальше — правда-матка блаженного про октавы, квинты и терции:

Веркмайстер 1707 по Розанову писал(а):

Также как Бог и вечно гармоничное СЛОВО [Святого Писания] представлены цифрами [читай: интервальными соотношениями] 1-2 [3] и Дух Христов представлен числом 3 как [соотношение] 2-3, так Люцифер поставил себя вместо Духа Христова и вознесся слишком высоко, следовательно, он не может гармонировать [nicht harmoniren konne] с истинным и вечным Господом нашим и должен быть отвергнут: но как же этому помочь? Omnia ab Uno, omnia ad Unum [«Всё исходит из одного и всё приходит к одному» (из алхимии), дословно: «Всё из единого, всё к единому» (лат.)]: Подобно тому, как все слишком сильно завышенные Quinten должны быть уменьшены на 1/12 Commatis, в результате чего все Quinten бьются слегка занижено с некоторой, даже совсем терпимой и приятной благозвучностью [in gantz ertraglicher und lieblicher Harmonia], также, стало быть, и Дух Христа покорно смиряется и набирается мужества, чтобы отвергнуть и изгнать Люцифера и ради всех двенадцати племен [Израиля] и Апостолов, то есть ради блага всех людей принизил себя, приняв облик слуги, чтобы найти примирение с вечным Отцом нашим. И как ныне число 5, о чем сказано выше, ? человеческое число [eine menschliche Zahl ist], и пропорция 4:5 [т. е. интервальное соотношение большой чистой терции] является совмещением божественного и человеческого чисел, соединенных в пропорции, то и эта пропорция 4:5 смещается [wird verrucket] со своего чистого места или [со своей чистой] интонации пропорцией 2:3 [то есть квинтой] [4], которую Люцифер ввел, когда она [то есть чистая квинта], как сказано выше, при беспрерывном перемещении превращается в диссонанс [5]. Благодаря этому теперь можно сделать единственное заключение о человеческом [с. 108] грехопадении, ибо человек был соблазнен Люцифером, старым змием, который воспарил в своих желаниях слишком высоко и привнес тем самым диссонанс в человеческий род.

Оказывается Люцифер виноват в том, что четыре натуральные, т. е. слишком сильно завышенные квинты лишают Дух Христа возможности снисходить до таковых человечно-пониженных, а посему природные квинты надо понизить коммой, поделённой на 12 Апостолов ради всех 12-ти племен Израиля и изгнания Люцифера в точке терпимого завышения пропорции 4:5 от совмещения божественного и человеческого.

[Свободный Художник]

Уважаемый commator.
Где-то раньше Вы писали о важности такого теоретико-музыкального понятия, как pitch class:
http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_class

Хочу обратить Ваше внимание, что в случае Пифагорейских питчей их pitch classes очень естественным образом определяются в предложенной мною модели:

Свободный Художник в сообщении #1012592 писал(а):

В несколько более общем виде эта идея видится мне следующим образом.
Построение Пифагорейского звуко-интервального универсума:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/5.html

Свободный Художник в сообщении #1013678 писал(а):

Построенный там бесконечный граф, в котором по определенным правилам помечены вершины и дуги, можно рассматривать как граф, задающий вполне определенный автомат (в смысле стандартных определений):
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/1.html

Этот автомат будет, очевидно, моногенным (поскольку в нем выделено начальное состояние C4) и транзитивным. Я переписал в этой парадигме упоминавшиеся выше "формулы Римана":
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/6.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1019176 писал(а):

очень естественным образом определяются в предложенной мною модели

Поскольку модель из музыкального материала, мне представляется наиболее естественным её образ предельно близкий к возникающему на нотной бумаге, т. е. на плоскости, где по горизонтали упорядочены слева направо моменты времени, а по вертикали снизу вверх — высоты.

Полезно всегда помнить, что вне времени музыкальный материал нельзя предъявлять в виде ощущаемых моделей.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1019176 писал(а):

о важности такого теоретико-музыкального понятия, как pitch class: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_class

Высотный класс, или множество октавно-подобных высот одного имени, мне чаще хочется называть системой ЧИП2 (чистая интонация предела 2 ~ 2-limit Just Intonation, 2LJI).

Важность ЧИП2 столь значительна, что октавное подобие высот называют даже октавным тождеством, но мне сие представляется не бесспорным. Бесспорно то, что ЧИП2 оказывается подсистемой всех систем ЧИ более высоких пределов и мне неизвестно, кто до 20-го века осмеливался темперировать октавы, чистоту которых стремятся и теперь поддерживать с предельной точностью в наиболее популярных настройках.

Рассуждая о возможности системы ЧИП2 содержать подсистемы ЧИ, можно выделить ещё ЧИП1, т. е. множество примо-тождественных высот одного имени, но мне даже в англоязычной литературе не попадалось словосочетание 1-limit just intonation, хотя у чистой примы есть одно уникальное свойство: две в точности одинаковых высоты нельзя ощутить, если их стимулировать унисоном пары одинаковых и противофазных синусоид. Отсюда вывод: нельзя солгать утверждая, что чёрная тишина есть унисон пары одинаковых и противофазных белых шумов.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1019276 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1019176 писал(а):

очень естественным образом определяются в предложенной мною модели

Поскольку модель из музыкального материала, мне представляется наиболее естественным её образ предельно близкий к возникающему на нотной бумаге, т. е. на плоскости, где по горизонтали упорядочены слева направо моменты времени, а по вертикали снизу вверх — высоты.
Полезно всегда помнить, что вне времени музыкальный материал нельзя предъявлять в виде ощущаемых моделей.

Что же поделать, если система ЧИП3 (являющаяся, очевидно, моделью из "музыкального материала") представляет собой свободную абелеву группу с двумя образующими. Поэтому и плоскость для ее графического изображения наилучшим образом подходит. Мне казалось, что у нас по этому поводу достигнут некий консенсус.

Свободный Художник в сообщении #1011865 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1011622 писал(а):

Честно говоря, у меня слово "комбинаторная" в словосочетании "комбинаторная теория групп" никогда не ассоциировалось с игрой в кости. Сама теория устойчиво ассоцировалась с использованием графов, как об этом написано, в частности, в замечательной книге Гроссмана и Магнуса "Группы и их графы".

Я считаю, что их графическое представление "группы городских улиц" достаточно близко к тому, чтобы стать основой графического представления для бесконечной абелевой группы ЧИП3:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/5/2/7/6.html

commator в сообщении #1011910 писал(а):

Надо же!