Самостоятельно изучаю ТАУ - помогите разобраться в учебнике

[themaster]

Добрый день!
Давным-давно закончился университет, где я благополучно проспал курс ТАУ - а потом внезапно стал автоматчиком. И чувствую, зря проспал, надо навёрстывать. Скачал учебник, потом другой, третий, наконец - остановился на Modern Control Engineering, Katsuhiko Ogata, 5 редакция. Начал читать, всё более-менее понятно, но на разделе Transient Response of Higher-Order Systems споткнулся: математики не хватает. Может, завсегдатаям не затруднит объяснить непонятные моменты?
Далее - перевод "близко к тексту" страницы 180:
Переходную функцию можно записать так:
$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K(s+z_1)(s+z_2)...(s+z_m)}{(s+p_1)(s+p_2)...(s+p_n)}$
[тут пока всё понятно]
Проверим ответ системы на единичную ступенчатую функцию. Допустим, все полюсы закрытого цикла существуют и отличаются друг от друга. Тогда уравнение можно переписать так:
C(s)=$\frac{a}{s}+\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{a_i}{s+p_i}$,причём сумма от $i=1$ до $n$ (не разобрался, как это записать).
[тут непонятно, как именно перешли от одной формулы к другой, но - оставлю на потом. То, что ниже - важнее]
Здесь $a_i$ - остаток полюса при $s=-p_i$. Вот тут уже начинается непонятность: что имеется в виду под "остатком полюса" (residue of the pole)? Если $s=-p_i$, то один из множителей становится нулём и функция улетает в бесконечность, так? А тогда - какой остаток?
Дальше - совсем непонятная фраза:
"If all closed-loop poles lie in the left-half s plane, the relative magnitudes of the residues determine the relative importance of the components in the expanded form of $C(s)$"
Я её перевёл как:
"Если все полюсы замкнутого цикла лежат в левой части плоскости s (в смысле, комплексной плоскости, что ли?), то относительные величины остатков определяют относительную важность компонентов в развёрнутой (expanded) форме $C(s)$".
Левая часть плоскости - это действительная часть меньше нуля? А почему это так важно, в чём разница с правой частью?
Относительная величина - это модуль, длина от начала координат до полюса? Кстати, о птичках: комплексные корни (и полюса) рассматриваются ниже, значит - у нас все полюса действительны. То есть, получается, что просто величина имеется в виду? И что может считаться развёрнутой формой $C(s)$? Может, где-то можно почитать конкретно про это поподробнее? А то я сунулся пару раз в Яндекс - он мне вываливает советы "прочитай книгу на 100500 страниц, тогда, может, найдёшь что надо". Ткните, пожалуйста, пальцем, какое конкретно место какой конкретно книги стоит посмотреть повнимательнее?

profrotter:
Сообщение отредактировано. Причина: поправил формулы.
Пожалуйста оформляйте формулы. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике)

[Vince Diesel]

Residue - вычет, терминология функций комплексного переменного. Кроме того, гугл находит еще один термин residue — числители простейших дробей, на которые разложена рациональная функция. В данном случае это одно и тоже — коэффициенты $a_i$. Модуль здесь это magnitude. А вся фраза означает, вероятно, что чем больше $|a_i|$, тем больше "относительная важность" соответствующего слагаемого. Expanded form, судя по контексту, это разложение дроби на простейшие — те, что стоят в правой части под знаком суммы.

[themaster]

Спасибо за ответ, стало гораздо понятнее!
Подскажите, пожалуйста, как разобраться со следующей фразой:
"If there is a closed-loop zero close to a closed-loop pole, then the residue at this pole is small and the coefficient of the transient-response term corresponding to this pole becomes small. A pair of closely located poles and zeros will effectively cancel each other. If a pole is located very far from the origin, the residue at this pole may be small."
Если нуль замкнутого цикла близок к полюсу замкнутого цилка, то (вычет/числитель) этого полюса мал и коэффициент члена переходной функции, соответствующий этому полюсу, становится малым. Пара близко расположенных полюсов и нулей сокращает друг друга. Если полюс расположен далеко от начала координат, (вычет/числитель) этого полюса может быть мал.
Тогда получается, что "снизу" - pole; $p_i$ - и есть этот pole. Если он большой, то полюс уезжает далеко, становится большим... а деление на большое число... короче, можно пренебречь.
А zero - это $a_i$. И если $a_i$ близко к $p_i$, то они сокращаются, и ими можно пренебречь... Да, так стало понятнее.
Осталась одна неясность: почему речь идёт именно о ЛЕВОЙ части плоскости? Что, справа, в положительных местах, всё совсем по-другому? Или всё дело в том, что полюса и нули в формуле указаны с ПЛЮСОМ $(s+p_i)$?

[Munin]

Вам действительно стоит прочитать книгу по ТФКП. Кстати, loop здесь - не "цикл", а контур (интегрирования). Residue переводите для себя всегда как "вычет".

[Vince Diesel]

Возможно, вам стоит найти книгу на русском по этому предмету, чтобы не преодолевать сразу все сложности

[spctr]

Munin в сообщении #1017317 писал(а):

Вам действительно стоит прочитать книгу по ТФКП. Кстати, loop здесь - не "цикл", а контур (интегрирования). Residue переводите для себя всегда как "вычет".

Книгу по ТФКП почитать действительно стоит, но для изучения ТАУ на уровне указанной книги излишне. И вообще странный выбор книги. А loop здесь действительно контур, только не интегрирования. closed-loop poles -- полюса замкнутой системы.

themaster в сообщении #1017229 писал(а):

"If there is a closed-loop zero close to a closed-loop pole, then the residue at this pole is small and the coefficient of the transient-response term corresponding to this pole becomes small. A pair of closely located poles and zeros will effectively cancel each other. If a pole is located very far from the origin, the residue at this pole may be small."

Смысл в том, что переходная характеристика линейных систем может быть представлена в виде мод -- экспонент с некоторыми коэффициентами и показателями, равными полюсам. Если есть нуль, близкий полюсу, то он как бы компенсирует этот полюс и он не оказывает большого воздействия на процесс. А о левой части плоскости речь идёт потому, что нас, как правило, интересуют устойчивые системы. И $e^{-p t}$ затухает, $e^{p t}$ -- нет. И вообще может действительно взять русскую книгу, благо на этом уровне их полно.

[themaster]

Спасибо за ответы! Ещё раз стало гораздо понятнее
Насчёт русской книги - может, посоветуете какую-нибудь?
И, заодно, просветите меня, пожалуйста, по поводу следующего абзаца. Там рассматриваются комплексные корни и приводится такое уравнение:
$C(s)=\frac{a}{s}+\sum\limits_{j=1}^{q}\frac{a_j}{s+p_j}+\sum\limits_{k=1}^{r}\frac{b_k(s+\zeta_k\omega_k)+c_k\omega_k\sqrt{1-\zeta_k^2}}{s^2+2\zeta_k\omega_ks+\omega_k^2}$
И приписка ниже: $q+2r=n$
Как эта формула получается из формулы самого первого сообщения - я, может, и разберусь, но пока совершенно непонятно, почему такой странный выбор пределов? Я имею в виду эту самую приписку. Я думал, количество членов в комплексной формуле должно соответствовать количеству членов действительной формулы...

profrotter:
Сообщение отредактировано. Причина: поправил формулы.
Пожалуйста оформляйте формулы. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике)

[Vince Diesel]

Вы не приводите обозначений, но, это разложение опять же на простейшие дроби, возможно, где две дроби с комплексно-сопряженными корнями объединяются в одну. Почитайте что-нибудь об этом. Излагается в учебниках матанализа в разделе интегрирование рациональных функций. Пример:

$$ \frac{3 x^2+2 x+1}{x^3+x^2+x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-i}+\frac{1}{x+i}=\frac{1}{x+1}+\frac{2 x}{x^2+1}. $$

Здесь $q=r=1$, $q+2r=3$.

[themaster]

Спасибо, стало понятнее - как минимум, где искать. Подскажите, пожалуйста, ещё кое-что. В книге ниже приводится пример переходной функции:
$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{2s+25}{s^2+4s+25}$
Мне стало интересно построить ответы системы с такой функцией на шаговую, импульсную и прочие функции на входе. Получается, что эту функцию надо разложить на слагаемые способом, который вы указали, а потом - выполнить обратное преобразование Лапласа для каждого слагаемого отдельно? Ну, и сложить, что получится, и построить график? Или здесь можно обойтись без разложения на слагаемые?
Просто раздел книги, где приводится пример, объясняет, как строить эти вещи Матлабом, которого у меня нет. А в теории объясняют, как работать с функциями вида
$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K}{s^2+bs+c}$
То есть, без верхней части. А у меня - она есть...
Кстати, насчёт книг на русском: есть у меня отсканированный учебник "Математические основы теории автоматического регулирования" под редакцией Чемоданова, издание 77 года. Там два тома, не знаю, имеет ли смысл загружать их сюда - может быть, он вам знаком, и вы сможете указать, где там расписан ответ на этот вопрос?
Я, вообще-то, думал, что стоит почитать эту книгу - она производит впечатление довольно подробной. Но во введении англоязычного учебника содержалось указание, что в восьмидесятых теория автоматического регулирования чуть ли не вверх тормашками перевернулась - вроде как перешли от временных функций анализа устойчивости к частотным - или наоборот, точно не помню. Собственно, поэтому я и взялся грызть буржуйский учебник. Можете просветить подробней, что имелось в виду, и стоит ли этим заморачиваться?

[spctr]

На мой взгляд вы занимаетесь какой-то ерундой. Руками переходные характеристики никто не строит уже полвека. Соответственно разбираться, как там и что раскладывается на слагаемые конечно полезно, но совершенно не необходимо.

themaster в сообщении #1017681 писал(а):

Просто раздел книги, где приводится пример, объясняет, как строить эти вещи Матлабом, которого у меня нет.

Есть его опенсорсный аналог Octave

themaster в сообщении #1017681 писал(а):

Но во введении англоязычного учебника содержалось указание, что в восьмидесятых теория автоматического регулирования чуть ли не вверх тормашками перевернулась - вроде как перешли от временных функций анализа устойчивости к частотным - или наоборот, точно не помню.

Таких переворотов было несколько, сейчас сосуществуют несколько парадигм. А конкретно в этом учебнике ничего "modern" я и в помине не увидел. Вам в любом случае нужно взять русский учебник, хотя бы для усвоения терминологии, которая сейчас у вас ужасная. Какого-нибудь Бесекерского Попова достаточно. А современные методы -- это сплошная математика.

[profrotter]

themaster в сообщении #1017681 писал(а):

Получается, что эту функцию надо разложить на слагаемые

Да просто найдите обратное преобразование Лапласа с помощью вычетов.

[Munin]

spctr в сообщении #1017705 писал(а):

Руками переходные характеристики никто не строит уже полвека.

Ну, это не значит, что их не надо уметь строить, и тем более понимать, как они строятся. Кажется.

[spctr]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1017724 писал(а):

Ну, это не значит, что их не надо уметь строить, и тем более понимать, как они строятся. Кажется.

Безусловно лучше понимать всё, чем пользуешься. Но лично я предпочитаю читать все книги в два прохода: сначала обрисовать себе общую картину, потом уже разбираться в мелочах и трудных технических деталях. При этом не исключено, что моя первая картина окажется не совсем правильной. Так вот автор темы застрял на совершенно несущественном вопросе для общего понимания. Это просто чисто технический вопрос. Есть набор типовых звеньев, характеристики которых надо знать. Нетиповые раскладываются на сумму типовых. Всё. Сама техника раскладывания не существенна ни для инженерной практики, ни для научной стороны и больше нигде не понадобится. А судя по вопросам у автора большие проблемы с общим пониманием, и я предлагаю сосредоточиться для начала на более существенных вопросах.

[themaster]

spctr указывал мне, что, дескать, книгу по ТФКП почитать стоит, но для понимания этой книги - необязательно. Чё-та я сомневаюсь в этой необязательности. По совету profrotter'a попробовал просто найти обратное преобразование Лапласа с помощью вычетов - и тут же утонул в проколотых окрестностях, особых точках, полюсах и прочих рядах Лорана. Если ТАУ мне хотя бы положено было знать (лет 15 назад, ага) - то комплексный анализ нам даже не давали. Честно говоря, я и ТАУ - то занялся во многом чтобы мозги поразминать, пока застой на работе. А раз так - то чем сложнее, тем лучше.
Кстати, о птичках. Я тут нашёл рекомендованную книжку по ТАУ Бесекерского и Попова, 2003 года. Она имеется в куче мест в виде отсканированного djvu в довольно поганом качестве. Может, кто знает, где её можно скачать в качестве получше?

[Munin]

spctr в сообщении #1017761 писал(а):

Но лично я предпочитаю читать все книги в два прохода: сначала обрисовать себе общую картину, потом уже разбираться в мелочах и трудных технических деталях.

Хорошая мысля. Вот только, увы, не во всякой книге можно разобраться (тем более самостоятельно и с первого раза), что первично, а что вторично. Я видел книги, специально размеченные авторами для читателя по этому принципу :-)

themaster
В общем, внимательно прочитайте предыдущее сообщение spctr, и воспримите как руководство к действию.

А вот когда дойдёте до стадии "второго прочтения" - тогда прочешите и ТФКП. (Это стандартное название предмета и учебного курса, а "комплексный анализ" - так может называться гораздо более сложная и голово-зубо-руконого-ломная наука - да и просто тут не нужная.)

Вы сами в начале сказали, что перед вами стоит одна задача, - а теперь говорите, что другая. Разбираться для себя, как хобби, - это совсем другое дело.