2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение15.05.2015, 04:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1015312 писал(а):
То же, что и с окружностью: функция $\varphi$ не определена однозначно и не может быть задана глобально, но форма $d\varphi$ при этом отлично определена.

Тогда и символ $d$ в обозначении этой формы не имеет смысла, и не должен использоваться. Мало, что ли, букв для форм на свете? (Физики $d$ поставят, но по другим причинам.)

-- 15.05.2015 04:42:43 --

g______d в сообщении #1015312 писал(а):
Касательный вектор -- это и есть оператор, по одному из (и наиболее инвариантному из) определений.

В физике это вещи разные. Хотя бы на уровне нотации (а именно её мы и обсуждаем!).

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение15.05.2015, 04:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #1015314 писал(а):
Тогда и символ $d$ в обозначении этой формы не имеет смысла, и не должен использоваться.


Имеет. Потому что равенство "форма объёма равна $d\varphi$" верно не зависимо от выбора $\varphi$, если иметь в виду тот произвол, о котором я говорил.

-- Чт, 14 май 2015 18:47:20 --

Ну т. е. это произвол на уровне писать $a=f(b)$, где $b$ не однозначно определено, но $f(b_1)=f(b_2)$ для любых двух $b_1$ и $b_2$ из того класса, которому принадлежит $b$.

-- Чт, 14 май 2015 18:55:36 --

Munin в сообщении #1015311 писал(а):
Да, кстати! Вот ещё момент, который не совпадает у математиков и в принятой в физике нотации. Физики пишут $dx^i$ только тогда, когда известен базис (или когда явно подразумевается 1-форма), а в других случаях - $d\vec{x},$ отдельно оговаривая, куда он направлен. Обозначение $\frac{\partial}{\partial x}$ зафиксировано за оператором (частной производной или градиента), и в других смыслах не применимо.


Munin в сообщении #1015314 писал(а):
В физике это вещи разные. Хотя бы на уровне нотации (а именно её мы и обсуждаем!).


Я, если честно, не очень понял, в какой момент мы переключились на обсуждение нотации, используемой у физиков. Мне вот вообще рассказывали байку, что в какой-то статье было обозначение $\frac{1}{dx}$, обозначающее

(угадайте что)

$\delta(x)$; куда делся знак интеграла -- спросите чего-нибудь полегче.


Ну т. е. не-оффтопом будет обсуждать другие формальные определения, возникающие в курсах анализа, но вот насчёт того, как им пользуются физики -- тут я не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение15.05.2015, 04:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1015315 писал(а):
Имеет. Потому что равенство "форма объёма равна $d\varphi$" верно не зависимо от выбора $\varphi$, если иметь в виду тот произвол, о котором я говорил.

Нет, это равенство "форма объёма равна $\mathrm{vol}$".

g______d в сообщении #1015315 писал(а):
Ну т. е. это произвол на уровне писать $a=f(b)$, где $b$ не однозначно определено

Точнее, бессмыслица на том же уровне. Хорошо если класс вообще непуст, а если пуст?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение15.05.2015, 04:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #1015317 писал(а):
Хорошо если класс вообще непуст, а если пуст?


Хорошо, в предположении, что он непуст. Есть замечательная фраза на этот случай "допуская некоторую вольность обозначений" или "with a slight abuse of notation". Математики тоже люди. Полностью формализованных доказательств не бывает (кроме Coq и подобных); но все указанные вольности происходят при условии, что и автор, и читатель понимают, как именно формализовать конкретное место.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение15.05.2015, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1015319 писал(а):
Есть замечательная фраза на этот случай "допуская некоторую вольность обозначений" или "with a slight abuse of notation".

Хорошо, вот ещё одна оговорка к вашему
    g______d в сообщении #1014264 писал(а):
    в современной математике определение дифференциала уже лет 70 как зафиксировано, оно одно и абсолютно конкретное.

g______d в сообщении #1015319 писал(а):
но все указанные вольности происходят при условии, что и автор, и читатель понимают, как именно формализовать конкретное место.

Я бы хотел напомнить, что в математике - стоит задача "формализовать конкретное место".
А в физике и в технике - совсем другая задача "рассчитать конкретное место". То есть, формулу надо понять до уровня цифр. Что куда подставлять, и что потом с этим делать. Нюансы произносимых слов при этом по барабану, кроме одного: выхода за пределы применимости расчётного метода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение15.05.2015, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #1015602 писал(а):
в математике - стоит задача "формализовать конкретное место".


в частности, с целью найти

Munin в сообщении #1015602 писал(а):
пределы применимости расчётного метода


Munin в сообщении #1015602 писал(а):
То есть, формулу надо понять до уровня цифр. Что куда подставлять, и что потом с этим делать.


Это курс численных методов, а не анализа. В анализе, действительно важно объяснить, что подставлять надо вектор, а не ковектор, и в таком духе. И вообще, если теорема есть, то числа найдётся куда подставить. Но заменять доказательство формулы механическими навыками работы с ней --- это не то, что должно быть в курсе математики; и вообще, механические навыки сами по себе --- это не то, что должно быть в университетском курсе вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение15.05.2015, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1015693 писал(а):
в частности, с целью найти

Ну вот это и есть - в математике. В математике находят, сообщают прикладникам, те - пользуются.

g______d в сообщении #1015693 писал(а):
Это курс численных методов, а не анализа.

Изображение
Ну, можно, конечно, так переименовать. Но тогда, вы знаете, 70 % школьной математики, и всю математику в вузах для нематематиков - тоже придётся переименовать в численные методы.

g______d в сообщении #1015693 писал(а):
В анализе, действительно важно объяснить, что подставлять надо вектор, а не ковектор, и в таком духе.

Я про это и говорил. На уровне чисел это не менее важно.

g______d в сообщении #1015693 писал(а):
И вообще, если теорема есть, то числа найдётся куда подставить.

Да-а-алеко не всегда! Хорошо ещё если теорема Гаусса (хотя и тут бывают весьма изощрённые способы её применить), а если какая-нибудь теорема "чистого существования"?

g______d в сообщении #1015693 писал(а):
Но заменять доказательство формулы механическими навыками работы с ней --- это не то, что должно быть в курсе математики; и вообще, механические навыки сами по себе --- это не то, что должно быть в университетском курсе вообще.

По-моему, вы всё-таки неадекватно представляете себе место математики в багаже знаний нематематиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение16.05.2015, 01:55 


13/05/15
11
g______d
Цитата:
Отображение? Линейный оператор? Функция?


Очень милое противопоставление.

Цитата:
Если функция, то откуда куда? Вам, наверное, кажется очевидным, ну вот и напишите.


Пишу специально для вас, в данном случае это линейная однородная функция (или, если хотите, линейное отображение, или даже линейный оператор), которая действует из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение16.05.2015, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
indonata в сообщении #1015844 писал(а):
Пишу специально для вас, в данном случае это линейная однородная функция (или, если хотите, линейное отображение, или даже линейный оператор), которая действует из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$


Прямо уж линейная однородная по обеим переменным?

-- Пт, 15 май 2015 16:07:45 --

indonata в сообщении #1015844 писал(а):
Очень милое противопоставление.


Я не знаю, где там вы увидели противопоставление.

-- Пт, 15 май 2015 16:10:43 --

Munin в сообщении #1015717 писал(а):
По-моему, вы всё-таки неадекватно представляете себе место математики в багаже знаний нематематиков.


Я представляю себе место любого знания в багаже одинаково: нужно иметь какое-то представление о самой науке, а не только о ее приложениях в сиюминутной интересующей вас области. И не только по отношению к математике, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение16.05.2015, 02:49 
Аватара пользователя


28/01/12
467

(оптоп )))

При всём том, что обсуждение очень интересно и поучительно, не сдержусь от восклицания:
вот один из случаев, когда бояре спорят, а у студентов холопов чубы трещат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение16.05.2015, 03:00 


13/05/15
11
Цитата:
Прямо уж линейная однородная по обеим переменным?


Да, вы правы, только по приращению

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение16.05.2015, 03:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
indonata в сообщении #1015852 писал(а):
Да, вы правы, только по приращению


Ну да, лучше. Действительно, $df$ -- это отображение из $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$, которое паре $(x,v)\in \mathbb R^2$ сопоставляет число $3x^2 v$ ($v$ -- это касательный вектор, а не число, но касательное пространство к $\mathbb R$ можно отождествить с $\mathbb R$. Или даже если не отождествлять, то всё равно можно умножить касательный вектор на $3x^2$ и тоже получить касательный вектор).

Можно понимать это как функцию, сопоставляющую точке и касательному вектору число; а можно понимать как функцию, которая каждой точке сопоставляет линейную функцию, сопоставляющую вектору число. Или как функцию, сопоставляющую точке функционал на касательном пространстве в этой точке. Или как функцию, сопоставляющую точке кокасательный вектор.

Теперь, $dx$ -- это такой же объект, тоже функция двух переменных, только более простая: $(x,v)\mapsto v$. Тогда равенство $df=f'(x)dx$ имеет точный смысл.

Теперь вопрос -- что значит $dx=2$? Слева конкретная функция двух переменных, справа число. При этом функция, очевидно, не равная 2 тождественно (поскольку линейная однородная функция по одной переменной не может быть равна ненулевой константе). В принципе, есть довольно простой и логичный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение16.05.2015, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1015846 писал(а):
Я представляю себе место любого знания в багаже одинаково: нужно иметь какое-то представление о самой науке, а не только о ее приложениях в сиюминутной интересующей вас области. И не только по отношению к математике, конечно.

Это роскошь, но не необходимость. Если бы у физика было лишних 5 лет для изучения математики, он бы, конечно, с удовольствием получил знания математического факультета. Не говоря уже об инженере (ему 5 лет для изучения математики и 5 лет для изучения физики).

Кроме того, мы обсуждаем вашу ложную дилемму:
    g______d в сообщении #1015693 писал(а):
    Но заменять доказательство формулы механическими навыками работы с ней --- это не то, что должно быть в курсе математики
Я согласен, что навыки работы не должны быть механическими. Но я не согласен, что альтернатива - это доказательство. Я настаиваю, что альтернатива (одна из нескольких, предпочитаемая мной) - это понимание, а доказательство в нём участвует (или всего лишь упоминается) постольку поскольку. Иногда доказательства могут сильно помогать пониманию, иногда - вообще отношения к делу не иметь. Пример второго: теорема Пуанкаре о замкнутых и точных формах, которую мы обсуждали недавно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение18.05.2015, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #1015166 писал(а):
В смысле? Именно $(dx)^n$ ни разу не видел. Что это?

Вспомнил! При обсуждении порядков малости ещё эта величина фигурирует. И да, без скобок, извинитя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое дифференциал?
Сообщение20.05.2015, 17:15 


13/05/15
11
g______d в сообщении #1015854 писал(а):

Теперь, $dx$ -- это такой же объект, тоже функция двух переменных, только более простая: $(x,v)\mapsto v$. Тогда равенство $df=f'(x)dx$ имеет точный смысл.

Теперь вопрос -- что значит $dx=2$? Слева конкретная функция двух переменных, справа число. При этом функция, очевидно, не равная 2 тождественно (поскольку линейная однородная функция по одной переменной не может быть равна ненулевой константе). В принципе, есть довольно простой и логичный ответ.


Честно сказать, я не совсем понимаю подход к объекту $dx$ как к отображению $(x,v)\mapsto v$, но не могу возразить вам конструктивно. Знаю, что в анализе принято соглашение понимать $dx$ как дифференциал тождественного отображения $x \mapsto x$. Могу только заметить, что при таком подходе действительно непонятно, что означает $dx = 2$.

Для меня $dx=2$ означает лишь то, что у нас есть касательное пространство к функции $y = x^3$ в точке $(x_0 , x^3_0)$, где $x_0=1$ и на этом пространстве у нас введена новая система координат $(dx,dy)$ c началом в точке касания.
Таким образом равенство $dx = 2$ это просто величина абсциссы в системе координат $(dx,dy)$.

Что скажете?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 182 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group