Что такое дифференциал?

[upgrade]

меня учили что дифференциалы - это катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого совпадает с графиком функции где-то там далеко, где кривая функция становится очень здорово похожей на прямую.
катет аргумента полностью совпадает с приращением аргумента, а катет функции сопадает с приращением функции с точностью до бесконечно малой. тобишь это просто числа и их можно вовсю умножать сокращаять, брать производные...
а $dy/dx$ - это просто банально деление $dy$ на $dx$ без всяких выкрутасов за исключением нулей и т.п.

-- 13.05.2015, 19:14 --

g______d в сообщении #1014546 писал(а):

, а потом формальная подстановка цифр из условия задачи

а $dx^3$ и $d(x^3)$ это одно и тоже?

[Munin]

g______d в сообщении #1014546 писал(а):

$d(x^3)=3x^2 dx$, а потом формальная подстановка цифр из условия задачи.

А-а-а-а-а! Ну надо же! Не додумался бы перепутать $(dx)^3$ и $d(x^3).$

g______d в сообщении #1014546 писал(а):

Математики тоже иногда так пишут, понимая под этим форму объёма (и сказав об этом в начале текста).

Угу. Логика получается замечательная: $d(\text{что-то})$ имеет замечательный, фиксированный 70 лет один и тот же смысл, за исключением случаев, когда имеет другой смысл. Ну может, не надо тогда делать вид, что всё шоколадно?

g______d в сообщении #1014546 писал(а):

Физики в своих курсах довольно долго объясняют, что эти формулы значат.

Ага. А можно сделать так, чтобы это объясняли математики?

(Впрочем, я знаю, вы на это не согласитесь. Мы уже обсуждали.)
А можно хотя бы сделать так, чтобы то, что объясняют математики, не противоречило тому, что объясняют физики?

g______d в сообщении #1014546 писал(а):

Пониманию написанных вами формул не сильно поможет представление о дифференциале только как о малом приращении, потому что нужно объяснять, что можно делать с этими формулами, а что нельзя.

Как о малом приращении - не поможет, а как о малой величине - поможет.

А вот представление о дифференциале как о внешнем дифференциале $p$-формы или как об отображении между касательными пространствами - не только никак не поможет, но и сильно помешает. Вот с этим моментом как быть?

g______d в сообщении #1014546 писал(а):

А вообще, мне казалось, что классическая термодинамика была переведена на язык дифференциальных форм.

Ну да. Вот только в преподавании физики сложилась традиция - то есть я даже не могу сказать, что через 30 или 70 лет этот "перевод" проникнет в учебники. Может быть, и не проникнет.

Дело в том, что физики с одной стороны должны общаться с математиками, а с другой - с инженерами. И поэтому они предпочитают говорить с инженерами на одном языке, а не с математиками - потому что с инженерами больше и чаще. А всё ваш (математиков) снобизм по отношению к инженерам. Витая в облаках, не забывайте поглядывать на землю.

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1014546 писал(а):
Вот, например.

Коварная статья: мне её пришлось у себя аж в три места сохранить :-)

[g______d]

Munin в сообщении #1014558 писал(а):

Логика получается замечательная: $d\,\text{что-то}$ имеет замечательный, фиксированный 70 лет один и тот же смысл, за исключением случаев, когда имеет другой смысл.

Ну да, за исключением случаев, когда по каким-то причинам удобнее поменять обозначения и об этом заявить.

Munin в сообщении #1014558 писал(а):

А вот представление о дифференциале как о внешнем дифференциале $p$-формы или как об отображении между касательными пространствами - не только никак не поможет, но и сильно помешает. Вот с этим моментом как быть?

А вот и нет. В термодинамике же постоянно всякие приращения, не являющиеся независимыми, полные дифференциалы, функции состояния, канонически сопряжённые переменные. Как раз для работы с этим довольно естественно перейти на язык форм.

Про классическую механику тоже долго говорили так, как Вы. А сейчас язык форм стал устоявшимся. И строгое понимание гамильтоновой механики продвинуло науку вперёд очень сильно, в том числе и физику.

-- Ср, 13 май 2015 09:39:37 --

Munin в сообщении #1014558 писал(а):

А можно хотя бы сделать так, чтобы то, что объясняют математики, не противоречило тому, что объясняют физики?

Я думаю, что в конечном итоге можно. См. пример с классической механикой.

[Munin]

g______d в сообщении #1014564 писал(а):

А вот и нет. В термодинамике же постоянно всякие приращения, не являющиеся независимыми, полные дифференциалы, функции состояния, канонически сопряжённые переменные. Как раз для работы с этим довольно естественно перейти на язык форм.

Вы как-то быстро сузили предмет разговора на одну термодинамику. Но и даже в термодинамике полно величин, не являющихся полными дифференциалами, и вот о них-то математики нам молчат, как рыба об лёд.

g______d в сообщении #1014564 писал(а):

Про классическую механику тоже долго говорили так, как Вы. А сейчас язык форм стал устоявшимся.

Ну, это если смотреть с вашей стороны столба. А на самом деле, извините, большая часть физиков под классической механикой понимает Ландау-Лифшица том 1. И это, кстати, не плохо, потому что на этом же языке изложена и бо́льшая часть всей остальной теорфизики.

А ещё есть всякие втузы, где под классической механикой до сих пор понимаются "верёвочные треугольники".

А ещё, я бы хотел сказать, что вы приводите единичные примеры: механика, термодинамика - в то время как "старая" концепция дифференциала (как величины) - используется насквозь по всей физике, и во всех разделах, и на всех уровнях, от теоретической до самой экспериментальной и до самой прикладной. До того, чтобы изменить это положение дел системно - очень далеко.

[g______d]

Munin в сообщении #1014722 писал(а):

Но и даже в термодинамике полно величин, не являющихся полными дифференциалами, и вот о них-то математики нам молчат, как рыба об лёд.

Нет, почему молчат. Довольно странное утверждение на самом деле. Бывают формы, являющиеся и не являющиеся полными дифференциалами. В термодинамике (да и много где) точно так же бывают выражения с дифференциалами, являющиеся или не являющиеся полными дифференциалами.

Вопрос о том, является или не является данное выражение полным дифференциалом -- это в чистом виде вопрос из теории форм (и вы даже знаете, какой). А просто из бесконечной малости вы на этот вопрос ответить не сможете; разве что если будете уже знать ответ и целью будет как-то его объяснить по-быстрому.

Munin в сообщении #1014722 писал(а):

А на самом деле, извините, большая часть физиков под классической механикой понимает Ландау-Лифшица том 1. И это, кстати, не плохо, потому что на этом же языке изложена и бо́льшая часть всей остальной теорфизики.

В современной теорфизике диф. формы на каждом шагу.

Но ладно, про физику -- это здесь вообще оффтоп (хотя я в целом готов продолжить дискуссию). Моё изначальное высказывание было в том, что в современной математике (в той, в которой теоремы доказываются) определение дифференциала уже зафиксировано. Причём оно, действительно, является формализацией понятия "бесконечно малого приращения" и аппаратом для сравнения разных бесконечно малых приращений друг с другом. Просто чтобы строго говорить о бесконечно малых приращениях, нужно ввести пространство, где эти бесконечно малые приращения живут, и это кокасательное пространство.

И да, где-то в физике дифференциалом называют просто некоторую инфинитезимальную величину. По-видимому, это обусловлено тем, что (нестрогое) понятие дифференциала было популярно в 19 веке и было единственным языком, на котором можно говорить о бесконечно малых. Но это не значит, что математики должны делать так же; как только определение эволюционировало до строгого, стало понятно, что дифференциал -- это не всякая бесконечно малая величина.

[indonata]

Цитата:

Господа, кто-нибудь объяснит мне, как здесь получилось 6?

но если серьезно , то я $dx^3$ понимаю как $dy$ , где $y =x^3$

ну а дальше просто разложение приращения $\Delta y$ функции $y=x^3$ и определение линейной части этого приращения, коя и будет дифференциалом.

$$\Delta y = (x + \Delta x)^3 - ( x)^3=...=3x^2\Delta x+ 3x\Delta x^2 + \Delta x^3$$

таким образом $\Delta y$ разложен по степеням величины $\Delta x$, ну и линейную часть этого разложения видно глазом. Эта линейная часть - и есть наш $dy$.

А дальше да, формальная подстановка туда значений $dx$ и $x$ .

Что в этом не так?

[arseniiv]

indonata в сообщении #1014796 писал(а):

Что в этом не так?

Не принято понимать $dx^n$ как сокращение $d(x^n)$, а не $(dx)^n$ (если у нас дифференциал зависимой переменной, степень будет стоять после $d$). И исторически, и кое-какой смысл за нотацией стоит ($\frac d{dx}$ — оператор, степени берутся его, так что игреку не перепадают, а скобки постоянно писать не хотеть вполне правомерно).

-- Чт май 14, 2015 04:55:29 --

(Оффтоп)

Куча мелочей математической нотации кому-то может показаться дикостью, но перейти на использование S-выражений, держу пари, такие люди не захотят.

[g______d]

indonata в сообщении #1014796 писал(а):

но если серьезно , то я $dx^3$ понимаю как $dy$ , где $y =x^3$

Если серьёзно, то Вы сделали замену обозначений, но всего лишь свели вопрос "что такое $dx^3$" к вопросу "что такое $dy$".

indonata в сообщении #1014796 писал(а):

определение линейной части этого приращения, коя и будет дифференциалом

Я верю, что на Coursera за это поставят пятёрку. Но с точки зрения математики дифференциалом функции $x^3$ будет 1-форма $3x^2\,dx$.

-- Ср, 13 май 2015 16:57:55 --

arseniiv в сообщении #1014801 писал(а):

Не принято понимать $dx^n$ как сокращение $d(x^n)$, а не $(dx)^n$

Не знаю, лично я понимаю это именно как $d(x^n)$. Потому что что такое $(dx)^n$? На 1-формах стандартное умножение внешнее, и $(dx)^n$ по отношению к нему просто равно нулю.

Ну разве что если он стоит в знаменателе...

[kp9r4d]

А где можно почитать про диф. формы ещё раз и по-человечьи? Зорич 2 подойдёт?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1014803 писал(а):

А где можно почитать про диф. формы ещё раз и по-человечьи? Зорич 2 подойдёт?

Да.

Кстати, Munin, там в главе XIII (в Зориче) есть как раз про дифференциальные формы в термодинамике. Я и говорю, не знаю я стандартных источников.

[indonata]

Цитата:

Я верю, что на Coursera за это поставят пятёрку. Но с точки зрения математики дифференциалом функции $x^3$ будет 1-форма $3x^2\,dx$.

Уважаемый g______d

Эм, а где здесь противоречие с тем, что написано у меня? Если вам так нравится использовать термин "1я-форма" вместо "линейная функция", что просто является обобщением на случай нескольких переменных, то используйте его на здоровье, только не надо это преподносить как опровержение написанного мной.

Про разложение Тейлора не слышали? Похоже что нет... Так вот, мои учителя, а не курсера, учили меня что определение дифференцируемости функции ничем не отличается от определения ее первого Тейлоровского приближения.

Посмотрите еще раз внимательно на разложение.

$$\Delta y = (x + \Delta x)^3 - (x)^3=...=3x^2\Delta x+ 3x\Delta x^2 + \Delta x^3$$

P.S. А еще, чуть не забыла

$3x^2\Delta x$ равняется $3x^2dx$ , так как $\Delta x=dx$,
т.к. $x$ - независимая переменная.

ну это так, на всякий случай, вдруг вы меня не поняли.

[g______d]

У меня ваша формула, к сожалению, не компилируется после копирования из-за ошибок в LaTeX, поэтому будет картинка.

Вложение:

Clipboard02.jpg [ 8 Кб | Просмотров: 2937 ]

Ну так вот, посмотрел. В ней есть как минимум одна ошибка, сами найдёте?

-- Ср, 13 май 2015 17:58:15 --

indonata в сообщении #1014813 писал(а):

x = dx

Это совсем бред, уж извините.

[indonata]

g_____d я очень торопилась, потому что была в возмущении! исправила опечатки, смотрите тот же пост, про приращение икса и дифференциал х, это разумеется,опечатка была

-- 14.05.2015, 01:22 --

Цитата:

Ну так вот, посмотрел. В ней есть как минимум одна ошибка, сами найдёте?

g____d
не нахожу. Укажите мне

[g______d]

indonata в сообщении #1014816 писал(а):

не нахожу. Укажите мне

Одно $\Delta$ лишнее.

[indonata]

g____d, да, правда, исправила, спасибо, очень неловко получилось, за такое и на курсере 5 бы не поставили.
но тем не менее, скажите, по смыслу написанного, в чем же проблема, с чем вы не согласны?