можно вспомнить про дифференциальные формы, но там вообще второй дифференциал тождественно ноль, а он-то не ноль. Плохо всё у меня, в общем.
Да нет, всё там в порядке. Я уже несколько раз про это писал в разных темах, но конкретно в этой это уже написано.
Стыкуется. Просто надо всё делать аккуратно. Если

-- функция, то

. Модуль над

канонически изоморфен модулю сечений

кокасательного расслоения.
На сечениях кососимметрических степеней

этого расслоения определяется новая операция

, квадрат которой нулевой (и, конечно,

=основная алгебра

).
Но никто не мешает вычислять

руками как

где

-- поле вдоль кривой (элемент

)
-- Вт, 12 май 2015 17:33:20 --многие на мат-мехе после курса анализа не могут ответить что такое дифференциал
Потому что, действительно, не на всех потоках мат-меха учат, что в современной математике определение дифференциала уже лет 70 как зафиксировано, оно одно и абсолютно конкретное. А разночтения возникают только в курсах для будущих инженеров или программистов, которым боятся произносить слова "многообразие", "касательный вектор", "векторное поле", "касательное отображение", и т. п.
-- Вт, 12 май 2015 17:39:58 --А если серьезно, то не являются ли такое множество тем показателем того, что понятие дифференциала формализовано крайне неудачно?
По-моему, вполне удачно. Ну т. е. может показаться, что определений два: внешний дифференциал

-формы или дифференциал отображения многообразий как отображение между касательными пространствами. Но если применить оба определения к функции

, то они в точности совпадут, даже на формальном уровне:

в смысле форм -- это

-форма, которая является (в каждой точке) функционалом на касательных векторах, т. е. отображением, которое сопоставляет касательному вектору к

число.

в смысле касательного отображения -- это нечто, что сопоставляет касательному вектору к

элемент касательного пространства к

. Ну хорошо, нужно ещё отождествить

со своим касательным, но это делается канонически.