можно вспомнить про дифференциальные формы, но там вообще второй дифференциал тождественно ноль, а он-то не ноль. Плохо всё у меня, в общем.
Да нет, всё там в порядке. Я уже несколько раз про это писал в разных темах, но конкретно в этой это уже написано.
Стыкуется. Просто надо всё делать аккуратно. Если
-- функция, то
. Модуль над
канонически изоморфен модулю сечений
кокасательного расслоения.
На сечениях кососимметрических степеней
этого расслоения определяется новая операция
, квадрат которой нулевой (и, конечно,
=основная алгебра
).
Но никто не мешает вычислять
руками как
где
-- поле вдоль кривой (элемент
)
-- Вт, 12 май 2015 17:33:20 --многие на мат-мехе после курса анализа не могут ответить что такое дифференциал
Потому что, действительно, не на всех потоках мат-меха учат, что в современной математике определение дифференциала уже лет 70 как зафиксировано, оно одно и абсолютно конкретное. А разночтения возникают только в курсах для будущих инженеров или программистов, которым боятся произносить слова "многообразие", "касательный вектор", "векторное поле", "касательное отображение", и т. п.
-- Вт, 12 май 2015 17:39:58 --А если серьезно, то не являются ли такое множество тем показателем того, что понятие дифференциала формализовано крайне неудачно?
По-моему, вполне удачно. Ну т. е. может показаться, что определений два: внешний дифференциал
-формы или дифференциал отображения многообразий как отображение между касательными пространствами. Но если применить оба определения к функции
, то они в точности совпадут, даже на формальном уровне:
в смысле форм -- это
-форма, которая является (в каждой точке) функционалом на касательных векторах, т. е. отображением, которое сопоставляет касательному вектору к
число.
в смысле касательного отображения -- это нечто, что сопоставляет касательному вектору к
элемент касательного пространства к
. Ну хорошо, нужно ещё отождествить
со своим касательным, но это делается канонически.